Нейтроны в ловушке

Начните с базовых выражений, которые вы может получить по формулам движения в поле тяжести, и затем вычислите оба периода. Подумайте, как визуально упростить изображение траекторий в яме, если удары о боковые стенки абсолютно упругие.

Для второй задачи нарисуйте траектории, которые вылетают или не вылетают из ямы. Поскольку кинематика одинаковая, они могут отличаться только горизонтальным смещением. Выясните, какие смещения пойманной частицы безопасны, а какие приводят к тому, что она вылетит из ямы.

В третьей задаче рассмотрите случай, когда горизонтальная скорость отличается от v₀ на небольшую добавочную скорость u. Подумайте, что произойдет с траекторией частицы в этом случае и когда частица сможет покинуть яму. После того как разобран пример для конкретной скорости u, представьте, что у вас есть много частиц с разными добавочными скоростями, и посмотрите на «испарение» частиц из ямы с точки зрения внешнего детектора.

1. Для начала воспользуемся приемом, который позволит нам не заботиться о движении туда-сюда при упругих ударах о вертикальные стенки. В момент удара горизонтальная скорость шарика меняет знак, а вертикальная не меняется. Вместо того чтобы рисовать эту реальную отразившуюся траекторию шарика в яме, можно отразить саму яму, а траекторию просто продолжить вглубь отражения, словно шарик вообще не испытывал никакого воздействия стенки (рис. 2). Такие отражения можно продолжать и дальше, раз за разом рисуя новое отражение ямы, но сохраняя при этом траекторию прыжков свободной частицы. Все вопросы исходной задачи (период прыжков, вылет из ямы и т. д.) совершенно эквивалентны вопросам в этой новой задаче.

Рис. 2. Вместо того чтобы отражать траекторию частицы от стенок, можно многократно зеркально отразить саму яму

Теперь обратимся к вычислениям. Период подскока — это удвоенное время падения с высоты H на дно ямы; он равен
.
За это время частица по горизонтали (в «зеркальной» задаче!) сместилась на расстояние X = v₀·T_y. По условию задачи, это расстояние должно совпадать с длиной, на которой укладывается полный период горизонтального движения, то есть 2d. Отсюда получаем искомую скорость:
.

2. Условие равенства периодов дает нам скорость, но никак не ограничивает конкретное начальное положение частицы в яме. При одних начальных положениях частица может действительно постоянно отражаться от стенок, при других — перемахнет через край ямы. Ключевым является тот участок траектории частицы, который лежит выше краев ямы (линия, проведенная точечным пунктиром на рис. 3).

Рис. 3. Траектории, лежащие между двумя показанными, вылетают из ямы. В какую именно сторону движется частица над краем ямы — направо или налево, — неважно; в этих двух случаях можно использовать как левую, так и правую половину рисунка

Если в своем горизонтальном движении частица проходит стенку на этом участке, то она со стенкой не столкнется и вылетит из ямы. Горизонтальная длина этого участка тоже считается по формулам движения в поле тяжести и равна
.
Если начало этого участка — момент, когда частица взлетит выше стенок ямы, — оказалось ближе к стенке (по направлению к которой летит частица), чем эта длина, то частица покинет яму. Отношение этой длины к ширине ямы равно
.

По условиям второй задачи, имеется много частиц, которые в начальный момент были равномерно распределены по яме, но обладали одинаковыми кинематическими характеристиками. Проследим траектории всех этих частиц до того момента, когда они пересекут уровень краев ямы. Тогда они будут по-прежнему равномерно распределены по ширине ямы, ведь горизонтальное распределение не чувствует вертикального движения и не зависит от высоты. Те частицы, которые попадут в зону вылета (область между двумя траекториями на рис. 3), покинут яму. Те, которые не попадут, — останутся там прыгать и дальше. Поэтому отношение p и дает искомую долю вылетевших частиц.

Если траектория частицы позволяет ей вылететь из ямы, то она это сделает в течение одного периода. Таким образом, все частицы, которые яма не может удержать, покинут ее за один период или раньше. После этого никаких новых частиц из ямы вылетать не будет.

Подчеркнем также, что, когда отношение p превышает единицу (то есть при H > 4h/3), частица с выбранной горизонтальной скоростью гарантированно покинет яму, и не важно, где она находилась. В этом случае доля вылетевших частиц составляет 100%. Иными словами, высоко подлетающие частицы не смогут совершать прыжки внутри ямы с одинаковыми периодами по вертикали и горизонтали (впрочем, тогда остаются возможными и другие соотношения между периодами, тоже приводящие к периодическим траекториям и застреванию в яме).

3. В третьей задаче предположим, что горизонтальная скорость частицы равна v = v₀ + u, где u — маленькая добавка к скорости. Тогда соотношение между вертикальным и горизонтальным периодами нарушается, и траектория застрявшей частицы в яме уже не будет повторяющейся. После одного вертикального подскока и горизонтального движения туда-сюда частица вернется не ровно на то же место, а продвинется вперед на расстояние Δx = u·T_y. Получается, что даже если частица вначале находилась в безопасном интервале, она после каждого периода будет продвигаться дальше, всё ближе к зоне вылета. По условиям задачи, добавочная скорость u невелика, и поэтому мы можем считать, что Δx < X. Тогда частица рано или поздно попадет в опасную зону и вылетит из ямы. (Читатель может самостоятельно разобрать вариант, когда это соотношение не выполняется.) Длина безопасной зоны равна d − X, поэтому через время t = (d − X)/u все частицы с такими скоростями вылетят из ямы.

Последний шаг — это представить, что у частиц есть равномерное распределение по добавочной скорости u в небольшом интервале с центром в нуле. Тогда все частицы с ненулевой скоростью u рано или поздно покинут яму, но для разных частиц этот процесс займет разное время. Чем меньше u, то есть чем ближе траектория частицы к строго периодической, тем дольше она будет находиться в яме, как бы готовясь к вылету.

Если посмотреть на эту систему с точки зрения внешнего детектора, который регистрирует «испарившиеся» из ямы частицы, то картина будет такой. Вначале в течение одного периода из ямы вылетят все частицы, которые она не могла сразу же удержать. После этого пойдет более слабый поток частиц, которые находились близко к опасной зоне и достигли ее за несколько подскоков. Спустя некоторое время все частицы с существенными значениями u уже вылетели, и из ямы только будут иногда выходить частицы с небольшими u. Чем дольше мы будем ждать, тем меньше останется таких частиц и тем слабее будет «остаточное испарение». Однако оно не прекратится полностью — частицы с траекториям, очень близкими к периодическим, могут застрять в яме надолго.

Движение материальной точки в яме (или вообще в замкнутом пространстве) с упругим отражением от стенок выглядит элементарной механической задачей. Это так, но только до тех пор, пока яма остается прямоугольной. Для других форм не только усложняются сами траектории частиц, но вообще становятся возможными разнообразные нетривиальные явления, для описания которых привлекается сложная математика. Более того, сам по себе этот класс задач — они носят название «динамические бильярды» — является одним их самых активно исследуемых в теории динамических систем, теории динамического хаоса, эргодической теории. Для начального знакомства с этим богатым разделом можно порекомендовать книжку: Г. А Гальперин, А. Н. Земляков, Математические бильярды, выпуск 77 серии Библиотечки «Квант».

Что касается нейтронных ловушек и задачи измерения времени жизни нейтронов, то там эта чисто механическая проблема «застревающих» почти периодических траекторий тоже встает в полный рост. В типичном эксперименте ловушку заполняют нейтронами, затем ждут некоторое время, после этого «высыпают нейтроны» и считают, сколько их выжило к этому моменту времени. Иногда для минимизации погрешностей и получения дополнительной информации эта процедура делается в несколько приемов (рис. 4). Сначала ловушку с открытым горлом наклоняют и регистрируют, сколько нейтронов из нее выходит. Спустя некоторое время наклоняют больше и снова регистрируют количество вышедших нейтронов. Так повторяют несколько раз и под конец полностью переворачивают ловушку. Так работает, в частности, созданная в России нейтронная ловушка Gravitrap.

Рис. 4. Общая схема работы нейтронной ловушки Gravitrap. Поворачивая окно ловушки, можно выпускать только часть нейтронов, ту, которая находится выше уровня окна. Такая схема, однако, требует, чтобы в ловушке не было нейтронов на «застрявших» траекториях

Естественное предположение, что, как только вы наклоняете ловушку, все нейтроны с энергией выше края из нее быстро вылетят, оказывается неверным. Наша задача показывает, что даже в простом случае может быть много частиц, которые из-за сочетания геометрических факторов и скоростей случайно попали на почти периодические траектории. Такие частицы могут обладать довольно большой энергией; они и рады бы вылететь из ловушки, но застряли надолго на своих почти повторяющихся траекториях. Такие нейтроны называются в англоязычной литературе «marginally trapped neutrons», что означает «нейтроны на грани удержания», «почти захваченные нейтроны».

Неконтролируемое присутствие таких нейтронов может сильно исказить результаты измерения времени жизни нейтрона. Например, на первом этапе на рис. 4 мы думали, что вытряхнули все нейтроны выше какого-то уровня, но на самом деле кое-какие нейтроны там застряли. Эти застрявшие нейтроны могут покинуть ловушку позже, в процессе второго выплескивания, и тогда мы ошибочно отнесем их к другой нейтронной порции. Соотношение между количеством нейтронов, зарегистрированных счетчиком на разных стадиях, исказится, и это повлияет на измерение времени жизни.

Рис. 5. Вверху: пример ловушки нейтронов специальной формы, которая благодаря беспорядочным магнитным полям обеспечивает хаотичность нейтронных траекторий. Внизу: результаты расчета траекторий в этой структуре. Изображения из статьи S. Paul. 2009. The Puzzle of Neutron Lifetime

Конечно, эта проблема не является непреодолимым препятствием, но тем не менее это отдельный источник погрешностей, который приходится аккуратно учитывать. В любом случае, перед экспериментаторами встает задача не допустить существования (или минимизировать наличие) в ловушке почти периодических траекторий. Это можно сделать, обеспечив хаотическое движение нейтронов (рис. 5) — это уже настоящий пример того, как теоретическая механика приносит пользу в исследовании нейтронов. Довольно много усилий в последние годы тратится именно на поиск подходящей конструкции.