Делим правильный шестиугольник на равные части

Фёдор Куянов
«Квантик» №5, 2025

Художник Алексей Вайнер

На Математическом празднике, проходившем в феврале 2025 года, предлагалось разрезать «яблоко» (рис. 1) на 5 равных фигур (задача 6 для 7 класса, автор Иван Русских).

Рис. 1

Фигурам разрешалось быть несвязными (состоящими из нескольких частей), но они должны были не просто иметь одинаковую площадь, а быть действительно равными. Другими словами, нужно было придумать такой трафарет с несколькими дырками (который можно поворачивать и переворачивать), что каждая фигура получается, если приложить трафарет к бумаге и закрасить каким-то цветом всю видимую через трафарет область. Решение — на рисунке 2 (каждая фигура показана своим цветом).

Рис. 2

Яблоко, которое мы разрезали на равные части, состоит из правильного шестиугольника с «хвостиком». А на сколько равных фигур можно разрезать сам правильный шестиугольник?

На 2, 3, 4 или 6 равных частей — совсем несложно (рис. 3).

Рис. 3

Чуть подумав, можно сообразить, как разделить шестиугольник на любое число равных частей, кратное трём, — делим его на 3 ромба, а каждый из ромбов режем на N равных полосочек (рис. 4).

Рис. 4. Деление на 3N частей

Менее очевидно, как разделить правильный шестиугольник на любое чётное число равных частей. На рисунке 5 изображена конструкция из несвязных частей, придуманная автором.

Рис. 5. Деление на 2N частей

Хорошо, но можно ли разрезать шестиугольник, скажем, на 5 или 7 равных частей? Оказывается, в обоих случаях ответ «да»! На рисунках 6 и 7 приведены конструкции, найденные автором в 2024 году с помощью компьютера (см. github.com/kuyanov/mathpuz-solver).

Рис. 6. Деление на 5 частей

Эти части действительно равны — проверьте сами! Тогда, наверное, и на 11, и на 13 частей можно разрезать? Неизвестно! Может, у вас получится?

Рис. 7. Деление на 7 частей