Степенная зависимость из ничего
Степенных зависимостей в физике — пруд пруди. Какие-то величины зависят друг от друга по линейному закону, какие-то — по квадратичному, кубическому и так далее. Есть и дробно-степенные зависимости: квадратные корни (показатель равен 1/2) и другие более сложные степени. Такие зависимости постоянно встречаются в школьных задачах, так что никакого удивления они не вызывают. К слову, на этих зависимостях можно даже построить целую теорию подобия и размерностей и, пользуясь ею, производить вычисления.
Однако в природе иногда попадаются и степенные зависимости, в которых показатель — не целое число и даже не дробь, а просто какая-то «корявая» численная величина. Один из самых ярких примеров — это энергетический спектр космических лучей, заряженных частиц, которые прилетают из глубокого космоса. Измерения показывают, что энергии этих частиц лежат в огромном интервале шириной в 12 порядков: от долей ГэВ до 1021 эВ. Чем больше энергия частиц, тем реже они встречаются (рис. 1). Но поразительно, что зависимость эта — приблизительно степенная, с «некрасивым» показателем. Энергетический спектр потока космических лучей (то есть количество прилетающих частиц в расчете на 1 ГэВ энергии) приблизительно соответствует формуле
.
На самом деле эта зависимость не совсем точна, и в разных энергетических диапазонах показатель принимает слегка отличающиеся значения. Но это не отменяет общий факт: существуют довольно широкие интервалы энергий, в которых зависимость потока космических лучей от энергии очень близка к степенной с каким-то странным показателем. А раз так, такая «корявая» степенная зависимость требует объяснения.
Задача
В этой задаче мы не предлагаем вам вычислить величину степенного показателя — это задача непростая. Здесь требуется лишь объяснить на примере космических лучей, откуда в физике вообще берутся «корявые» степенные законы. Мы дадим вам подробное объяснение физического механизма разгона частиц космических лучей, а вы попробуйте, опираясь на свое физическое чутье, догадаться о происхождении степенной зависимости.
Рис. 2. Ударная волна бежит сквозь турбулентную намагниченную межзвездную среду и, подхватывая заряженные частицы, ускоряет их до высоких энергий
Итак — немножко современной астрофизики. Считается, что источниками существенной части космических лучей высокой энергии являются ударные волны в глубоком космосе (рис. 2). Фронт ударной волны бежит через межзвездную среду и уплотняет ее. Эта среда намагничена и, к тому же, турбулентна, а значит, и магнитное поле в ней — хаотично запутанное, как до, так и после прохождения ударной волны. Поэтому здесь не работают такие простые законы движения заряженных частиц, которые мы разбирали в прошлой задаче. Вместо этого можно считать, что заряженная частица движется в этом хаотичном магнитном поле как-то совершенно запутанно.
Ударная волна играет роль ускорителя. Она подхватывает заряженную частицу и, постоянно перекидывая ее из области перед ударным фронтом в область позади него, а затем — обратно, увеличивает ее энергию. На каком-то этапе частица вываливается из этого процесса, больше не ускоряется и, по-прежнему петляя, улетает прочь. Пренебрегая последующими потерями, мы будем считать, что ту энергию, которая она приобрела в ходе этого процесса, мы и зарегистрируем на Земле, когда эта частица долетит до нас.
Опираясь на эту картину процесса ускорения, объясните, как так получается, что число частиц, разогнанных до энергии E и выше, зависит от E по степенному закону.
Подсказка 1
Здесь надо прочувствовать два явления. Первое — собственно ускорение; как так получается, что, переходя из области перед фронтом в область позади него, а затем — назад, частица ускоряется. А для этого надо сначала понять, что происходит с межзвездной средой после прохождения ударной волны, которая, подчеркнем, ее уплотняет. Постарайтесь также выяснить, в целом, насколько возрастает энергия после каждого цикла перехода через фронт ударной волны туда-обратно.
А во-вторых, надо понять, почему частицы не продолжают постоянно ускоряться в этом процессе, а вываливаются из него. Даже если вы не знаете деталей, как это происходит, вы можете попытаться сформулировать сам этот факт в общих терминах. Этого уже будет достаточно для того, чтобы решить задачу.
Подсказка 2
Фронт ударной волны не только сжимает среду, но и приводит ее в движение. Удобнее всего это увидеть в системе отсчета, связанной с фронтом. С одной стороны на него набегает межзвездный газ, а с другой стороны — он уходит. Но поскольку плотности до и после разные, то и скорости «втекания» и «вытекания» отличаются. Подумайте, как это выглядит в исходной системе отсчета. Учтите теперь, что, пересекая фронт ударной волны, частица вдруг чувствует себя в иных условиях, в другой среде, и скорость и энергия частицы должна вычисляться относительно именно этой среды.
Со вторым вопросом вы сможете разобраться, если посмотрите на частицы в системе отсчета второй среды. Представьте себе, как движется там частица и что ей надо сделать, чтобы вернуться в первую среду.
Решение
На рис. 3 показан фронт волны в трех системах отсчета: в исходной, где ударная волна бежит через неподвижную в целом среду, в системе фронта, где есть набегающее и убегающее течения, и, наконец, в системе покоя второй среды. Рассмотрим сначала процесс в системе фронта. Поскольку плотности до и после фронта разные, то и скорости во второй системе отсчета тоже разные, ведь поток вещества должен быть неизменным. А это значит, что в исходной системе отсчета вся среда целиком движется в ту же сторону, что и фронт, но только медленнее: u < v. Похожая картина наблюдается и в системе покоя второй среды, с той лишь разницей, что скорость первой среды и скорость ударной волны направлены в разные стороны.
Рис. 3. Три системы отсчета: исходная система (слева), система отсчета ударной волны (в центре), и система покоя среды 2 (справа). Длина стрелок указывает скорости движения среды или фронта ударной волны
Из этого рассуждения становится ясно, что обе среды как бы набегают друг на друга, а частица мечется между ними. Когда она пересекает фронт волны, она влетает в среду, которая уже движется ей навстречу. С точки зрения этой среды частица уже повысила свою энергию. Петляя внутри второй среды в сложном магнитном поле, частица энергию не теряет. Но когда она пересекает границу обратно, она снова влетает в среду, которая движется ей навстречу.
Это очень похоже на известную механическую задачку: две стенки медленно сближаются друг с другом, а между ними летает шарик, упруго отскакивая от стенок. Если скорость шарика v, скорость стенки — u, то после отскока скорость шарика возрастает до v + 2u, а кинетическая энергия увеличивается примерно в (1 + 4u/v) раз. У нас — релятивистская разновидность этой же задачи; стенками служат две среды, а скорость v очень близка к скорости света и почти не меняется. Тем не менее за счет релятивистских законов каждый раз возрастает энергия частицы. Отсюда следует общий вывод: при каждом пересечении фронта туда-обратно энергия частицы возрастает в какое-то количество раз (обозначим это число через c). Чему равен этот множитель — неважно, главное, что он не зависит от энергии частицы (этот факт — простейшее следствие пересчета энергии релятивистской частицы при переходе в другую систему отсчета). Поэтому если начальная энергия частицы была E0, то после n таких циклов ее энергия вырастет до
.
Но вообще-то мы не можем гарантировать, что, попав во вторую среду, частица обязательно вернется в первую. Ведь в системе покоя второй среды фронт убегает от хаотически блуждающей частицы. Если частица не вернулась к фронту достаточно быстро, то она уже больше его не догонит, а значит, она выпадет из процесса ускорения. Вероятность того, что хаотично блуждающая частица догонит фронт ударной волны, не очень проста для расчета. Но опять же, нам не надо ее вычислять. Достаточно лишь почувствовать, что, поскольку этот процесс чисто геометрический, вероятность возврата тоже не зависит от энергии. Обозначим эту вероятность через p. Итак, если изначально у нас было N0 частиц, готовых к ускорению, то после n циклов у нас осталось
частиц.
Осталось объединить два результата. Выразив из первой формулы n и подставив во вторую, получаем, что количество частиц, ускоренных до энергии E и выше, выражается формулой
Вот и получилась искомая степенная зависимость с «корявым» показателем, который вовсе не выражается красивым числом, а вытекает из сложных физических расчетов. Если мы хотим получить спектральное распределение — то есть не общее количество частиц с энергией выше E, а количество частиц, попавшее в интервал от E до E + 1 ГэВ, — то показатель увеличится еще на единичку. Число 2,7, описанное выше, относится как раз к этой величине γ + 1.
Послесловие
Вычислительную суть этой задачи можно свести к такому простому наблюдению: степенные законы с неуклюжими показателями возникают тогда, когда линейно зависят друг от друга не сами физические величины, а их логарифмы. Здесь мы рассмотрели задачу из физики плазмы, но вообще такие ситуации встречаются и в других областях физики. Например, в физике элементарных частиц есть понятие «бегущих параметров» — это когда некоторые величины зависят от того, при каких энергиях их измеряют. Таковы, например, массы кварков: они степенным образом зависят от энергии столкновения частиц с довольно неуклюжим показателем степени. В физике конденсированных сред, при температурах вблизи температуры фазового перехода второго рода Tcr, тоже многие величины зависят от T − Tcr по степенному закону. Показатели степени в этой ситуации называются критическими показателями и, в простейшем приближении, вычисляются с помощью теории критических явлений Ландау.
Вернемся теперь к космическим лучам и к их разгону на фронте ударной волны. Этот механизм разгона называется фермиевским механизмом первого порядка (first-order Fermi acceleration) и был разработан в конце 1970-х годов советским физиком Г. Ф. Крымским и западными исследователями (см., например, обзор Е. Г. Бережко, Г. Ф. Крымский, 1988. Ускорение космических лучей ударными волнами). Если выполнить расчет аккуратно, то даже в простейшем приближении получается коэффициент
где число r показывает, во сколько раз сжимается среда ударной волной. В случае сильной ударной волны r = 4, поэтому спектральный показатель получается равным γ + 1 = 2, что уже не так плохо (измерения, напомним, дают число около 2,7).
Существуют и другие механизмы, в том числе и тот, который физик Энрико Ферми придумал еще в 1949 году и который сейчас называется фермиевским механизмом второго порядка. Можно и дальше усложнять расчеты (которые неизбежно перетекают в численное моделирование), учитывать тонкости физики плазмы и ударных волн, принимать во внимание те условия, которые существуют в реальных астрофизических ситуациях, а также пытаться учесть потери, как энергии, так и самих частиц. Всем этим физики занимаются уже много лет и достигают определенных успехов, хотя полностью удовлетворительной во всех смыслах теории пока не построено.
Ну и последний момент. На разных участках огромного диапазона энергий космических лучей показатель степени слегка различается. Где-то он ближе к 2,5, где-то ближе к 3, причем переходы между этими областями довольно-таки резкие (рис. 4). В самом первом приближении можно весь спектр разделить на четыре участка. Первый простирается до 1015 эВ, затем происходит излом, называемый «коленом», и дальше спектр падает с энергией круче, но после прохождения обратного излома, «лодыжки», в районе 1018,5 эВ он снова слегка выпрямляется. Наконец, в области сверхвысоких энергий, 1020 эВ, должен вступать в игру эффект Грайзена-Зацепина-Кузьмина, но физики до сих пор обсуждают, насколько надежно он проявляется в данных.
Рис. 4. Тот же поток космических лучей, но домноженный на E2,5, четко показывает, что на разных участках спектра показатели степенной зависимости слегка различаются. График из статьи T. Pierog, 2013. Connecting accelerator experiments and cosmic ray showers
Спектр в виде участков с разными показателями, разделенными изломами, означает, что космические лучи разных диапазонов энергий получаются за счет разных механизмов, ну или, по крайней мере, разгоняются разными астрофизическими объектами. С одной стороны, это усложняет задачу, но с другой стороны, делает ситуацию еще более интересной. Такая простая вещь как показатель степени становится источником очень ценной информации о том, как вообще функционирует наша вселенная и отдельные объекты в ней.
Задача, как всегда, очень интересная и красивая, спасибо.
Рис. 1. Поток частиц космических лучей, бомбардирующих Землю, меняется от 1 частицы в секунду через квадратный сантиметр при энергии ниже 1 ГэВ до 1 частицы в несколько лет через квадратный километр при энергиях выше 1019 эВ. Во всем этом огромном диапазоне поток зависит от энергии приблизительно по степенному закону с нецелым показателем. График из статьи M. Duldig, 2006. Cosmic Rays Track the Rotation of the Milky Way