Распад нестабильного вакуума
Не так давно в СМИ прошла новость с на редкость паническим заголовком: физики якобы выяснили, что хиггсовский бозон станет причиной смерти Вселенной! Подробное описание того, что на самом деле имелось в виду, можно найти в нашей новости Слухи о смерти Вселенной сильно преувеличены. Это описание полезно завершить задачей, которая — с небольшими подсказками — будет по силам и хорошему школьнику. В ней речь пойдет ни много ни мало о квантовом распаде вакуума.
В квантовом мире существует такое явление как туннелирование. Так называют перемещение квантовой частицы, которое было бы невозможно в рамках классической механики. Например, пусть у нас есть двойная потенциальная яма, в которой один минимум чуть глубже другого (рис. 2). Классическая механика говорит, что если частицу положить на дно менее глубокой ямы, то она так навсегда и останется там лежать. Квантовая же механика предсказывает, что частица не будет там находиться вечно: спустя некоторое время ее можно уже будет найти в более глубоком минимуме. Она протуннелировала несмотря на то, что ее энергии недостаточно для спокойного перемещения поверх потенциального барьера, разделяющего два минимума.
Рис. 2. Частица в потенциале с двумя разными минимумами. В классической механике частица может вечно покоиться в менее глубоком минимуме (слева); в квантовой механике через какое-то время произойдет туннелирование частицы в более глубокий минимум (справа)
Оказывается, нечто аналогичное может происходить и с вакуумом. В квантовой теории поля вакуум — это состояние поля с наинизшей (относительно умеренно больших отклонений) энергией. Для обычных частиц или полей вакуумное состояние — это просто отсутствие каких-либо частиц. Хиггсовское поле особенное, у него энергетически наивыгодное состояние может быть вовсе не пустое. Вселенная в результате этого оказывается заполнена однородным хиггсовским полем. (Подробнее см. на страничке про хиггсовский механизм.)
Простейший вариант такой ситуации — это «хиггсовское» поле h(r) с такой плотностью потенциальной энергии (его еще называют «потенциал»):
Здесь r — это трехмерная пространственная координата, v — некоторая величина размерности энергии (для настоящего хиггсовского поля она примерно равна 246 ГэВ). Минимальной энергия будет тогда, когда во всём пространстве поле h(r) будет равно константе: v или –v. Любое изменяющееся в пространстве поле обязательно приведет в целом к большей энергии. Высота потенциального барьера, разделяющего два минимума, равна
Рис. 3. В некоторых хиггсовских механизмах может возникнуть ситуация с двумя неравноправными вакуумами. В этом случае время до распада сильно зависит от отношения δ/ε
В таком виде оба значения вакуумного среднего поля равноправны, поскольку потенциал симметричен. Но оказывается, в неминимальных вариантах хиггсовского механизма возможна ситуация, напоминающая рис. 2. В них потенциал чуть-чуть перекошен «в пользу» одного из минимумов (рис. 3). Форма и высота потенциального барьера при этом практически не меняется (так что можно пользоваться формулой для δ), но между двумя минимумами имеется перепад в плотности энергии ε. Тот факт, что перекос небольшой, означает, что δ/ε ≫ 1.
Теперь самый важный момент. Два «вакуума» теперь разные. Тот, который поглубже, — истинный вакуум — отвечает минимальной плотности энергии, и он вечен. Тот, который повыше, — ложный вакуум — не совсем стабилен. До поры до времени он может выглядеть как нормальный вакуум, и в нём тоже могут летать частицы, происходить взаимодействия и образовываться звезды и планеты. Но всегда существует вероятность, что этот вакуум «сломается», что он протуннелирует в более стабильный истинный вакуум.
Этот квантовый распад вакуума выглядит так. В какой-то момент во Вселенной, находящейся в состоянии «ложного вакуума», появляется пузырь истинного вакуума (рис. 1). «Появляется» — это условное утверждение; это значит, что в этой области пространства хиггсовское поле протуннелировало в истинный вакуум. Переход между областью истинного и ложного вакуума не может быть разрывным, теория такой возможности не допускает. Поэтому имеется тонкая промежуточная зона (стенка пузыря), в которой хиггсовское поле плавно переходит от одного вакуума в другой, преодолевая по пути потенциальный барьер.
Если этот пузырь энергетически выгоден, то он начнет расширяться, вначале медленно, но затем разгонится до скорости света. При таком переходе свойства частиц резко изменятся, а во Вселенной выделится много дополнительный энергии, которая была раньше запасена в ложном вакууме. Иными словами, последствия такого распада вакуума будут катастрофическими для любых структур, населявших «старую» Вселенную. Этот процесс во многом напоминает вскипание перегретой жидкости, только, разумеется, масштабы здесь не те.
Задача
В рамках этой модели оцените характерное время, через которое распадется метастабильный вакуум в зависимости от отношения δ/ε ≫ 1.
Пояснение насчет единиц измерения и размерностей. В квантовой механике часто используются так называемые естественные единицы измерения, в которых всё выражается через энергии, а постоянная Планка (ħ) и скорость света (c) включаются в определение единицы измерения. В результате длина выражается не в метрах, а в обратных энергетических единицах, например Дж–1 или эВ–1. Переходным коэффициентом является комбинация ħc: например, 1 ГэВ–1 соответствует длине = 1 ГэВ–1·ħc = 0,197 фм. По этой причине плотность энергии, настоящая размерность которой есть Дж·м–3, выражается здесь в единицах энергии в четвертой степени. Соответственно, коэффициент поверхностного натяжения с размерностью Дж·м–2, будет в естественных единицах выражаться через энергию в кубе.
Подсказка 1
Разумеется, честное полноценное решение представляет собой серьезную научную задачу. Однако очень грубую оценку времени жизни можно дать из довольно простых рассуждений, которые опираются на анализ размерностей. Сразу скажем, что время до распада будет экспоненциально большое, T ~ eB, и требуется оценить, как величина B зависит от отношения δ/ε.
Подсказка 2
Рассмотрим неподвижный пузырь «истинного вакуума» радиуса R во Вселенной, находящейся в состоянии «ложного вакуума». Оценим полную энергию этого пузыря относительно ложного вакуума. Пузырь заполнен истинным вакуумом, который придает пузырю отрицательную энергию. Однако у пузыря есть тонкие стенки, в которых хиггсовское поле плавно переходит от истинного вакуума в ложный. Эти стенки обладают положительной энергией, по аналогии с поверхностным натяжением на границе жидкости. Исходя из соображений размерности, оцените коэффициент поверхностного натяжения стенки в этой задачи. После этого найдите критический размер пузыря, который должен появиться где-нибудь во Вселенной, чтобы с него начался распад вакуума. На последнем шаге постарайтесь понять, как вероятность появления такого пузыря во Вселенной зависит от его размера. Затем подставьте найденный размер и получите ответ.
Решение
Шаг 1. Полная энергия тонкостенного пузыря радиуса R равна
Критический размер пузыря, с которого начнется распад вакуума во всей Вселенной, вычисляется так же, как и критический размер пузырька пара для начала кипения перегретой жидкости. Надо лишь, чтобы полная энергия этого пузыря была отрицательной. Отсюда получаем, что критической радиус пузыря равен
Величину поверхностного натяжения σ можно оценить по размерности, но тут есть одна тонкость. Вообще, оценки на основе размерностей работают тогда, когда в задаче не возникает безразмерного параметра. Тут такой параметр есть: δ/ε. Поэтому на основе одних лишь соображений размерности нельзя сказать, будет ли σ порядка δ3/4, или порядка ε3/4, или их какой-либо комбинации подходящей размерности.
Но на помощь тут приходит дополнительный физический аргумент. Величина ε в эту формулу входить не должна, по крайней мере пока она остается маленькой. Действительно, поверхностное натяжение возникает тут, потому что хиггсовское поле «переваливает через гору». Наличие небольшого «перепада высот» тут существенной роли не играет; примерно то же поверхностное натяжение будет и при нулевом ε. Поэтому можно отсюда заключить, что σ ~ δ3/4 ~ v3 (на возможный численный коэффициент мы внимания не обращаем, нас интересует только зависимость между величинами). Отсюда получаем, что критический размер пузыря по порядку величины равен
Шаг 2. Теперь надо получить вероятность возникновения такого пузыря во Вселенной. Давайте представим, что всё пространство «разбито» на маленькие объемчики размера r = 1/v (в естественных единицах!). Такой размер выбран не случайно: по соотношению неопределенности, на таком размере могут происходить квантовые флуктуации с энергиями порядка v. Это значит, что плотность потенциальной энергии хиггсовского поля флуктуирует вплоть до величин порядка v4 = δ. Иными словами, в таком объемчике хиггсовское поле легко скачет туда-сюда, и может, в частности, перевалить через потенциальную гору.
Обозначим через p вероятность того, что в этом маленьком объемчике за время τv = 1/v произойдет перескок из ложного вакуума в истинный. Ясно, что эта вероятность большая. Точное значение нам совершенно не важно, это может быть и 99%, и 50%, и 1%, на оценки это не повлияет. Зато нам будет удобно записать эту вероятность в экспоненциальном виде: p = e–q, где число q порядка единицы.
Для возникновения пузыря истинного вакуума нам нужно, чтоб этот перескок произошел синхронно (то есть в пределах времени τv) сразу во всем пузыре размера Rc. В этом пузыре имеется
маленьких объемчиков, и каждый из них перепрыгивает независимо с вероятностью p. Значит, вероятность того, что все они сразу перепрыгнут, равна
причем численным коэффициентом q, который порядка единицы, мы тут пренебрегли. Подставив найденные выше величины, получим вероятность рождения пузыря в заданном месте пространства за время τv:
Шаг 3. Теперь учтем размеры видимой части Вселенной, радиус которой обозначим через RU. Критический пузырь может родиться в любом месте Вселенной, которая вмещает (RU/Rc)3 таких пузырей. Если ждать в течение времени T, то у Вселенной будет T/τv попыток породить такой пузырь. Поэтому если ждать очень долго и смотреть на всю Вселенную в целом, то рано или поздно это где-то случится. Типичное время ожидания будет порядка
Видно, что для δ/ε ≫ 1 это время может быть очень большим.
В принципе, это уже и есть искомый ответ. Но тут полезно еще сказать вот что. Более аккуратный анализ показывает, что величина B содержит еще и довольно большой численный коэффициент:
Поэтому даже если отношение δ/ε не так уж и велико, например равно двойке, то показатель экспоненты B всё равно будет большим, так что время жизни метастабильного вакуума получится огромным, намного превышающим нынешний возраст Вселенной.
Послесловие
Такого типа оценки — не в применении к хиггсовскому бозону, а в более широком контексте — были впервые даны советскими физиками Кобзаревым, Окунем и Волошиным в 1974 году. Три года спустя задача была решена Коулменом гораздо более строгим способом. Затем последовал ряд работ с еще более аккуратным анализом распада метастабильного вакуума, в котором, кстати, очень важными оказались гравитационные эффекты. Этот процесс, да и сама возможность использовать метастабильный вакуум, затем прочно вошли в космологию в качестве возможного сценария эволюции Вселенной на самых ее ранних стадиях.
Интересно, что недавно в этой истории случился еще один зигзаг. Полтора года назад были высказаны подозрения, что метастабильные вакуумы вообще не могут существовать в нашем пространстве-времени, поскольку они распадаются вовсе не медленно, как считалось до сих пор, а наоборот — бесконечно быстро. Однако затем на эти подозрение было выдвинуто контрвозражение: вывод о бесконечно быстром распаде базируется на неоправданной экстраполяции формул за пределы применимости известных нам законов физики. Так что тревога оказалась ложной, и метастабильные состояния вакуума, по крайней мере в теории, допустимы.
Возвращаясь к обсуждениям того, стабилен или нет хиггсовский вакуум Стандартной модели, подчеркнем, что там ситуация немножко другая (потенциал выглядит иначе, да и числа сильно отличаются). Но общая «мораль» остается той же: если барьер высокий, то ждать распада придется очень долго, если барьер небольшой, то распад будет довольно быстрым. Нам это, к счастью, не угрожает.
-
большое спасибо за задачу! можно дополнительно задать несколько вопросов? простите, если много
а какова будет судьба, если родится не целый пузырь а замкнутая сфера из истинного вакуума? т.е. внутри останется предыдущий вакуум, а поверхность из нового (пузырь в пузыре), можно предположить что внутренний пузырь начнет сужаться а внешний расширяться? - вероятность рождения такой сферы намного выше, чем целый объем
если я правильно понял, при оценке "количества попыток" объем вселенной просто делился на объем критического пузыря? как-будто вселенная порезана на независимые кубики.. или я не правильно что-то понял?.. но тогда исключаются ситуации "когда часть докритичесокго пузыря в одном кубике, совместилась с другой частью в соседнем" - тут комбинаторная задача, нельзя мне кажется просто делить объемы
изменится ли критический объем пузыря, если пространство будет неевклидово, например искривлено под действием гравитации?
одинаковы ли будут выводы для "пустой" вселенной и вселенной, заполненной материей в экстремальном состоянии? и для вселенной с постоянным объемом или расширяющейся-
вроде бы действительно, на шаге 3 решение для времени ожидания, такое, как если бы поделить вселенную на набор независимых критических объемов пузырей и наблюдать за ними независимо
предполагаю что, эту формулу надо поделить на N,
Rc сократится, вместо нее будет r-малое
(как аналог задачи - пусть матрица нулей и единиц 4х4, какова вероятность появления на ней 4-х единиц в блоке 2х2) -
> а какова будет судьба, если родится не целый пузырь а замкнутая сфера из истинного вакуума?
Такая сфера будет иметь вдвое больше поверхности, чем шар, а значит вдвое большее поверхностнеое натяжение. Ведь это поверхностное натяжение возникает из любой области, где ложный вакуум переходит в истинный и наоборот. Далее, я не заострял внимание в задаче, но тут есть еще одна тонкость: переход между двумя вакуумами не может быть слишком резкий, в противном случае энергия поверхностного натяжения будет еще больше из-за градиентного вклада (условно говоря, аналога кинетической энергии, только не из-за изменения поля со временем, а изменения с расстоянием).
Поэтому если вы попытаетесь породить не шарообразную, а любую другую геометрическую конфигурацию с полной нулевой или отрицательной энергией, то у нее неизбежно будет больший объем, а значит намного меньшая вероятность.
> как-будто вселенная порезана на независимые кубики
Да, именно так. Для оценки это вполне нормальное приближение, тем более, что эта величина входит не в экспоненту, а в предэкспоненциальный множитель (который, строго говоря, в этом приближении вообще произвольный). В принципе, можно это обосновать и строже. Вообще, это очень напоминает подсчет квантовых состояний в определенном объеме фазового пространства. Если скажем зафиксировать импульс частицы, то у частицы будет некая определененная длина волны lambda. И тогда правило подсчета такое: берем доступный объем и делим на кубики размером lambda, это и будет количество (взаимоортогональных) квантовых состояний. Конечно волновая функция в каждом состоянии залезает в соседние области, поэтому не надо буквально считать, что она там локализована. Это правило можно обосновать и строже, но результат именно такой.
> если пространство будет неевклидово, например искривлено под действием гравитации?
Искажения будут, но не существенные. То же для расширяющейся вселенной.
Для вселенной, заполненной веществом с высокой температурой, ситуация изменится. Там есть два процесса — возникновение пузыря за счет тепловых флуктуаций и за счет туннелирования. При достаточно высоких температурах первый процесс станет важнее.
-
-
Так некорректно говорить, потому что тут нет _сохраняющихся частиц_, которые туннелировали бы во внешнем потенциале. Тут есть поле, которое может превращаться и само для себя создает потенциал. Но мне кажется, я понимаю, что вы имеете в виду. Отдельные частицы («хиггсовские бозоны» в данном случае) не могут протуннелировать, поскольку это повысит общую энергию. Протуннелировать (а точнее, возникнуть за счет туннелирования поля) могут только сразу очень много бозонов и при этом в специальном скоррелированном состоянии. Вы же по сути предлагаете образовать пузырек очень малого размера, порядка r, но он будет обладать слишком большой энергией поверхностного натяжения. И избавиться от этого поверхностного натяжения никак нельзя, поскольку поле непрерывно в пространстве.
Насчет температуры: в конце концов всё термализуется и будет температура, но начальный этап — это очень сильное колебание поля, которое вовсе не сводится к «горячему газу» хиггсовских бозонов.
-
Там вообще много тонкостей, в которые я вдаваться в вводном тексте не хотел. Поэтому я написал хитро: «...спустя некоторое время ее можно уже будет найти в более глубоком минимуме.» Эта фраза одновременно и корректна, и не выглядит отталкивающе сложной для новичка. Заметьте, что, во-первых, я не говорю, что частица будет лежать в наинизшем квантовом состоянии на дне более глубокой ямы, я лишь говорю, что она будет в том минимуме (т.е. в той яме). А во-вторых, я вообще не говорю, что она будет в каком-то определенном квантовом состоянии более глубокой ямы. Я говорю, что «ее можно будет найти», т.е. будет какая-то проекция на квантовые состояния второй ямы.
-
Да, я согласен с вами. Но лично предпочёл бы нарисовать стрелочку вправо (туннелирование), потом стрелочку вниз (релаксация). Вообще, если я правильно понимаю, как только какая-то часть пространства окажется в другой потенциальной яме, в ней появится большое количество бозонов, которые потом в процессе релаксации превратятся в другие частицы. Интересно.
-
и интересно, что-нибудь может пережить распад вакуума? Черная дыра, нейтрино, темная материя? Если есть высокоразвитая цивилизация, есть хоть теоретический шанс выжить или хотя бы послать сообщение в новый мир?
-
Честно говоря, с ходу не скажу. СМ позволяет вычислить то, где обычный вакуум «сломается». Для того, чтобы выяснить, что будет потом и каковы свойства нового вакуума, надо найти новый минимум, а это уже требует следующий порядок теории возмущений. Ясно, что вакуумное ожидание там будет исключительно большое, а значит и массы частиц тоже. Но как тогда в деталях будет выглядеть мир элементарных частиц, я не знаю.
Черные дыры, конечно, останутся. Насчет остального — ну _тип_ частиц-то не изменится при переходе, но вот их стабильность может резко измениться.
-
В той статье мы не решали эту задачу. Это и невозможно сделать сейчас, поскольку двухдублетная модель — это вовсе не одна конкретная модель с фиксированными параметрами, а целый класс моделей с сильно различающимися свойствами. Даже если она имеет отношение к нашему миру, мы пока не знаем, каковы ее параметры.
В статье решались два других вопроса. В отличие от СМ, в двухдублетной модели возможны два различающихся минимума потенциала при «нормальных» значениях хиггсовского среднего (в СМ, напротив, второй минимум находится при сверхбольших значениях среднего). Поэтому там легко может возникнуть метастабильность или даже нестабильность сразу, без всяких там эволюций констант связи. Т.е. в двухдублетной модели ситуация может быть более опасная, чем в СМ. Люди двухбудлетную модель изучали тщательно, но вот ограничений на параметры потенциала, возникающиеся из этой метастабильности, до сих пор не находили. Мы показали, как их найти и как их использовать. Это первый результат.
Второй — это проверка того, как возможная метастабильность соотносится с нынешними данными LHC. Оказалось, что она приводит обычно к заниженной вероятности распада на два фотона, т.е. расходится с данными LHC (по крайней мере, со старыми данными). Это можно выразить, например, так: данные LHC почти что закрывают возможность метастабильного вакуума в двухдублетной модели (в древесном приближении). Плохо это или хорошо, сказать трудно. Но по крайней мере этот вопрос до сих пор так подробно не рассматривали.
В решении задачи подразумевается некая абсолютная для обоих вакуумов шкала энергии. Всегда ли это справедливо (т.е. дельта и сигма измеренные внутри и снаружи одинаковы)?
Что делать с симметриями и, соответственно, с законами сохранения внутри и снаружи пузыря. Если, скажем, заряд (или другие константы связи) внутри и снаружи пузыря квантуется и эти величины различны внутри и вне, как схлопнется этот пузырь (схлопнется ли и может ли именно такой возникнуть вообще)? Возможно ли из геометрии и топологии получить какие-нибудь ограничения на физику таких неустойчивостей (вернее, были ли работы в этом направлении?
Рис. 1. Пузырь истинного вакуума во Вселенной, существовавшей в состоянии ложного вакуума. С такого пузыря начинается квантовый распад ложного вакуума в теориях с неравноправными вакуумами