Тонущие пузырьки

В нормальной ситуации пузырек всплывает потому, что на него действует выталкивающая сила. При наличии температурного профиля эта сила никуда не девается — значит, должна возникнуть другая сила, которая «тянет» пузырек в сторону более высокой температуры и противодействует выталкивающей силе. Вообще, тела обычно стремятся двигаться туда, где их общая потенциальная энергия (включающая как потенциальную энергию в поле тяжести, так и прочие виды энергии взаимодействия) меньше. Значит, надо найти некий эффект, который уменьшает общую потенциальную энергию пузырька при повышении температуры. Для этого надо подумать, какие относящиеся к задаче характеристики меняются с температурой и как именно, а затем извлечь ту, которая приводит к наиболее сильному эффекту.

Не забудьте, что коэффициент поверхностного натяжения уменьшается с ростом температуры.

В принципе, температура влияет на все характеристики воды, но главный эффект в этой задаче заключается в том, что с ростом температуры ослабевает ее поверхностное натяжение. Поверхностное натяжение создает дополнительную потенциальную энергию пузырька, которую он старается минимизировать. Энергия поверхностного натяжения равна E = σS, где σ — коэффициент поверхностного натяжения, а S — площадь свободной поверхности. Обычно в задачах предполагается, что коэффициент постоянен, а площадь может варьироваться. По условию этой задачи, наоборот, площадь поверхности пузырька остается постоянной, но коэффициент σ уменьшается с ростом температуры.

И в том, и в другом случае потенциальная энергия поверхностного натяжения меняется при смещении, а значит, возникает сила, действующая на пузырек. Если при смещении на глубину Δh коэффициент поверхностного натяжения изменился на значение Δσ, а площадь осталась постоянной, то значение силы равно

В ситуации, когда σ уменьшается с глубиной, эта сила положительна (то есть направлена вниз, в сторону увеличения h), и она притопляет пузырек. Аккуратный анализ, в котором аккуратно учитывается механическое равновесие пузырька и точное распределение температуры вокруг него, дает вдвое меньший результат, но для простой оценки мы будем использовать полученную выше формулу.

Происхождение этой силы можно еще объяснить следующими механистическими рассуждениями. Силы поверхностного натяжения стягивают пузырек, а силы давления заключенного внутрь газа удерживают его от коллапса. Условно разделим пузырек на верхнюю и нижнюю половины. Поскольку температура вверху ниже, чем внизу, сила, стягивающая верхнюю полусферу, больше, чем сила, стягивающая нижнюю. Поэтому пузырьку выгоднее стягиваться наверху и растягиваться внизу. От этого возникает поток воды вокруг пузырька, который в результате и увлекает его вниз.

Запишем теперь выражение для суммарной силы (с учетом силы Архимеда), действующей на сферический пузырек радиуса R:

Выталкивающая сила пропорциональна объему пузырька, а притапливающая сила — площади поверхности. Поэтому при достаточно маленьком радиусе вторая сила переборет первую, и пузырек начнет тонуть. Оценить этот критический радиус можно, приравняв полную силу нулю:

Для численной оценки нужно узнать, как коэффициент поверхностного натяжения воды изменяется с ростом температуры (см. например эту таблицу). При комнатной температуре изменение составляет примерно 1% (то есть примерно 0,0007 Н/м) на 5 градусов. При температурном градиенте в 5 градусов на сантиметр глубины это дает критический радиус примерно 0,02 мм.

Прежде всего, отметим ту роль, которую сыграло условие фиксированного радиуса пузырька. В соответствии с уравнением состояния газа PV = νRT, объем пузырька зависит от температуры и давления. Не будь ограничения на радиус, пузырек бы при погружении нагревался и от этого расширялся (можно убедиться в том, что рост давления с глубиной при заданном температурном градиенте влияет на размеры пузырька гораздо слабее). Это приводило бы к дополнительной выталкивающей силе (как за счет смещения воды из-за роста объема, так и за счет увеличения энергии поверхностного натяжения из-за роста площади поверхности), и эта дополнительная сила могла бы перебороть обсуждаемую в этой задачи притапливающую силу. Зафиксировав размер, мы избежали всех этих тонкостей.

С точки зрения эксперимента, для наблюдения описанного в задаче эффекта тоже желательно устранить или хотя бы минимизировать изменение размеров пузырька. Поэтому соответствующие опыты ставятся не в открытых, а в замкнутых сосудах. Эти сосуды, как правило, очень плоские, и в них удается создать большой температурный градиент, порядка нескольких градусов на миллиметр.

Разобранный в этой задаче эффект был впервые наблюден экспериментально и обсужден теоретически в 1959 году в статье N. O. Young, J. S. Goldstein, M. J. Block. The motion of bubbles in a vertical temperature gradient // Journal of Fluid Mechanics, 6 (1959) 350–356. Он стал классическим примером термокапиллярных явлений, которые, в свою очередь, являются частным случаем эффекта Марангони (течения, вызванные неравномерностью коэффициента поверхностного натяжения). Все эти явления имеют очень важное прикладное значение, поскольку они влияют на движение пузырьков, капель или взвешенных частиц, а также на испарение жидкостей при их протекании в условиях сложного температурного профиля.