Механика крутильных весов

Гравитационное взаимодействие между грузами вычислить легко; сложнее сосчитать возвращающую силу, которая противодействует гравитационному притяжению. Здесь можно воспользоваться двумя методами расчета, в соответствии с тем, который кажется вам удобнее.

Первый использует непосредственно моменты сил. Выясните, что произойдет с нитями при повороте гантельки на маленький угол α, какие возникнут горизонтальные силы в местах крепления нитей к стержню и какой момент сил они создадут, и затем выясните, когда он сбалансирует момент сил притяжения.

Второй метод — энергетический. Докажите, что при повороте на некоторый угол гантелька вдобавок приподнимается в поле тяжести. Найдите потенциальную энергию этого подъема, а также потенциальную энергию притяжения грузов друг к другу. Поскольку смещение грузов за счет поворота будет много меньше R, эту потенциальную энергию можно вычислять по той же простой формуле, по которой вычисляется потенциальная энергия тела в поле Земли: она линейно растет с удалением от тела. После всего этого выясните, какой угол поворота обеспечивает минимум суммарной потенциальной энергии.

Рис. 3. Поворот гантельки на нерастяжимых нитях за счет гравитационного притяжения к неподвижным грузам; вид сверху (слева) и вид с другого боку (справа). Величина углов отклонения на этих рисунках сильно преувеличена. На рисунке справа дальние грузик и нить показаны пунктиром

Решение через моменты сил. Сила гравитационного притяжения в каждой паре грузов равна . Поскольку R много меньше L, взаимодействием тел с дальними грузами можно пренебречь. Для того чтобы найти возвращающую силу подвеса, сравним исходное и новое положение гантельки (рис. 3). Вид сверху (рис. 3, слева) показывает, что при повороте на угол α точки крепления нитей к стержню сместились в горизонтальной плоскости на расстояние Δx = αd/2 (это едва видимое на рисунке смещение крестиков, которые показывают точки крепления нитей). Поскольку верхние концы нитей зафиксированы, выходит, что каждая нить отклонилась от вертикали на угол .

Подчеркнем, что все углы здесь выражаются через радианную меру; именно в этих единицах для малых углов справедливо приближение, что синус или тангенс угла примерно равен самому углу.

Через каждую нить передается сила, равная силе тяжести одного груза, mg. А поскольку нить наклонилась, то у этой силы появляется компонента в горизонтальной плоскости: .

Итак, оба типа сил найдены, осталось домножить их на плечо действия этих сил и приравнять моменты сил (условие равновесия относительно вращения): .

Подставляя все выражения, находим равновесный угол поворота .

Заметим, что масса грузов, установленных на гантельке, сократилась. Первый множитель здесь — это очень маленькая величина, показывающая отношение сил гравитационного притяжения со стороны груза и со стороны Земли. Второй множитель, наоборот, большой, это чисто геометрический эффект, который и делает поворот гантельки заметным.

Решение через потенциальные энергии. Взглянем на рис. 3, справа, где смещение гантельки показано с другого бока; луч зрения здесь идет вдоль первоначального направления стержня. Из-за того что нити нерастяжимы, их длина остается неизменной. Поэтому точки крепления нити к стержню смещаются не строго горизонтально, а идут по дуге, и значит, они чуть-чуть приподнимаются. Если длина нити равна l, то этот подъем вычисляется так же, как и для обычного математического маятника: .

Изменение потенциальной энергии гантельки за счет подъема в поле земного притяжения равно .

С другой стороны, поворот гантельки сближает каждую пару грузов на расстояние ΔR = αL/2 и, как следствие, изменяет потенциальную энергию гравитационного притяжения в каждой паре на величину –F₀ΔR. Значит, потенциальная энергия взаимодействия всей гантельки с неподвижными грузами равна ΔE₀ = –F₀αL.

Изменение полной потенциальной энергии при повороте гантельки это просто их сумма. С этой суммой можно проделать преобразование под названием «выделение полного квадрата»:

Последнее слагаемое здесь — это просто константа, она от угла поворота не зависит. Поэтому минимум потенциальной энергии достигается, когда выражение в скобках зануляется. Это и дает искомый ответ, который совпадает с полученным ранее.

Если подставить числа, то угол поворота получится примерно 0,33 миллирадиана, или же примерно одна угловая минута; концы метрового стержня сдвинутся при таком повороте всего на 1/6 миллиметра. Если же мы хотим измерить гравитационную постоянную с относительной погрешностью 10^–4, то нам придется не просто зарегистрировать этот поворот, а измерить его как минимум с такой же точностью, то есть на уровне одной сотой доли угловой секунды!

Эта задача не только дает представление о том, насколько тонкими могут быть эксперименты по измерению гравитационной постоянной, но и иллюстрирует одну техническую особенность той работы французских исследователей, о которой шла речь в нашей новости.

Обратите снова внимание на полученный нами ответ. Зависимость от расстояния между двумя нитями появляется в формуле в знаменателе и к тому же в квадрате. Поэтому возникает естественное желание увеличить угол отклонения с помощью уменьшения d. Более того, можно вообще взять одну достаточно тонкую нить, которая еще держит килограммовую массу, и подвесить на нее гантельку ровно за центр тяжести. Собственно, именно так и ставились первые экспериментф с крутильными весами, — да и большинство нынешних.

Однако как только мы переходим от двух нитей к одной, сразу меняется механика возвращающей силы. В нашей задаче мы могли считать нити нерастяжимыми, поскольку возвращающий момент сил возникал чисто геометрически, за счет ненулевого плеча сил. В случае одной нити так делать уже нельзя, это уже будет нефизичное приближение. Здесь возвращающая сила возникает как раз за счет скручивания, деформации этой нити. Это значит, что возвращающий момент сил определяется механическими свойствами материала, из которого нить сделана. И вот эта чувствительность к механике материалов уже является источником беспокойства среди экспериментаторов, которые занимаются гравиметрией с крутильными весами.

Во-первых, эти свойства трудно точно измерить, ведь упругость материалов вовсе не ограничивается простым законом Гука. Во-вторых, эти упругие свойства материалов могут меняться с течением времени или зависеть от внешних условий, особенно, если нить очень тонкая или если крутильный маятник колеблется с большой амплитудой. Правда, тут есть одна маленькая хитрость: не вычислять возвращающую силу из свойств материала, а измерить период свободных колебаний такого крутильного маятника, и выразить возвращающую силу через него, но увы, механика деформируемого материала вмешивается и тут.

В экспериментах французской группы все эти тонкости не играют существенной роли. Дело в том, что вместо нити там использовалась тонкая и узкая металлическая лента (длина 16 см, ширина 2,5 мм, толщина 30 микрон); две нити нашей задачи — это упрощенная модель такой ленты. Лента создает возвращающую силу преимущественно за счет геометрических эффектов, а вовсе не за счет деформации материала. По оценке авторов работы, вклад деформации в возникающую силу составляет всего 4%. Это значит, что наша модель с двумя нерастяжимыми нитями является довольно хорошим приближением для этой ленты. А с точки зрения эксперимента, даже если упругие или пластические свойства материала известны не слишком хорошо, эта погрешность не будет играть существенной роли в точности измерений. Слабая зависимость результата от этих свойства материала — один из плюсов этих экспериментов.