Непоседливый воробей

Вспомните формулу, которая связывает координаты точки пересечения медиан треугольника с координатами его вершин. Установите тип зависимости координат предельной точки от координат вершин треугольника A₁A₂A₃.

Прежде, чем искать координаты точки A, нужно убедиться, что она вообще существует и единственна. Несмотря на то, что в условии ее существование постулировалось, проверить это все-таки надо: вдруг эта задача содержит ловушку и, например, таких точек несколько или, наоборот, не существует?

Ловушки нет. Обосновывать это можно по-разному, но идея во всех рассуждениях заложена одна и та же: в конце концов нужно воспользоваться двумерным аналогом леммы о вложенных отрезках (см. также теорему о вложенных шарах). Поскольку это доказательство — технический момент и не слишком занятно, оно приведено в скрытом виде. Нажмите, на слово «Доказательство» ниже, чтобы развернуть и прочитать его.

Итак, последовательность точек \(A_i\;(x_i,\ y_i)\) сходится к предельной точке \(A\;(x_A,\ y_A)\). Ясно, что эта точка полностью определяется вершинами исходного треугольника, поэтому можно считать, что эта точка является функцией от вершин треугольника \(A_{1}A_{2}A_{3}\) (точнее, ее координаты являются функциями от координат вершин): \(A=f(A_1,A_2,A_3)\). Нужно разобраться, как эта функция устроена.

Во-первых, заметим, что поскольку точка \(A\) будет пределом последовательности прыжков воробья для любого из треугольников \(A_{i}A_{i+1}A_{i+2}\), то \(A=f(A_1,A_2,A_3)= f(A_2,A_3,A_4)=\ldots\)

Во-вторых, если вершины треугольника заданы своими координатами \(A_1\;(x_1,\ y_1)\), \(A_2\;(x_2,\ y_2)\), \(A_3\;(x_3,\ y_3)\), то центр этого треугольника \(A_4\) имеет координаты \(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\). Это можно записать в виде \(A_4=\frac{A_1+A_2+A_3}{3}\), понимая под этим именно покоординатное равенство. Важное свойство этих формул — они линейные: координаты точки \(A_4\) выражаются в виде линейной комбинации координат вершин исходного треугольника. Поэтому координаты всех остальных точек в последовательности \(\{A_i\}\) также будут линейными комбинациями координат вершин треугольника \(A_{1}A_{2}A_{3}\). А значит, и координаты точки \(A\) тоже будут линейно зависеть от их координат. То есть функция \(f\) — линейная.

Это означает, что ее можно представить в виде \(f(a_1,a_2,a_3)=ka_1+la_2+ma_3\). Здесь она записана как функция от трех переменных \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), но, как уже делалось выше, можно подставлять в нее и точки, понимая такую запись сразу как два равенства: одно на абсциссы, второе на ординаты (или, если угодно, можно вспомнить о том, что точки плоскости отождествляются с комплексными числами, и считать, что все равенства пишутся в комплексных числах).

Итак, задача свелась к тому, что надо определить коэффициенты \(k\), \(l\) и \(m\). Для этого мы составим на них систему уравнений.

Рис. 2.

Первое уравнение системы возникает из вот такого очевидного наблюдения: положение предельной точки \(A\) внутри треугольника \(A_{1}A_{2}A_{3}\) не зависит от расположения этого треугольника на координатной плоскости. Поэтому если, например, сделать параллельный перенос треугольника на какой-нибудь вектор \(\vec{v}=(v_1,\ v_2)\), то и эта точка перенесется на такой же вектор (рис. 2). В координатах это выглядит так:

Приравняем выражения слева и справа друг другу напрямую и используем линейную формулу для функции \(f\):

После раскрытия скобок и сокращения одинаковых слагаемых получится:

Отсюда получается, что

Еще два уравнения берутся из уже встречавшейся цепочки равенств \(A=f(A_1,A_2,A_3)= f(A_2,A_3,A_4)=\ldots\)

Подставив сюда выражение для точки \(A_4\), получим:

Осталось учесть, что эти равенства на самом деле «содержат» по два уравнения — на абсциссы и на ординаты, поэтому система выглядит так:

Эту систему можно решать вручную стандартными методами, а можно воспользоваться какой-нибудь компьютерной системой, например, WolframAlpha. Получится, что \(k=\frac16\), \(l=\frac13\), \(m=\frac12\).

Значит, координаты точки \(A\) такие:

Эта задача легко программируется, поэтому впервые она была решена мною с помощью компьютера для конкретных треугольников. Анализируя полученные результаты, я с удивлением заметил, что для любых треугольников: остроугольных, прямоугольных, тупоугольных, равнобедренных, равносторонних, разносторонних, больших и маленьких, — положение предельной точки \(A\) однозначно определяется геометрически (ниже будет показано, что она лежит на средней линии треугольника). Но найденный при помощи компьютера подобный результат — пусть и многократно проверенный — нельзя считать полностью обоснованным! Позже удалось найти математическое решение, основанное на поиске закономерностей в последовательности координат точек \(A_n\) (отдельно для абсцисс, отдельно для ординат) с применением метода математической индукции и последующим вычислением предела этой последовательности. Должен признаться — очень громоздкое и скучное решение!

Частный случай задачи для треугольника \(A_{1}A_{2}A_{3}\) со сторонами 21, 17 и 10 я опубликовал на сайте diofant.ru. Этот треугольник интересен тем, что во-первых, все его стороны — целые числа, во-вторых, его можно разместить в координатной плоскости так, что все его вершины будут иметь целочисленные координаты (рис. 3), и, в-третьих, предельная точка А(10, 4) тоже будет иметь обе целые координаты.

Рис. 3.

Посетители «Диофанта» прислали несколько интересных решений. Одно из них опиралось на комплексные числа и, по сути, его обобщение и приведено в решении. Еще одно решение следовало духу математического анализа — в нем вычислялся предел последовательности координат точек \(A_{n}\).

Где же внутри треугольника \(A_{1}A_{2}A_{3}\) находится предельная точка \(A\)? В решении была получена формула, выражающая ее координаты через координаты вершин треугольника. Эту формулу можно записать в векторном виде: \(\overrightarrow{OA}=\frac16\overrightarrow{OA_1}+\frac13\overrightarrow{OA_2}+\frac12\overrightarrow{OA_3}\), где точка \(O\) — произвольная (например, начало координат, как показано на рис. 4, слева). Ясно, что от выбора системы координат это выражение не зависит. Поэтому можно взять более удобную систему с началом в точке \(O=A_{1}\) и осью абсцисс, направленной вдоль стороны \(A_{1}A_{2}\) (рис. 4, справа). Тогда векторное равенство упростится: \(\overrightarrow{OA}=\frac13\overrightarrow{OA_2}+\frac12\overrightarrow{OA_3}\). Отсюда сразу видно, что точка \(A\) лежит на средней линии треугольника \(A_{1}A_{2}A_{3}\), параллельной стороне \(A_{1}A_{2}\): слагаемое \(\frac13\overrightarrow{OA_2}\) отвечает только за сдвиг этой точки вдоль оси абсцисс, а сдвиг в других направлениях берется только из слагаемого \(\frac12\overrightarrow{OA_3}\), которое и отправляет точку \(A\) на среднюю линию \(M_1M_2\).

Рис. 4.

В каком отношении она делит среднюю линию? Поскольку \(M_1M_2=\frac12 A_{1}A_{2}\), а в векторе \(\overrightarrow{OA}\) «содержится» треть вектора \(\overrightarrow{A_1A_2}\), \(M_1A=\frac13A_1A_2\), а \( A M_2=\frac16A_1A_2\). То есть точка \(A\) делит среднюю линию в отношении 2:1.

Можно найти расстояния от точки \(A\) до сторон треугольника \(A_{1}A_{2}A_{3}\). Для этого вычислим площадь треугольника, например, по формуле \(S=\left|\frac12\left|\begin{array}{cc}x_2-x_1 & y_2-y_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1\end{array}\right|\right|\) , а его стороны — по известной формуле расстояния между двумя точками \(r=\sqrt{(x_2-x_2)^2+(y_2-y_1)^2}\). Зная площадь треугольника и его стороны, найдем высоты: \(h_1=\frac{2S}{A_2A_3}\), \(h_2=\frac{2S}{A_1A_3}\), \(h_3=\frac{2S}{A_1A_2}\). Через точку \(A\) проведем прямые, параллельные сторонам треугольника (рис. 5, слева). Эти прямые делят высоты треугольника в таком же отношении, как и его соответствующие стороны, поэтому \(AH_1=\frac{h_1}6\), \(AH_2=\frac{h_2}3\) и \(AH_3=\frac{h_3}2\) (рис. 5, справа), значит, расстояния от точки \(A\) до сторон треугольника \(A_{1}A_{2}A_{3}\) соответственно равны \(\frac{h_1}6\), \(\frac{h_2}3\) и \(\frac{h_3}2\). Эти расстояния являются так называемыми абсолютными трилинейными координатами точки \(A\).

Рис. 5.

Заметим, что для конкретного треугольника положение предельной точки A определяется не только описанным выше бесконечным процессом, но еще и ориентацией треугольника. В самом деле, вершины данного треугольника можно нумеровать (то есть обозначить буквами \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\)) разными способами. Число способов равно числу перестановок из трех элементов, то есть 3! = 6.

В каждом из этих случаев получим свою предельную точку. На рис. 6 изображен треугольник и все его предельные точки A, B, C, D, E и F. Они лежат на трех средних линиях и делят каждую из них на три равных отрезка. Нетрудно показать, что шесть предельных точек определяют шестиугольник, у которого противоположные стороны параллельны соответствующим сторонам данного треугольника.

Рис. 6.

Есть еще один интересный вопрос, связанный с этой задачей. Последовательность точек \(\{A_i\}\) задает бесконечную ломаную \(A_1A_2A_3\ldots\), которая, закручиваясь спиралью вокруг точки \(A\), стремится к ней. Какова длина ломаной? Математическими методами вычислить ее не удалось, поэтому пришлось провести численные эксперименты. Соответствующую программу несложно написать практически на любом языке программирования.

Используя эту программу для разных треугольников и варьируя координаты вершин, удалось заметить, что во всех случаях ряд \(\sum\limits_{i=1}^\infty A_iA_{i+1}\) сходится, а его сумма зависит от длин сторон исходного треугольника. Например, в приведенном выше треугольнике со сторонами 21, 17 и 10 длина этой ломаной приближенно равна 53,64. Оказалось, что есть треугольники, для которых длина ломаной меньше периметра. А, например, в треугольнике со сторонами 7, 8 и 5, длина этой ломаной близка к периметру.

Поскольку, как мы обсудили выше, в каждом треугольнике имеется шесть таких предельных точек, то можно рассмотреть сразу шесть ломаных. В проведенных численных экспериментах получалось, что их длины различны, хотя и не очень сильно отличаются друг от друга. Например, в египетском прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 длины этих ломаных получились следующими (с округлением до тысячных): 13,026, 11,956, 11,746, 13,824, 13,323 и 12,317. Есть гипотеза, что если разбить ломаные на две тройки, беря их через одну, то суммы длин ломаных в каждой из троек будут одинаковы. Но пока ее не удается ни подтвердить, ни опровергнуть. Буду рад, если кто-нибудь из читателей поделится соображениями на этот счет!