Рельеф колец Сатурна

Какую тень отбрасывала бы километровая гора в кольце Сатурна в день равноденствия? Вам потребуется информация о физических параметрах Сатурна и его колец.

Есть очень простой способ оценить угол отклонения колец от плоскости орбиты для любой даты, отличной от равноденствия. Как это сделать?

Рис. 2.

Сначала определимся с масштабами на этой фотографии. По условию участок кольца, запечатленный на ней, соответствует центральному углу, равному 1°. Учитывая, что внешний радиус кольца B Сатурна равен 117 500 км, найдем, что длина внешней кромки кольца составляет примерно

Поэтому длину теней можно оценить в 200–300 км.

Схематично нарисуем, как формируются эти тени (рис. 3), рассмотрев возвышение высотой \(h\) над поверхностью кольца. Солнце находится на большом расстоянии от Сатурна и, вообще говоря, имеет конечный и ненулевой размер. Плоскость диска, которая перпендикулярна оси вращения Сатурна, имеет в общем случае некоторый наклон \(\alpha\) к направлению на Солнце.

Рис. 3.

С геометрической точки зрения задача достаточно проста: нужно, зная длину тени, угол \(\alpha\), размер Солнца и расстояние до него, найти высоту рельефа \(h\). Однако, так как мы делаем оценку по порядку величины, давайте эту задачу еще упростим.

Важен ли размер Солнца или его можно считать материальной точкой? В равноденствие, когда длительность дня равна длительности ночи, выполняется равенство \(\alpha=0^\circ\), так как плоскость колец Сатурна перпендикулярна оси его вращения. В таком случае полутень тянется до бесконечности, а длина полной тени определяется лишь конечным размером Солнца. Поэтому, если представить, что Солнце — материальная точка, то тень не будет падать на кольца.

С другой стороны, если угол \(\alpha\) достаточно большой, — а именно, если он много больше углового размера Солнца (наблюдаемого с Сатурна), — то размер полутени получится очень маленьким в сравнении с размером самой тени, и Солнце вполне можно считать точечным.

По сути, у нас есть два «режима», которые различаются соотношением значения \(\alpha\) и углового размера Солнца. На интерактивном чертеже можно подвигать «Солнце» и увидеть, как эти два геометрических «режима» выглядят и чем отличаются.

С Земли угловой размер Солнца составляет примерно \(0{,}5^\circ\). Сатурн находится в 9–10 раз дальше от Солнца, поэтому угловой размер Солнца при взгяде с Сатурна будет в 9–10 раз меньше. Можно считать, что он равен \(0{,}05^\circ\).

Теперь оценим значение угла \(\alpha\). Если бы фотография была сделана 11 августа 2009 года (в равноденствие), то угол \(\alpha\) был бы в точности равен нулю. С другой стороны, в день солнцестояния, которое наступает через четверть сатурнианского года, угол \(\alpha\) будет совпадать с углом наклона оси Сатурна плоскости движения вокруг Солнца, то есть будет равен \(26{,}7^\circ\). Приближенно можно считать, что это изменение происходит по синусоиде:

где \(t\) — время до/после равноденствия в годах, а 29,46 лет — это длительность сатурнианского года.

Фотография была сделана 26 июля — примерно за 16 дней до равноденствия. Опустив отрицательный знак, который означает лишь направление наклона колец, получим, что \(\alpha \approx 0{,}25^\circ\), что в несколько раз больше углового размера Солнца.

Таким образом, в нашей задаче Солнце можно считать точечным, поэтому она сводится к простой геометрии (рис. 4).

Рис. 4.

Для тени длиной \(l=200\textrm{–}300\) км получим, что \(h = l\cdot \mathrm{tg}\,(0{,}25^\circ) \approx 0{,}9\textrm{–}1{,}3\) км! Если учесть угловой размер Солнца, заодно выяснится, что полутень тянется еще на 1–1,5 км. Значит, высота этих «гор», находящихся у внешнего края кольца B, которое, напоминаю, имеет характерную толщину несколько метров, достигает километра (а то и больше).

Как уже говорилось, кольца Сатурна необычайно тонкие: их средняя толщина составляет всего лишь около десятка метров. Состоят они в основном из осколков метеоритов и ледяных глыб, размеры которых варьируются от микронных пылинок до метровых глыб. Также в состав колец входят так называемые минилуны, достигающие сотен метров в поперечнике. На рис. 5 показан один из таких спутников диаметром 300 м у края кольца B.

Рис. 5. Спутник Сатурна S/2009 S 1 диаметром 300 м. Его орбита удалена от центра планеты на 117 000 км. Фото с сайта en.wikipedia.org

Если пренебречь всеми остальными взаимодействиями кроме притяжения самого Сатурна, то можно считать, что объекты в кольце вращаются по идеальным круговым кеплеровским траекториям. В таком приближении кольцо Сатурна является однородным — без пустот и уплотнений. Но в реальности объекты в кольце чувствуют гравитационное взаимодействия как со стороны своих соседей по кольцам, так и со стороны более массивных спутников Сатурна. Из-за этого на безмятежную идеально-однородную структуру налагаются резонансы и различные вторичные эффекты, благодаря которым мы и видим нетривиальную структуру пустот и уплотнений в кольцах.

К примеру, ближайший к Сатурну крупный спутник, Мимас, находящийся на расстоянии примерно 185 000 км от центра планеты, может оказывать гравитационное влияние на объекты в кольце, находящиеся на более низких орбитах, особенно когда эти объекты пролетают близко к спутнику (то есть во время противостояния). За одно прохождение влияние спутника на траекторию объекта ничтожно мало. Однако за долгое время это влияние может либо накопиться, и в таком случае говорят о резонансе (в общем случае для произвольных дисков это называется внутренним резонансом Линдблада) между спутником и орбитой, либо усредниться в ноль.

Резонанс между орбитой (то есть маломассивными объектами на этой орбите) и спутником будет возникать, если отношение периодов обращения вокруг планеты у орбиты и спутника близко к целому числу (или к рациональному с небольшими числителем и знаменателем). На рис. 6 показан такой резонанс между двумя объектами, орбитальные периоды которых отличаются ровно в 2 раза. Такой резонанс называется внутренним 2:1 резонансом Линдблада (см. Lindblad resonance), и он является самым сильным по влиянию на орбитальное движение. Отношение 2:1 означает, что два орбитальных периода небольшого объекта в составе кольца в точности совпадают с одним периодом дестабилизирующего спутника.

Рис. 6.

Зная законы Кеплера, можно легко вычислить, где находится резонанс 2:1 для Мимаса. Для кеплеровских орбит нам известно, что \(P^2\propto R^3\), где \(P\) — орбитальный период, а \(R\) — радиус орбиты. Нам нужно найти такую орбиту, на которой период вдвое меньше, чем период вращения Мимаса. Легко посчитать, что резонансная орбита удалена от центра Сатурна на расстояние

Это расстояние в точности соответствует внешней границе кольца B, и это, конечно же, не совпадение: именно резонанс 2:1 с Мимасом объясняет существование самой заметной особенности колец Сатурна — щели Кассини, разделяющей кольца A и B (рис. 7).

Рис. 7. Щель Кассини разделяет кольца A и B. Ее внутренняя граница удалена от центра планеты примерно на 117 500 км. Ширина щели составляет 4800 км. Фото с сайта en.wikipedia.org

Объекты, находящиеся на орбитах вблизи этого резонанса, вращаются с периодом примерно 10–11 часов. При этом через каждый оборот они подвергаются сильному гравитационному влиянию со стороны Мимаса, период вращения которого ровно вдвое больше. Поэтому эти орбиты нестабильны, и за большое число оборотов объекты будут мигрировать с этих траекторий на более низкие орбиты. Резкий обрыв и сильное уплотнение на краю кольца B, а также вертикальные структуры, которые мы рассматривали в задаче, связаны именно с этим.

Похожий эффект наблюдается в распределении астероидов главного пояса между Марсом и Юпитером. На рис. 8 показано распределение известных астероидов по радиусам орбит. Орбиты вблизи резонансных (выделены пунктирными линиями) практически пустые, так как любой объект там быстро дестабилизируется из-за резонанса и уводится на другую орбиту.

Рис. 8. Распределение астероидов главного пояса в зависимости от большой полуоси орбиты. Пунктирами показаны орбиты, которые попадают в резонанс с Юпитером. Резонанс \(n\colon m\) означает, что на каждые \(n\) обращений астероида по орбите вокруг Солнца приходится \(m\) полных обращений Юпитера. Рисунок с сайта en.wikipedia.org