Кантование кубика

Не бойтесь экспериментировать. Возьмите игральный кубик (не забудьте, что они бывают левой и правой ориентации), нарисуйте ломаную и кантуйте кубик, выявляя закономерности появления чисел на его верхней грани.

а) Перекатывая игральный кубик по змейке, находящейся в квадрате 10×10, и записывая появляющиеся числа на его верхней грани, получим рис. 2. Поскольку 10² = 100, здесь можно найти и записать любой из ста первых членов нашей последовательности, в том числе и \(a_{100}=5\).

Рис. 2.

б) Чтобы найти \(a_{1000}\), нужно кантовать кубик в квадрате 32×32, в котором 1024 клетки. Понятно, что это весьма утомительное занятие, но набравшись терпения, заполнил числами квадрат 36×36. И здесь нам повезло! Оказывается, в квадрате появляются повторяющиеся массивы чисел (рис. 3). Эти массивы представляют собой квадратные матрицы 12×12. Их три типа. Первый тип на рисунке 3 показан желтым, такие матрицы располагаются вдоль диагонали, выходящей из левого верхнего угла. Второй тип — оранжевый, такие матрицы расположены выше и правее диагонали угла. Третий тип — зеленый, такие матрицы расположены ниже и левее диагонали угла.

Рис. 3.

На рис. 3 выделены белым цветом 32-я строка и 32-й столбец квадрата 32×32 и все числа, появившиеся при кантовании кубика. Понятно, что эти числа имеют номера от 962 (31² + 1) справа вверху до 1024 (32²) слева внизу, при этом в вершине угла записано число 4, которое имеет номер 993 (среднее арифметическое крайних чисел. Искомое число с номером 1000 находится в промежутке между числами с номерами 993 и 1024, причем седьмое от числа с номером 993, а это число 1 (на рис. 3 выделено красным). Значит, \(a_{1000}=1\).

в) Заметим, что номера чисел, записанные в «уголках» (рис. 4) — это отрезки натуральных чисел, от \((n-1)^2+1\) до \(n^2\), где \(n\) — это номер уголка ( и в тоже время \(n\) — это номер квадрата со стороной \(n\)). Нетрудно посчитать, что вершина «уголка» имеет номер \(n^2-n+1\) — это среднее арифметическое номеров концевых чисел. Уголки чередуются по цвету: в синих уголках номера возрастают слева — вверх, в серых уголках числа возрастают сверху — влево. Или по-другому: в синих — для нечетных \(n\), в серых уголках — для четных \(n\).

Рис. 4.

Выясним теперь, где расположена клетка с номером 2000. Поскольку ближайший квадрат — это \(2025=45^2\), то клетка с номером 2000 расположена в крайнем синем уголке квадрата 45×45. В этом уголке вершинная клетка имеет номер \(1981=45^2-45+1\), поэтому клетка с номером 2000 находится в вертикальной части этого уголка, которая имеет две цветных части: желтую и оранжевую. Самая верхняя клетка имеет номер 2025, а клетка с номером 2000 ниже на 24 клетки. Между клеткой с номером 2000 и вершинной клеткой с номером 1981 имеется 18 клеток, 18>12, поэтому клетка с номером 2000 расположена в оранжевой зоне, значит, учитывая периодичность всего числового массива, можем утверждать, что клетка с номером 2000 находится в одном из оранжевых квадратов 12×12.

Выясним, где именно. Поскольку сторона квадрата равна 45, а сторона квадратных повторяющихся массивов равна 12, и \(45=12\cdot3+9\), то искомое число находится в оранжевом квадрате в 9 столбце (рис. 5). А на какой строчке? Ответ на этот вопрос дает остаток от деления числа 26 (1+24+1) на 12. Он равен 2, поэтому число находится во второй строке, то есть это 6. Итак, \(a_{2000}=6\).

Рис. 5.

Задачи, в которых перекатывается (кантуется) игральный кубик, давно известны в «кружковской» и «олимпиадной» среде, хотя встречаются не слишком часто. Советский педагог-математик, заслуженный учитель Федор Александрович Бартенев (1916–1982), основавший в Евпатории одну из первых в СССР специализированных математических школ, предлагал своим ученикам нестандартные задачи, одна из которых связана как раз с кантованием игрального кубика:

Игральная кость в своем начальном положении стоит на левом нижнем поле квадрата 4×4, причем на верхней грани находится число 3 (рис. 6). Можно ли перекантовать ее в верхнее правое поле так, чтобы грань с числом 3 была нижней? Кость разрешено кантовать только вправо и вверх, на каждом поле квадрата кость может оказаться только один раз.

Рис. 6.

Тема кантования игрального кубика сподвигла организаторов XXXVI Московской математической олимпиады школьников (проводилась в 1973 году) придумать вот такую задачу, которую решали тогдашние девятиклассники:

Грани кубика занумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма номеров на противоположных гранях кубика равна 7. Дана шахматная доска 50×50 клеток, каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз переваливается через свое ребро на соседнюю клетку, при этом разрешается двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться влево или вниз). На каждой из клеток на пути кубика имеется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех написанных чисел? Какое наименьшее значение она может принимать?

Идея решения

Эта задача на оценку и пример. Сначала показывается, что сумма \(S\) отпечатавшихся при кантовании 99 чисел заключена в пределах \(342\le S \le 351\), потом строятся примеры кантования кубика, в которых сумма \(S\) достигает своего максимального значения 351 и минимального значения 342. Эти значения однозначно достигаются, если перекатывать кубик по зеленым клеткам (рис. 7, слева), либо по синим клеткам (рис. 7, справа) соответственно. Убедитесь в этом сами, здесь все очень просто — маршрут указан, нужно только правильно установить начальное положение кубика.

Рис. 7.

Совсем недавно очень похожая задача предлагалась решателям сайта «Диофант.ру», в которой игральный кубик перекатывался по квадратной спирали. Все то же самое, только маршрут кантования — другой, естественно и возникающая при этом последовательность — другая. В качестве ответа предлагалось найти пятизначное число — вопрос специфический, но связан он с особенностями сайта:

Рассмотрим бесконечную клетчатую плоскость, по линиям сетки которой нарисована спираль шириной в одну клетку, закручивающаяся по часовой стрелке (рис. 8). Имеется игральный кубик с числами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (обозначены точками), в котором сумма очков на противоположных гранях равна 7. Размер грани кубика совпадает с размером клетки плоскости. В начальную клетку спирали поставлен игральный кубик так, что на его верхней грани расположена 1, на передней — 4, на правой — 5. Кубик, перекатываясь через ребро, двигается по клеткам нарисованной спирали. В каждую клетку спирали вписывается число, расположенное на верхней грани игрального кубика, прокатившегося по ней, и таким образом, задается последовательность: 1, 2, 3, 1, 4, 2, ... Найдите пятизначное число, у которого число единиц равно a₁, число десятков — a₁₀, число сотен — a₁₀₀, число тысяч — a₁₀₀₀, число десятков тысяч — a₁₀₀₀₀.

Рис. 8.