Как разрезать верблюда?

Григорий Мерзон
«Квантик» №5, 2020

Зайдя на Математический праздник (см. «Квантик» № 4, с. 26–27), Квантик решил сам порешать задачки — вне конкурса, разумеется, для интереса. Ему понравилась задача Юрия Маркелова про «верблюда»:

требовалось разрезать фигуру на 3 части, из которых можно сложить квадрат.

— Сначала надо понять, какого размера квадрат складывать, — размышлял Квантик. — Ну это просто: площадь фигуры 25 клеток, значит, квадрат должен быть 5×5.

Но дальше дело застопорилось. Как Квантик ни пытался разрезать верблюда на 3 части, хоть одна из них упорно отказывалась помещаться в квадрат 5×5.

— Очень уж этот верблюд широкий, приходится резать по вертикали... И высокий, потом каждую часть снова придётся резать... А, так вот же доказательство! — И Квантик отметил у верблюда четыре клетки:

— Как верблюда ни режь на три части, в какую-то из них попадут хотя бы две отмеченные клеточки. Но их не удастся даже просто накрыть «по клеточкам» одним квадратом 5×5. Ничего не выйдет!

Квантик взял бланк с условиями задач, чтобы записать своё решение, и... обнаружил, что не дочитал условие до конца: верблюда разрешалось резать не обязательно по линиям сетки!

— Так, начнём заново... Что вообще хорошего в этой фигуре? Что-то с чем-то же должно состыковываться, чтобы получился ровный квадрат? Вот, например, «голова» с «шеей»... Кажется, рядом с «задней ногой» углубление примерно такой же формы... Или не такой же?

Квантик решил проверить и стал пририсовывать к верблюду ещё одного, а потом ещё и ещё... Скоро весь черновик заполнился паркетом из верблюдов:

— Что-то я увлёкся... Но раз верблюды так хорошо упаковываются вместе, может, и впрямь получится сложить квадрат? А кстати, «так» — это как? Как связаны первый и второй верблюды? Ага, нужно сдвинуть первого верблюда на 4 клетки вправо и ещё на 3 вниз... 4 клетки по горизонтали и 3 по вертикали... Это же египетский треугольник!

— То есть квадрат можно составлять не прямой, а косой. Надо только найти, как бы эти косые стороны квадрата уместить в верблюда... А вот же!

Когда Квантик нарисовал все такие линии поверх паркета, получилось совсем красиво.

— Ну да, понятно: каждая часть квадрата — это кусочек одного из сдвинутых верблюдов. А если их сдвинуть обратно, составится исходный верблюд:

Время до конца олимпиады ещё оставалось, и Квантик стал размышлять, можно ли решить ещё какие-нибудь задачи на разрезание похожим методом.

— Вот, например, теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, a² + b² = c². Из двух квадратов a × a и b × b должен бы складываться квадрат с × с... Значит, надо плиткой из двух этих квадратов замостить плоскость... И чтобы одна плитка из другой получалась сдвигом на a клеток по горизонтали и на b по вертикали...

И Квантик нарисовал такую картинку (как раз для египетского треугольника).

А придя домой, Квантик прочитал в интернете, что доказательство теоремы Пифагора при помощи такой «пифагоровой мозаики» придумали ещё арабские математики Ан-Найризи и Сабит ибн Курра в IX веке.

Художник Алексей Вайнер