Батарея отопления

Главное в этой задаче — понять, почему вообще отдаваемая батареей тепловая мощность зависит от скорости подачи воды. Ведь, казалось бы, по закону Ньютона–Рихмана тепловой поток между двумя телами определяется только разностью их температур, а температура в задаче постоянна как у воды, так и у окружающего воздуха. Помочь тут может простой бытовой опыт: если потрогать подводящую и отводящую трубы у батареи в комнате, первая окажется существенно горячее. Подумайте, как остывание воды при прохождении батареи связано с отдаваемой тепловой мощностью. Для оценки теплоотдачи от батареи можно использовать среднюю температуру воды в ней, то есть среднее арифметическое между температурами на входе и на выходе.

Тепловая мощность, отдаваемая водой окружающему воздуху, пропорциональна разности температур батареи и воздуха. Однако следует учесть, что в батарею вода подается с температурой T₁ = 80ºС, а на выходе имеет меньшую температуру T₂. Остывание воды происходит за счет отдачи тепла воздуху, что можно описать уравнением теплового баланса. Если за время Δt через батарею прошла масса воды Δm, то cΔm(T₁ – T₂) = PΔt, где c — удельная теплоемкость воды, а Р — мощность теплоотдачи.

Мощность теплоотдачи по закону Ньютона — Рихмана может быть найдена как P = K(T_B – T₀), где K — коэффициент теплоотдачи, T₀ = 20ºС — температура воздуха, а T_B — температура батареи. Так как вода в различных участках батареи имеет разную температуру, в качестве температуры батареи для оценки примем ее среднюю температуру: T_B = (T₁ + T₂)/2. Учитывая, что массовый расход Δm/Δt пропорционален скорости подачи воды v, можно получить формулу для мощности в виде P = a/(1 + b/v), где a и b — постоянные коэффициенты.

Значения данных коэффициентов определяются из условий задачи. В первом испытании при v = v₁ мощность равна P₁ = a(1 + b/v₁). Во втором испытании при v = v₂ = 1,5v₁ мощность равна P₂ = 1,2P₁ = a/(1 + 2b/3v₁). Отсюда a = 2P₁, b = v₁, и искомая мощность при v = v₃ = 2v₁ равна P₃ = 4P₁/3.

В наиболее простом виде физические законы обычно формулируются для случаев равномерного распределения физических величин. Например, если двигаться с равномерной скоростью 60 км/ч, то пройденное за час расстояние будет равно 60 км. Если два тела равномерно нагреты, одно до температуры 80 градусов, а второе — до 20 градусов, то для определения теплового потока между ними достаточно умножить коэффициент теплоотдачи на разность температур, равную 60 градусам.

Однако в реальной жизни равномерность встречается весьма редко. Так, ехать целый час со скоростью ровно 60 км/ч едва ли доводилось на практике хотя бы одному современному водителю. Вот и вода в батарее в нашей задаче нагрета неравномерно. Физическая причина этой неравномерности ясна: по мере движения по батарее горячая вода отдает тепло и, следовательно, остывает. Вопрос заключается в том, как описать теплоотдачу от тела, разные участки которого имеют разную температуру.

Эффективным способом описания неравномерных процессов является использование средних величин. Возвращаясь к примеру из кинематики, можно вспомнить привычное понятие средней скорости. Пусть автомобиль движется и неравномерно, останавливаясь на светофорах и замедляясь в пробках, но если его средняя скорость составляет 60 км/ч, то за час он проедет ровно шестьдесят километров. Аналогично, для расчета мощности теплоотдачи можно использовать среднюю температуру воды в батарее. Вопрос лишь в том, как ее вычислить.

В решении задачи средняя температура воды вычисляется как среднее арифметическое между значениями на входе и на выходе из батареи. Строго говоря, таким образом можно вычислять среднее только в случае, если температура распределена по батарее линейно. Линейность обозначает равномерное уменьшение температуры воды по мере ее продвижения по батарее, как изображено синей линией на рисунке. В действительности, вода, конечно, остывает неравномерно: горячая вода на входе остывает быстрее, чем уже остывшая вода на выходе. Это приводит к нелинейному профилю распределения температуры в батарее, показанному красной линией. Точно определить этот профиль достаточно сложно, он будет зависеть от формы батареи. Например, если «батарея» — это просто однородная длинная труба, профиль будет экспоненциальным. В любом случае, для нелинейного распределения средняя температура уже не может быть найдена как среднее арифметическое между крайними значениями.

Тем не менее, примененный в решении способ оценки среднего имеет право на существование. Заметим, что приведенные на рисунке красная и синяя линия отличаются не слишком сильно, поэтому синяя может рассматриваться как приближение красной, то есть нелинейное распределение приближенно заменено линейным. Этот прием часто используется в науке: замена сложного явления более простым, но похожим — упрощенной моделью. Тогда исследование простой модели позволяет что-то понять и об изначальном сложном явлении.

При использовании подобных упрощений всегда важно помнить о границах их применимости. Так, в нашей задаче всегда ли корректно заменять нелинейное распределение линейным? Ответ на этот вопрос может дать анализ разумности результатов, получаемых с помощью используемой модели. Такой анализ обязательно должен быть заключительным шагом при использовании любого упрощения. Решив задачу в рамках определенной модели, ученый должен оценить, насколько адекватны полученные результаты. И если они противоречат здравому смыслу, нужно делать другие приближения и решать задачу уже с помощью них.

Попробуем установить границы применимости модели линейного профиля температуры в нашей задаче. Для начала проанализируем полученные нами формулы при нулевой скорости подачи воды: v = 0. Тепловая мощность в этом случае равна нулю, что выглядит разумным: если горячую воду в батарею не подавать, то и теплоотдачи не будет. Однако легко определить, что температура T₂ при этом будет равна −40ºС, что очевидно противоречит здравому смыслу. Отсюда можно сделать вывод, что модель линейного распределения температуры плохо работает при малых скоростях подачи воды. Напротив, при v→∞ мощность теплоотдачи становится равной 2P₁, а температура воды на выходе равна температуре на входе. Это физически адекватно: вода проходит батарею очень быстро и не успевает остывать. Таким образом, модель линейного распределения температуры адекватна при достаточно большой скорости подачи воды. Более детальный, но весьма несложный анализ показывает, что модель «работает» при скоростях порядка v₁ и выше.