Закономерности слабой связи
Связанным состоянием в физике называют составную систему, которая, будучи предоставлена сама себе, не разваливается самопроизвольно на части, а держится как единое целое. Для того, чтобы разделить ее на части и разнести их далеко друг от друга, требуется затратить некоторую энергию; она называется энергией связи Eсв этой системы.
Обычно связанное состояние означает, что полная энергия системы в системе покоя центра масс отрицательна. Эта полная энергия включает кинетическую энергию всех частиц, K, а также потенциальную энергию всех видов взаимодействий, действующих между ними, U. Потенциальная энергия при этом отрицательна, а кинетическая энергия хоть и положительна, но недостаточно велика для преодоления сил притяжения. Если силы притяжения таковы, что потенциальная энергия стремится к нулю при разделении тел (в гравитации, в электростатическом притяжении, в силах притяжения между атомами), то полная энергия системы как раз равна минус энергии связи: K + U = −Eсв (Чтобы избежать двусмысленности, подчеркнем, что энергией связи мы здесь называем энергию полного разделения на части всей составной системы.)
В классической механике два притягивающихся тела всегда могут образовать связанное состояние, сколь слабым бы ни было притяжение между ними. Достаточно лишь, чтобы они двигались не слишком быстро, а лучше бы вообще покоились относительно друг друга. В квантовой механике этот принцип нарушается. Бывает так, что две частицы вроде бы и притягиваются друг к другу, но не могут удержаться вместе и разлетаются. Этот эффект проявляется в ядерном мире (например, два нейтрона не могут образовать связанное состояние) и в строении вещества (жидкий гелий при нормальном давлении не может затвердеть даже при абсолютном нуле температуры). Причиной такого поведения является знаменитое соотношение неопределенностей Гейзенберга, которое выражает невозможность одновременно локализовать частицу и заставить ее полностью покоиться. Либо она полностью покоится, но тогда она однородно размазана по всему пространству, либо она локализована в какой-то области, но тогда у нее есть неустранимое движение, «неубиваемая» кинетическая энергия. При этом, чем меньше область локализации, тем больше эта кинетическая энергия; именно по этой причине атомы являются стабильными, и электрон не падает на ядро.
В атомной и ядерной физике это приводит к красивому явлению — «борромейским» связанным состояниям (происхождение названия см. в новости Измерен зарядовый радиус гелия-8, «Элементы», 03.01.2008). Так называются составные системы из трех частиц, живущие как бы на грани стабильности. Силы притяжения между ними недостаточно сильны, чтобы удержать вместе любые две частицы, но их хватает, чтобы удержать в связанном состоянии всю троицу. Если из нее убрать любую частицу, остальные две тут же разлетятся сами. Если, наоборот, добавить новых частиц, то связь крепнет, энергия связи увеличивается.
Рис. 2. Ядро гелия-6 как пример «борромейского» ядра: альфа-частица не способна удержать рядом с собой один нейтрон, и два нейтрона не способны держаться вместе без альфа-частицы, но вся троица в целом держится хорошо. Изображение из статьи в Rev. Mod. Phys. 85, 1383 (2013)
В недавней новости на «Элементах» мы рассказывали о примере таких борромейских состояний в ядерной физике — ядрах с нейтронным гало. Классический пример — ядро гелия-6, 6He. Его структуру можно записать очень просто: α+n+n, т.е. компактный «остов» из альфа-частицы (ядро гелия-4) и два нейтрона, крутящиеся поблизости (рис. 2). Один нейтрон альфа-частица удержать не смогла бы, так же как и два нейтрона не удержались бы вместе без альфа-частицы. Однако втроем вся эта система держится очень хорошо. Если же добавить еще пару нейтронов, то получившееся ядро 8He держится еще крепче.
В этой задаче мы изучим закономерности, которым подчиняется энергия связи, когда к борромейскому связанному состоянию добавляют новые частицы. Ни в какую настоящую квантовую механику мы пускаться не будем, а вместо этого рассмотрим простую механическую модель. Мы будем пытаться слепить из нескольких частиц одного сорта единое связанное состояние. При этом мы считаем, что каждая новая частица, добавленная в систему, существует там с неустранимой кинетической энергией K0, и что каждая частица взаимодействует с каждой другой, давая вклад U0 в потенциальную энергию системы. Величины K0 и U0 считаются неизвестными, они тут написаны просто для введения обозначений.
Задача
Предположим, что мы выяснили, что две частицы вместе не держатся, а три и более частицы — держатся. Энергии связи для трехчастичного и четырехчастичного связанных состояний оказались равными E3 и E4. Вычислите в рамках нашей простой модели энергию связи пятичастичного состояния. Докажите, что эта энергия должна превышать E3 как минимум впятеро.
Подсказка
Рассмотрите набор из N частиц, находящихся рядом и взаимодействующих друг с другом. Используемая в этой задаче модель сразу же говорит, сколько раз вам надо учесть кинетическую энергию, и сколько раз — потенциальную. Если бы величины K0 и U0 были заданы, то вы могли бы сразу вычислить энергию связи для любого числа N. Но они неизвестны, зато заданы E3 и E4. Поэтому вы через них можете выразить K0 и U0, а уже после этого сможете найти E5 — искомую энергию связи для пятичастичного связанного состояния.
Для того чтобы найти ограничение на величину E5/E3, подумайте, могут ли заданные величины E3 и E4 быть произвольными, или они удовлетворяют некоторому неравенству. Подумайте, из какого физического требования этой задачи такое неравенство могло бы возникнуть.
Решение
Хотя величины K0 и U0 и не заданы, мы имеем право их ввести и использовать в промежуточных расчетах; главное, чтобы ответ выражался не через них.
По предположениям нашей модели, каждая частица обладает кинетической энергией K0, а каждая пара частиц потенциальной энергией U0 = −|U0| (минус вынесен для наглядности, чтоб не забывать, что U0 отрицательна). В системе из N частиц мы должны N раз учесть кинетическую энергию и N(N − 1)/2 раз — потенциальную. Значит, полная энергия равна N · K0 − N(N − 1)/2 · |U0|. Для первых нескольких значений N получаем:
2 K0 − |U0| > 0,
3 K0 − 3 |U0| = −E3,
4 K0 − 6 |U0| = −E4.
Это позволяет выразить K0 и U0 через заданные в задаче величины:
K0 = E4 /2 − E3, |U0| = E4 /2 − 2E3 /3.
Таким образом, искомая величина равна:
Мы еще не учли выписанное выше неравенство: 2 K0 − |U0| > 0. Подставив полученные выражения, можем переписать его так: E4 > 8 E3 /3. Этому неравенству должны удовлетворять заданные величины E3 и E4; если бы это условие нарушилось, то двухчастичное связанное состояние было бы возможным, что противоречит условию задачи. Учтя это неравенство в полученном ответе, получим: E5 > 5 E3 , что и требовалось доказать.
Послесловие
Конечно, не может быть никаких иллюзий насчет реалистичности этой модели. Ясно, что в реальных ситуациях при объединении нескольких частиц все наши предположения могут нарушаться. Кинетическая энергия вовсе не обязана быть одинаковой для всех частиц, поскольку они из-за принципа запрета Паули должны находиться в разных квантовых состояниях. Потенциальная энергия взаимодействий тоже может заметно отличаться между разными парами частиц. Скажем, когда вы добавляете к ядру новый нейтрон, есть большая разница, было ли в ядре четное или нечетное число нейтронов. Именно поэтому нейтроны нужно добавлять к альфа-частице парами: поодиночке они просто не удержатся. Ну и наконец, нет никакой гарантии, что в таких системах всё взаимодействие будет исчерпываться только парными взаимодействиями. В тех же ядрах важный вклад дают трехнуклонные взаимодействия, и современные модели ядерных сил должны это учитывать.
Тем не менее, эта модель иллюстрирует одну простую, но важную мысль: при добавлении нейтронов к легкому ядру полная потенциальная энергия растет быстрее, чем кинетическая — по крайней мере, поначалу, пока нейтронов не слишком много. Несмотря на всю свою наивность и ограниченность, наша модель даже не слишком сильно «врет» в применении к тяжелым изотопам гелия. Так, известно, что для отделения пары нейтронов в ядре 6He требуется затратить примерно 0,98 МэВ, а для отделения такой же пары в ядре 8He — уже 2,13 МэВ, немногим вдвое больше. В нашей примитивной модели эта величина отвечает разрыву двух связей для 6He и шести связей в случае 8He, т.е. в три раза больше. Не такое уж и большое расхождение!
В принципе, этой модели можно было бы придать чуть-чуть больше реалистичности. Например, можно учесть спаривание нейтронов по спину, постановив, что все нейтроны разбиваются на пары и что потенциальная энергия внутри каждой пары большая, а между парами — очень слабая. Можно также считать, что кинетическая энергия каждой новой добавляемой частицы растет. Это позволило бы как-то моделировать эффект четных и нечетных нейтронных чисел и потерю устойчивости при избытке нейтронов; желающие могут потренироваться в построении такой модели и подборе численных параметров. Но вот магические числа нейтронов (особенно устойчивые нейтронные конфигурации) эта механическая модель все равно бы не объяснила. Это можно сделать только в рамках настоящего квантовомеханического расчета такой системы.
Ну, и последний штрих. Можно спросить: а есть ли примеры настолько слабых сил притяжения, что им не удается связать друг с другом не только две, но и три частицы, и четыре, и так далее вплоть до некоторого N, а связанное состояние возникает только с N+1 частицей? Оказывается, да. Например, ван-дер-ваальсова связь между атомами гелия так слаба, что она еле-еле может связать два атома гелия-4 (см. задачу на эту тему). Для гелия-3, самого легкого изотопа гелия, ситуация еще хуже. Связь там та же самая, но кинетическая энергия атомов больше, поэтому связанного состояния два атома 3He не образуют. То же самое относится к трем атомам, к четырем, и так далее — минимум до 20. Теоретические расчеты показывают, что для образования минимальной капельки гелия-3 требуется около 30 атомов! Подробности про свойства гелиевых нанокапелек, как чистых, так и в смеси, можно найти в обзоре 2006 года.
Рис. 1. В классической механике два тела всегда способны образовать связанное состояние, сколь бы слабые силы притяжения между ними ни действовали. В квантовом мире эта идиллия разрушается из-за соотношения неопределенностей Гейзенберга. Тогда становятся возможными такие квантовые системы, когда три частицы вместе держатся в связанном состоянии, хотя никакие две из них вместе удержаться бы не смогли. Фотография с сайта www.clubflyersmag.com