Задача о диване
Материал подготовил Григорий Мерзон
«Квантик» №6, 2025
Представьте себе, что мы хотим пронести фигуру («диван») как можно большей площади по Г-образному (поворачивающему под прямым углом) длинному коридору ширины 1. Какой формы должен быть диван и чему равна эта площадь?
Ясно, что легко пронести квадрат со стороной 1, его площадь равна 1. Можно сообразить, что пролезет и полукруг радиуса 1; его площадь чуть больше: π/2 ≈ 1,57 (рис. 1).
Рис. 1. Квадрат и полукруг в Г-образном коридоре
Задачу о диване сформулировал в 1966 году Лео Мозер (Leo Moser). А в 1968 году Джон Хаммерсли (John Hammersley) заметил, что если между двумя четвертинками окружности вставить прямоугольник с вырезанной полукруглой дыркой (рис. 2), то можно пронести и такой диван. Радиус выреза r можно брать любым между 0 и 1, но самая большая площадь получается при r = 2/π и равна π/2 + 2/π ≈ 2,2074.
Рис. 2. Диван Хаммерсли
Много лет этот результат никто не мог улучшить, и многие ожидали, что это и есть «идеальный» диван. Но в 1992 году Джозеф Гервер (Joseph Gerver) немного подправил форму дивана (рис. 3), увеличив площадь примерно на 0,5% — приблизительно до 2,2195.
Рис. 3. Диван Гервера на фоне дивана Хаммерсли (сайт «Математические этюды», etudes.ru)
В диване Гервера дуги окружностей заменены на полтора десятка участков более хитрой формы, каждый участок — кусочек кривой, заданной своим уравнением (рис. 4).
Рис. 4. Участки, на которые разбита граница дивана Гервера
Тут уже, наоборот, казалось бы странным ожидать, что это и есть окончательный ответ. Но в конце 2024 года Пэк Чинон (Jineon Baek) выложил препринт с доказательством оптимальности дивана Гервера. Доказательство занимает больше 100 страниц. Будем надеяться, что оно верное.
Художник Алексей Вайнер