Гироскоп на наклонной плоскости

Подумайте, может ли кончик оси гироскопа двигаться вверх по плоскости? А как вниз?

Сперва давайте ответим на наводящий вопрос, заданный в подсказке: может ли гироскоп двигаться вниз или вверх по плоскости?

В обоих случаях центр масс гироскопа будет неминуемо двигаться. Значит, при движении вверх или вниз должна совершаться некая работа (положительная либо отрицательная). Единственная внешняя сила, которая может совершать работу — это сила трения, однако по условию точка соприкосновения не проскальзывает. Поэтому никакая внешняя сила работу не совершает, и по закону сохранения энергии центр тяжести гироскопа должен оставаться на одном и том же уровне вне зависимости от наклона плоскости (пока кончик оси не скользит). По той же причине, если гироскоп не был наклонен относительно вертикали в самом начале, то он будет строго вертикальным все время.

Посмотрим на точку соприкосновения оси гироскопа и плоскости вблизи. Очевидно, что в реальном гироскопе кончик оси не бесконечно малый, а имеет конечных радиус кривизны \(R\). Из-за этого точка соприкосновения отстоит от оси вращения на некоторое конечное расстояние \(r=R\sin{\alpha}\), где угол \(\alpha\) совпадает с углом наклона плоскости (рис. 2).

Рис. 2.

Так как точка соприкосновения не скользит, в каждый момент времени горизонтальное сечение оси радиусом \(r\) будет подобно колесу перекатываться по плоскости с той же угловой скоростью \(\Omega\), что и сам гироскоп. Из-за этого сама ось будет двигаться с постоянной скоростью \(v = \Omega R \sin{\alpha}\) в горизонтальном направлении вдоль наклонной плоскости (рис. 3). Направление движения будет зависеть от направления вращения оси гироскопа.

Рис. 3.

По-другому этот результат можно записать через векторное произведение. Если обозначить через \(\mathbf{\Omega}\) вектор угловой скорости, направленный вертикально (вверх или вниз в зависимости от направления вращения), а через \(\mathbf{R}\) — вектор, соединяющий центр кривизны оси и точку соприкосновения, то вектор скорости движения гироскопа будет равен \(\mathbf{v}=\mathbf{R}\times\mathbf{\Omega}\).

Почему же ось гироскопа будет всегда направлена вертикально вверх? Давайте нарисуем все внешние силы, действующие на гироскоп. На рис. 4 слева показан случай из задачи — ось гироскопа строго вертикальна. Так как силы тяжести, реакции опоры и трения направлены к или от точки соприкосновения, момент каждого из них относительно точки опоры будет нулевым. Так как суммарный момент сил нулевой, угловой момент (момент импульса) гироскопа, направленный вверх, сохраняется. Стоит, конечно, оговориться, что здесь мы неявно предположили, что радиус кривизны кончика оси много меньше расстояния от точки касания до центра тяжести: \(l\gg R\), иначе движение гироскопа будет чуть более сложным.

Рис. 4.

Такой подход также может помочь понять, что случится, если изначально ось гироскопа отклонить от вертикального направления. Справа на рис. 4 показан именно этот случай. Из иллюстрации видно, что сила тяжести будет иметь ненулевой момент относительно точки касания, направленный перпендикулярно плоскости рисунка. Но момент сил всегда перпендикулярен угловому моменту, поэтому гироскоп будет прецессировать относительно вертикальной оси, одновременно дрейфуя вбок с постоянной скоростью.

В качестве упражнения, подумайте, что будет, если точка касания слегка проскальзывает. Может ли случиться так, что гироскоп будет постепенно тормозить вращение, при этом двигаясь вверх по наклонной плоскости, или наоборот (энергия, конечно же, должна сохраняться, то есть \(mgh + I\Omega^2/2 = const\), где \(I\) — момент инерции гироскопа)?