Форма воды

Вы наверняка неоднократно наблюдали, как из неплотно закрытого крана капает вода. Представьте: вот натекло достаточно воды, начинает формироваться очередная капля. Водный перешеек, соединяющий ее с краном, утончается, и в какой-то момент капля отделяется от оставшейся на кране воды и пускается в свободное падение. Вопрос: какую форму принимает поверхность воды ровно в момент отделения капли?

Я как-то опрашивал своих студентов, и многие из них рисовали этакую каплеобразную форму, как на рисунке слева. Этот рисунок, кстати, был сгенерирован «умным помощником» Copilot, встроенным в браузер Microsoft Edge, как раз по такому запросу. Увы, этот ответ очень далек от того, что происходит в природе. Реальная форма воды в момент отрыва показана на рисунке справа. Основная капля в этот момент принимает форму, близкую к сферической, а сверху в нее словно втыкается своим острием веретенообразный водный мостик с двумя перемычками. Стоит подчеркнуть, что эта форма не случайна: она воспроизводится раз за разом во всех деталях, с одинаково острым водным мостиком, а значит, она определяется не какими-то случайными факторами, а самой динамикой воды.

Замедленная съемка отрыва капли от струи воды. Видео с сайта youtube.com

Дальше всё тоже развивается словно по заранее написанному сценарию. Спустя крошечную долю секунды рвется нижняя перемычка, и каплю уже ничто не удерживает от падения. Она начинает двигаться вниз, а на ее «макушке», в месте крепления перемычки, возникает и расширяется плоское «темечко». В конечном итоге оно порождает волны на поверхности воды, которые запускают колебания падающей капли. Нечто похожее происходит и с острием водного мостика: оно собирается в шарик и запускает колебания вдоль поверхности воды. Параллельно с этим утончается и рвется верхняя перемычка водного мостика, и из него в конечном итоге образуется вторая, но уже крошечная капелька-сателлит.

Стадии процесса отсоединения капли, отстоящие от момента непосредственного отрыва на 5 мс (миллисекунд), 1 мс, 0, −0,5 мс, −1 мс. Изображения были получены с помощью скоростной видеосъемки с кадровой частотой 54 тысячи кадров в секунду. Размер капли составляет 2,25 мм. Изображение из статьи I. M. Hauner et al, 2017. The Dynamic Surface Tension of Water

Почему так происходит? Откуда возникает такая замысловатая динамика? Если пренебречь вязкостью и считать, что вода натекает из крана достаточно медленно, то поведение воды определяется двумя силами: гравитацией, тянущей каплю вниз, и силами поверхностного натяжения. Явление поверхностного натяжения состоит в том, что свободная поверхность жидкости в буквальном смысле натянута, напряжена, она обладает избыточной энергией по сравнению с толщей воды. Если у жидкости есть возможность стянуть свободную поверхность без изменения объема, она тут же стремится этим воспользоваться.

Поверхностное натяжение порождает целый ряд красивых эффектов, которые называются капиллярными. Например, оно заставляет каплю неровной формы колебаться: поверхностное натяжение пытается стянуть каплю в шар, но из-за инерции это получается далеко не сразу, и она колеблется около оптимальной формы. Капиллярные силы также порождают мельчайшую рябь на поверхности воды при обтекании небольших препятствий. Подставьте палец под тонкую ровную струйку из крана, повыше, недалеко от самого крана — и вы увидите, как гладкий столб воды вдруг пошел рябью.

Что касается процесса отделения капли от протекающего крана, то тут поверхностное натяжение удивительным образом играет две противоположные роли. Поначалу именно оно удерживает каплю от падения. Однако по мере того, как капля провисает и ее движение вниз становится неотвратимым, именно поверхностное натяжение окончательно сжимает перемычку и гарантирует отрыв капли. Особенность капиллярных сил такова, что чем меньше радиус кривизны, тем жестче хватка поверхностного натяжения. Когда водный мостик уже близок к цилиндрической форме и поверхностное натяжение продолжает сжимать цилиндр, вода пытается выбраться наружу, уходя либо вниз, в каплю, либо вверх, к оставшейся воде. Но в центре водного мостика возникает «давка», вода застаивается, а вот по краям мостика она легко вытекает, причем ей легче утекать вниз, по силе тяжести. Именно из-за этого цилиндрический мостик приобретает несимметричную веретенообразную форму. В самые последние мгновения перед отрывом капли нижняя перемычка уже настолько тонка, а хватка поверхностного натяжения так велика, что даже силой тяжести уже можно пренебречь. В результате сжатие перемычки происходит в самоподобном режиме: диаметр нижней перемычки уменьшается, но ее форма остается примерно постоянной (см. задачу Последние мгновения перед отрывом капли).

Любопытно, что размышлять о динамике этого процесса пытался еще Леонардо да Винчи. В своем Лестерском кодексе, написанном в 1504–1510 годах, да Винчи как раз на примере отрывающейся капли впервые корректно описывает само явление поверхностного натяжения. Впрочем, несмотря на всю свою наблюдательность, углядеть правильную форму капли в момент отрыва он, конечно, не мог — ведь всё происходит за считаные миллисекунды. Серьезное изучение динамики капель и струй началось лишь в XIX веке, капли-сателлиты были обнаружены французским физиком Феликсом Саваром и бельгийским исследователем Жозефом Плато (причем еще до возникновения фотографии!), но форму капли физики смогли запечатлеть лишь ближе к концу века. Ниже приведены результаты фотографического исследования процесса отделения капли, проведенного в 1887 году немецким физиком Филиппом Ленардом с использованием искрового разряда в качестве сверхкороткой фотовспышки.

Фотографии отрыва капли, полученные Филиппом Ленардом в 1887 году. Изображение из статьи J. Eggers, E. Villermaux, 2008. Physics of liquid jets

А вот что касается точного математического описания процесса и вывода формы воды из чистой теории, тут прогресса пришлось ждать долго. Дело в том, что метаморфозы капли и водного мостика — процесс очень нелинейный. Хотя уравнения гидродинамики с учетом свободной поверхности были известны давно, решить их с достаточной точностью и до конца проследить динамику отрыва капли удалось лишь в 1990-е годы благодаря компьютерным технологиям. Численные расчеты смогли даже воспроизвести такие тонкие детали, как формирование микроскопической «ямочки» в месте соединения водного мостика с каплей.

Более пристальное наблюдение показывает, что в том месте, где перемычка крепится к капле, возникает микроскопическая «ямка». Слева — результат численного анализа, наложенный на фотографию. Справа — та же капля, сфотографированная под углом для лучшей видимости ямки. Изображение из статьи A. U. Chen et al, 2002. Computational and Experimental Analysis of Pinch-Off and Scaling

Может показаться, что такого рода исследования возможны только при наличии дорогостоящей скоростной видеокамеры. Все самые интересные стадии процесса укладываются в пару миллисекунд, а чтобы запечатлеть форму водного мостика, требуется «выхватить» его с точностью в сотню микросекунд. Однако это вполне по силам обычным фотовспышкам, и единственная трудность тут — поймать каплю именно в нужный момент. Автор заметки попробовал сделать это в домашних условиях. В наличии была камера Sony a6600, объектив Sony E 4/PZ 18-105mm G OSS, вспышка Godox TT685II, штатив, капельница, молоко. Съемка проводилась в темноте, причем вспышка была переведена в стробоскопический режим, в котором она выдавала 10 отдельных вспышек длительностью в десятки микросекунд, отстоящих по времени на 10 мс (к сожалению, 100 Гц — максимальная частота для этой вспышки). Экспозиция была достаточно большой, чтобы все 10 вспышек попали на один кадр. Для того, чтобы изображения не накладывались друг на друга, камера была установлена на штатив, и в момент нажатия на спуск она вручную поворачивалась в горизонтальной плоскости. Одной из вспышек удалось попасть точь-в-точь в момент отрыва капли, продемонстрировав критическую форму воды во всей ее красе.

Результат домашнего эксперимента по поимке формы капли в момент отрыва. На врезке показан увеличенный фрагмент снимка с усилением контраста. Здесь приведен лучший результат из серии экспериментов. Разница по времени между последовательными стадиями −10 мс. Фото Игоря Иванова

Тем, кого зацепила эта богатая на впечатляющие эффекты тема, я могу посоветовать две отличные научно-популярные книги на русском языке: «Капля» (1977) — книга, написанная Яковом Евсеевичем Гегузиным в лучших традициях советского научпопа, — и увлекательное пособие с целой россыпью эффектов и экспериментов «Капли. Струи. Звук. Учебные исследования» (2008) за авторством Валерия Вильгельмовича Майера.

Слева — изображение, сгенерированное нейросетью по запросу о форме капли воды в момент отрыва; справа — реальная форма капли и водного мостика в момент отрыва, кадр из видео с сайта youtube.com.

Игорь Иванов