Старый Новый год

В юлианском календаре год длится 365,25 суток. В григорианском календаре год длится 365,2425 суток. Реальный годичный период можно считать неизменным и равным 365,24219878 суток.

Заметим, что 365,25 = 365 + 1/4, а 365,2425 = 365 + 1/4 − 1/100 + 1/400. Значит, разница в один день между юлианским и григорианским календарями набегает за каждую из первых трех сотен лет в 400-летнем цикле.

1) За начало отсчета возьмем указанную в условии дату 15 января 2100 года — первый раз, когда Старый Новый год будет отмечаться 15 января.

Между 15 января и 29 февраля 45 дней: 31 − 15 = 16 — в январе и 29 — в феврале. За сколько лет накопится такая разница между юлианским и григорианским календарями?

Как говорилось в подсказках, длительность года по юлианскому календарю составляет 365,25 суток, а по григорианскому календарю — 365,2425 суток. Значит, разница между ними 365,25 − 365,2425 = 0,0075 дней в год. Осталось разделить 45 на 0,0075 и получить, что разница в 45 дней набежит за 6000 лет. То есть потенциальный ответ — 8100 год. Но надо проверить, будет ли он високосным.

Общее правило гласит, что високосным годом является год, делящийся нацело на 4. Но при этом в григорианском календаре годы, которые делятся на 100, високосными не являются, если только они не делятся на 400 — в этом случае год все-таки високосный. 8100 на 400 нацело не делится, а на 100 делится. Поэтому 8100 год не високосный, 29 февраля в нем нет, и Старый Новый год выпадет на 1 марта. Ну, а ближайший к нему следующий високосный год имеет номер 8104 — именно в нем Старый Новый год будет впервые отмечаться 29 февраля.

2) Для начала попробуем ответить на вопрос этого пункта в самом простом приближении и, как предлагалось считать во второй подсказке, будем считать, что скорость вращения Земли и скорость ее обращения вокруг Солнца неизменны. За продолжительность истинного солнечного года возьмем продолжительность тропического года в эпоху J2000.0, которая равна 365,242189878 суток. Тогда отставание григорианской даты составляет 365,2425 − 365,242189878 = 0,000310122 суток в год.

Разница в 10 дней накопится через 10/0,000310122 = 32245,3744... лет. То есть в 32246-м по счету году от даты отсчета — от 2000 года. Значит, при таком упрощенном подходе это случится в 34246 году, но в действительности это произойдет раньше.

Дело в том, что скорость вращения Земли вокруг своей постепенно уменьшается (а значит, продолжительность суток увеличивается) и тому есть несколько причин. Самый большой вклад в замедление вращения вносят приливные воздействия Луны и Солнца, которые тормозят планету. На втором месте — эффект от изменения формы Земли. Из-за деформации земной коры и подъема уровня океана изменяются угловая скорость и момент вращения Земли. Наконец, трение об атмосферу также замедляет вращение Земли, хоть и совсем не на много. Есть и другие факторы, влияющие на изменение скорости вращения Земли (см., например, задачу Землетрясение, климат и продолжительность суток). Многие имеют несистемный характер, например, рост уровня океана, зависящий в том числе и от деятельности человека, и предсказать его на продолжительный срок довольно сложно.

Попробуем оценить, как изменится ответ, если попытаться учесть изменение длины суток. Опять же, это упрощенная картина.

На момент начала эпохи J1900 длина тропического года составляла 365,24219878 суток. То есть в XX веке год укорачивался в среднем на 0,0000000908 суток в год. Если принять, что такие изменения будут постоянными и далее, то количество лет T, через которое набежит разница в 10 дней, удовлетворяет следующему уравнению:

\[T=\dfrac{10}{365{,}2425-(365{,}242189878-0{,}0000000908\cdot T)}.\]

Это квадратное уравнение, положительный корень которого, T ≈ 8924,71. Значит, ошибка в 10 дней накопится в григорианском календаре примерно через 8925 лет.

В реальности изменение длины суток устроено гораздо сложнее. Например, известно, что из-за удаления Луны приливное воздействие уменьшается, поэтому земной шар будет становиться менее сплюснутым, а из-за этого будет увеличиваться момент инерции. Со временем средняя скорость изменения продолжительности тропического года будет уменьшаться. Если кто-то из читателей проведет более аккуратный учет этих тонких эффектов, то будет здорово познакомиться с выкладками в комментариях.