Космический гость

28.09.2015 • Сергей Варламов • Физика • Комментировать

Среди многочисленных версий, выдвинутых в разное время для объяснения феномена Тунгусского метеороида, есть и такая: это было тело, которое пролетело сквозь атмосферу, не задев поверхности Земли и не развалившись на куски. Именно этим якобы объясняется тот факт, что остатков метеорита так и не удалось найти, несмотря на все усилия по их поиску.

Не вдаваясь в обсуждение правдоподобности этой версии, попробуем смоделировать такое событие.

Задача

Оцените минимальный радиус железного метеорита в форме шара, который сможет пройти сквозь атмосферу Земли и, задев поверхность Земли по касательной, снова улететь в космос. Считайте, что до этого пролёта метеорит принадлежал Солнечной системе. Какая энергия выделится в воздухе во время такого визита? Выразите её в «тротиловом эквиваленте».

Подсказка 1

Скорость такого космического визитера на выходе из атмосферы должна быть больше второй космической скорости. А какую максимальную относительную скорость могли иметь метеорит и Земля, когда были далеко друг от друга?

Подсказка 2

При полете в воздухе метеорит сообщает воздуху скорость порядка своей собственной, разогревает его и на это тратит свою кинетическую энергию.

Подсказка 3

Чтобы оценить массу воздуха, «заметенную» поперечным сечением метеорита, можно считать, что атмосфера прогрета равномерно (до температуры порядка 300 К) и что плотность воздуха в ней меняется по закону \(\rho(h) = \rho_0\exp{\left(-\frac{\mu gh}{RT}\right)} \), где \(\mu\) — молярная масса воздуха, R — универсальная газовая постоянная, а T — это температура атмосферы.

Решение

Хотя в условии задачи метеорит имеет форму шара, в решении мы будем считать его кубом, который летит без вращения по траектории, перпендикулярной одной из его боковых граней. Так проще учитывать некоторые нетривиальные эффекты от взаимодействия с земной атмосферой, которые иначе учесть было бы нельзя.

Известно, что Земля движется по орбите вокруг Солнца со скоростью, равной примерно 30 км/с. По условию метеорит до описанного в задаче взаимодействия с Землей принадлежал Солнечной системе, поэтому его скорость ограничена сверху второй космической скоростью относительно Солнца. В разных точках орбиты метеорита она разная (так как зависит от расстояния до Солнца), но в районе земной орбиты она в \(\sqrt2\) раз больше орбитальной скорости Земли. Следовательно, максимальная относительная скорость метеорита и Земли, когда они находятся еще не очень близко друг к другу, может быть равной:

\( v_{\text{сближения}}=30\cdot(1+\sqrt2)\approx72 \) км/с.

За счет притяжения к Земле до входа в её атмосферу метеорит приобретет дополнительную скорость и на входе в атмосферу его скорость будет не больше такой:

\( v_{\text{входа}}=\sqrt{v_2^2+v_{\text{сближения}}^2}\approx73 \) км/с,

где \( v_2 \) ≈ 11 км/с — вторая космическая скорость Земли.

Будем считать, что во время пролета атмосферы масса и размеры метеорита не изменялась. Тогда на своем пути от входа в атмосферу до точки касания и от точки касания до выхода из атмосферы метеорит «замёл» одинаковые массы воздуха. Это означает, что скорость метеорита на этих двух участках падает в одинаковое число раз. Поэтому его скорость вблизи поверхности Земли будет равна среднему геометрическому между \( v_2 \) (потому что ему надо не упасть на Землю и не остаться на ее орбите) и \( v_{\text{входа}} \), то есть 28 км/с. Именно на этом участке полета метеорит будет испытывать самую большую силу воздействия со стороны воздуха, так как плотность воздуха вблизи поверхности Земли максимальная. 99% массы всей атмосферы находится на высотах, меньших H = 40 км. Поэтому время пребывания метеорита в атмосфере меньше (уж точно!) величины:

\[ \Delta t = 2\dfrac{\sqrt{\left(R_{\text{Земли}}+H\right)^2-R_{\text{Земли}}^2}}{v_2} \approx 140\ \text{с}. \]

За такое время скорость метеорита под действием силы тяжести изменится всего на 1,4 км/с в направлении, перпендикулярном первоначальной скорости на входе в атмосферу. Это означает, что можно пренебречь влиянием силы тяжести при расчете движения метеорита в воздухе.

В системе отсчета, связанной с метеоритом, воздух движется со скоростью \( v \), которая во много раз больше тепловых скоростей движения молекул в воздухе (≈ 500 м/с), и тормозится до упорядоченной скорости, равной нулю (тут мы пользуемся тем, что метеорит имеет форму куба). При этом вся кинетическая энергия маленькой порции воздуха с массой dm, равная dm·\( v \)²/2, преобразуется в его тепловую энергию. Сжатый и разогревшийся воздух расходится от метеорита в стороны со скоростью, которая во много раз меньше скорости метеорита (она будет определяться температурой, до которой воздух нагрелся), и навстречу метеориту поступают новые порции воздуха.

Если рассматривать движение из системы отсчета, в которой атмосфера покоится, то нагревшийся воздух со своей внутренней энергией dm·\( v \)²/2 будет иметь еще и такую же по величине энергию упорядоченного движения. То есть кинетическая энергия метеорита M\( v \)²/2 при «обслуживании» небольшой массы воздуха dm уменьшится на величину dm·\( v \)².

Это соответствует уравнению:

\[ \mathrm{d}\left(\dfrac{Mv^2}2\right) = - \mathrm{d}mv^2 = -2\dfrac{\mathrm{d}m}{M}\cdot\dfrac{Mv^2}2. \]

Или:

\[ \dfrac{\mathrm{d}E}{E}=-2\dfrac{\mathrm{d}m}{M}. \]

Решением такого уравнения будет функция кинетической энергии метеорита от массы m воздуха, которую он уже «обслужил»:

\[ E(m)=E_0\cdot\exp\left(-2\frac mM\right). \]

Для зависимости скорости метеорита от этой же самой «обслуженной» массы m получается формула:

\[ v(m)=v_0\cdot\exp\left(-\frac mM\right). \]

Если длина ребра метеорита в форме куба равна a, то площадь поперечного сечения равна a². Плотность воздуха в атмосфере зависит от высоты h над уровнем моря. Расстояние x от точки касания метеоритом поверхности Земли до участка воздуха на высоте h связаны соотношением (R_Земли + h)² = R_Земли² + x². Или приближенно: h ≈ x²/(2R_Земли).

Теперь надо посчитать, какую массу «обслужил» метеорит на своем пути. Для её оценки используем, что в «изотермической» атмосфере плотность воздуха с высотой меняется по закону:

\[ \rho(h) = \rho_0\cdot\exp\left(\frac{-\mu gh}{RT}\right), \]

где µ — это молярная масса воздуха, R — универсальная газовая постоянная, а T — температура атмосферы (≈ 300 К). Такая зависимость берется из тех соображений, что при дополнительном подъеме на небольшую высоту давление уменьшается на величину, пропорциональную плотности газа на этой высоте, умноженной на ускорение свободного падения и на величину этого дополнительного подъема, а в изотермической атмосфере давление пропорционально плотности газа.

Тогда масса, которую мы ищем, будет равна:

\[ m = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\rho_0a^2 \cdot\exp\left(-\dfrac{\mu gx^2}{2R_{\text{Земли}}RT}\right)\mathrm{d}x = \rho_0a^2\cdot\sqrt{\dfrac{2\pi R_{\text{Земли}}RT}{\mu g}}.\]

Интеграл, который нужно было посчитать — это Гауссов интеграл.

Так как масса самого метеорита M = ρ_железа·a³, то из формулы для скорости метеорита получаем оценку минимальных размеров:

\[ a = \dfrac{\rho_0}{\rho_{\text{железа}}}\cdot\dfrac{1}{\ln\frac{v_{\text{входа}}}{v_2}}\cdot\sqrt{\dfrac{2\pi R_{\text{Земли}}RT}{\mu g}} \approx 27\ \text{м}. \]

Из полученной формулы видно, что при уменьшении относительной скорости движения метеорита и Земли минимальный размер метеорита должен расти, чтобы он по-прежнему пролетал сквозь атмосферу.

Энергия, выделившаяся в атмосфере, — это просто разница между кинетической энергией метеорита до входа в атмосферу и его кинетической энергией после выхода из неё. Она примерно равна 4·10¹⁷ Дж. Такая энергия выделяется при взрыве 90 мегатонн тротила. Это примерно в 1,5 раза больше, чем при взрыве водородной бомбы над Новой Землёй 30 октября 1961 года (см. Царь-бомба).

Послесловие

В решении мы пользовались тем, что воздух, набегающий на метеорит, сильно сжимается и нагревается. Но до какой температуры он будет нагреваться в нашей модели? Чтобы упростить расчеты, будем считать, что в атмосфере присутствует только азот (его и так там три четверти по массе).

Энергия диссоциации одной молекулы азота 9,8 эВ. Энергия однократной ионизации атома азота 14,5 эВ. Энергия одной молекулы азота, движущейся со скоростью 73 км/с, равна 1550 эВ.

После диссоциации молекул и пяти актов ионизации атомов азота на одну образовавшуюся частицу (на ион и электрон) остается энергия, такая же по порядку величины, как та, что потребовалась для последнего, пятого, акта ионизации, то есть около 90 эВ. Для отрыва следующего, шестого, электрона от пятикратно ионизованного атома азота требуется уже энергия 552 эВ, что примерно в 6 раз больше, чем средняя энергия частиц. Следовательно, ионизация остановится на числе 5. В результате температура образовавшейся плазмы будет равна примерно 0,6×10⁶ К. Жарко там!

Что касается разных версий о том, что же на самом деле произошло в районе реки Подкаменная Тунгуска 30 июня 1908 года, то гипотеза, что это был рикошет крупного астероида или остатка кометы от земной атмосферы, была предложена советским астрономом Игорем Астаповичем. В пользу этой гипотезы говорит отсутствие ударного кратера и каких-либо обломков небесного тела в районе происшествия. Но, видимо, в целом эта гипотеза плохо согласовывалась с наблюдаемыми на местности последствиями и теоретическими данными по динамике тел в атмосфере, поэтому она не получила большой поддержки.

Сейчас считается, что, скорее всего, Тунгусский метеороид был довольно крупным (несколько десятков метров) каменным или ледяным телом, которое вошло в атмосферу по довольно пологой траектории и взорвалось, не достигнув поверхности. Краткий список других версий, от вполне допустимых до откровенно фантастических, можно найти здесь.

При этом нельзя не отметить, что случаи рикошетирования небесных тел от земной атмосферы действительно бывают, только это не очень похоже на отскок мячика от пола или камешка-«блинчика» от воды: метеоры просто прошивают земную атмосферу, но не успевают настолько затормозиться, чтобы упасть на поверхность. Прямо как в нашей задаче.

Пожалуй, наиболее известный такой случай — это болид 1972 года (см.: 1972 Great Daylight Fireball), пролетевший над США и Канадой. Его пролет длился несколько десятков секунд и был хорошо виден даже несмотря на яркое дневное Солнце. Сохранилось много фото- и видеосвидетельств этого явления.