Битва симметрий с недоопределенностью

Подчеркнем еще раз, что суть этой задачи не в том, чтобы найти, чему равно поле, — это можно сделать просто сложением полей от двух плоскостей. Здесь требуется справиться с недоопределенной ситуацией с помощью симметрии. А для этого надо понять, какая есть симметрия у этой системы зарядов, учесть ее и проследить ее последствия.

Добавим также, что при поиске симметрии желательно быть достаточно раскованным и не ограничиваться одним лишь механическим движением системы. Вам требуется сделать нечто, найти такое преобразование, чтобы в результате вы снова получили систему, идентичную исходной.

Зеркальное отражение системы зарядов относительно средней горизонтальной плоскости меняет две плоскости местами, а также переводит первую область в третью. А если после этого еще и изменить знак всех зарядов, то система снова станет неотличима от исходной. Это комбинированное преобразование — зеркальное отражение одновременно со сменой знаков зарядов — является новой симметрией нашей задачи. В физике зеркальное отражение называется P-преобразованием (читается «пэ»), смена знаков всех зарядов — C-преобразованием (читается «цэ»), а комбинированное преобразование — CP («цэпэ»).

Тот факт, что CP-преобразование является симметрией задачи, означает, что конфигурация поля после него тоже должна получиться такой же, как вначале. Проследим, что у нас получается. P-преобразование меняет местами первую и третью зону, а также изменяет направление вектора электрического поля на противоположное. Это было и в прошлой задаче, только мы не заостряли на этом внимание. C-преобразование не трогает зоны, но тоже меняет направление вектора электрического поля на противоположное. Так получается из-за закона электростатики: силовые линии направлены от положительных зарядов к отрицательным. Всё вместе это приводит к тому, что \(\vec E_1 = \vec E_3\) (рис. 3).

Рис. 3. Поле от пары плоскостей после учета симметрии

Казалось бы, раз остались только два неизвестных, то и задача должна решиться. Однако всё не так просто. Два условия, связывающие поля в разных зонах, при учете симметрии становятся тождественными, и у нас по-прежнему остается недоопределенная задача. Попытка решить ее с помощью новой симметрии не принесла успеха.

Причина не в несовершенстве метода, а в том, что задача о нахождении поля от двух плоскостей действительно не до конца определена. Она станет полностью определенной, когда мы специально оговорим, чему равно поле в какой-то точке. Обычно считается, что за пределами пары плоскостей поле равно нулю, и тогда получается обычный конденсатор. Но это не единственный вариант! Всегда можно представить себе, что наша пара плоскостей — только часть большой системы (рис. 4), что она помещена внутри другой пары плоскостей, которая наводит общее поле, и так далее.

Рис. 4. Иллюстрация недоопределенности задачи с двумя плоскостями: даже с учетом CP-симметрии остается свобода выбора внешних CP-симметричных условий

Последний момент — понять, почему в случае одной плоскости задача решалась после учета симметрии, а сейчас не решается. Раньше система тоже могла быть погружена в общее внешнее поле. Но как только мы постановили, что ситуация симметрична относительно отражения, мы, сами того не осознав, автоматически распространили это утверждение и на внешние условия. Единственная возможность для внешнего поля удовлетворить этому требованию — это быть равным нулю. Именно так мы устранили неопределенность.

А теперь мы потребовали симметрию относительно более сложного преобразования — CP. И это требование оказывается куда более мягким, оно не заставляет внешнее поле быть равным нулю. Поэтому недоопределенность задачи, включавшая в себя и внешние условия, осталась.

Мораль этой задачи двояка. Симметрии помогают решать задачи. Но надо не забывать, что, применяя симметрию, мы накладываем некоторые требования не только на ту часть системы, которая у нас перед глазами, но и на внешние или граничные условия. Некоторые симметрии эти граничные условия могут сильно изменять, а другие — нет, и от этого зависит определенность в постановке задачи.

В нашем решении использовалась довольно необычная для электродинамики CP-симметрия задачи. CP-преобразования упоминаются, как правило, когда речь идет о физике элементарных частиц, а конкретно — о свойствах слабого взаимодействия. Вот там CP-симметрия и его нарушение — передовая тема исследований, отмеченная не так давно Нобелевской премией по физике (см.: Нобелевская премия по физике — 2008). Подчеркнем: в случае слабого взаимодействия CP-симметрия нарушается не через какие-то неподходящие внешние условия; CP-симметрию «не уважает» само явление слабого взаимодействия. В случае электродинамики ничего подобного нет. Сами электродинамические законы сохраняют и C-симметрию, и P-симметрию, и их комбинацию, а нарушения могут возникать лишь потому, что мы выбрали какую-то неподходящую систему зарядов, токов или граничных условий.

Можно копнуть и еще глубже. В ходе рассуждений мы сделали предположение, которое казалось настолько очевидным, что на нем не заострялось внимание. Мы считали, что если набор зарядов обладает какой-то симметрией, то и конфигурация порожденных ими полей — тоже симметрична. Вообще говоря, это не всегда так: в физике встречаются ситуации, когда конфигурация полей в равновесном состоянии (полей в более широком смысле, не электромагнитных) вовсе не отражает те симметрии, которые изначально были в системе.

Самый вопиющий пример — это когда у нас вообще нет никаких источников, а конфигурация поля в наинизшем энергетическом состоянии — какая-то нетривиальная. Раз зарядов нет, то симметрий в исходной задаче — бесконечное число, это любые сдвиги и повороты. Но конфигурация поля эти симметрии самовольно нарушает. Это явление называется спонтанное нарушение симметрии и встречается оно во многих областях физики конденсированных сред. В наиболее чистом виде, когда нарушается симметрия вакуума, оно проявляется в физике элементарных частиц, например в виде хиггсовского механизма.