Размер радуги

Форму капелек дождя можно считать сферической.

Сколько внутренних отражений делает свет внутри капельки?

Будем считать, что у дождевых капель сферическая форма. Попробуем схематически представить, что происходит с лучом света при попадании его в каплю воды (рис. 1).

Рис. 1. Преломления и внутреннее отражение луча света в капле воды. Показаны два параллельных луча, попадающие в разные точки капли

При падении луча света на каплю происходит простое преломление по закону Снеллиуса: \(n_1 \sin{\alpha} = n_2 \sin{\beta}\), где \(\alpha\) и \(\beta\) — углы падения и преломления, а \(n_1\) и \(n_2\) — коэффициенты преломления двух сред (в нашем случае они равны 1 и \(n=4/3\)). Закон Снеллиуса, однако, работает для плоской поверхности. Но здесь нет большой проблемы, поскольку маленький кусочек поверхности капли мало отличается от плоскости. Углы нужно считать относительно нормали к поверхности — линия, проходящая из центра сферы к точке попадания луча на каплю (синий пунктир на рис. 1). В этой точке луч фактически будет «думать», что падает на плоскую поверхность, перпендикулярную нормали (которая играет роль вертикали).

Таким образом, если углы падения и преломления обозначить \(\kappa\) и \(\beta\) (как на рис. 1), по закону Снеллиуса можно записать:

Внутри капли свет будет распространяться по прямой (мы считаем, что коэффициент преломления постоянен внутри капли) пока не достигнет границы капли. Некоторая часть света преломится обратно в воздух, однако большая часть (мы вернемся к этому утверждению позже), отразится от внутренней поверхности и проследует далее внутри капли пока снова не достигнет границы капли (нормаль в этой точке показана зеленым пунктиром на рис. 1). Так как капля у нас сферическая, то рассматриваемая ситуация тоже абсолютно симметрична относительно центральной плоскости капли (черный пунктир на рис. 1) и все соответствующие углы будут равны друг другу (это можно доказать строго, пользуясь свойствами окружности и равнобедренного треугольника).

Для простоты расчетов, давайте повернем эту картинку так, чтобы черный пунктир (линия симметрии) оказался горизонтальным — как на рис. 2. В обозначениях этого рисунка нужно найти угол \(2\phi\) — это и будет относительный угол между направлениями на Солнце и на радугу.

Рис. 2.

Из простых геометрических соображений получается, что угол падения равен \(2\beta-\phi\). Значит, можно записать следующее уравнение:

что равносильно (поскольку углы острые) такому равенству:

У этого уравнения бесконечное множество решений: различные значения \(\phi\) (то есть разные точки падения луча света на каплю) «производят» различные значения \(\beta\) и свет просто рассеивается во все стороны (здесь можно в интерактивном режиме посмотреть на этот эффект).

Что же получается? Свет просто рассеивается и никакой радуги не возникает? Давайте взглянем, как преломляются разные лучи, падая на каплю параллельно друг другу, но попадая в разные точки (рис. 3). «Фиолетовые» лучи, как видно, падают с очень маленьким углом падения (к поверхности капли) и слабо преломляются, а отразившись от задней стенки капли, покидают каплю также под малым углом. При смещении к краю капли видим, что лучи (на рис. 3 они показаны зеленым цветом) вылетают из капли под все более и более близкими углами. Это значит, что, хотя большая часть солнечных лучей просто рассеивается на капле, какая-то их часть все же фокусируется в узкий пучок и вылетает под определенным углом (рис. 3, справа).

Рис. 3. Фокусировка лучей сферической каплей. Разные цвета здесь обозначают лучи, падающие в разные точки капли. Слева: все лучи, падающие на верхнее полушарие; справа: узкий пучок лучей, которые почти не рассеиваются

Именно этот узкий пучок (точнее угол между его начальным направлением и конечным) нам и нужно найти. Он характеризуется таким условием: при значительном изменении угла преломления \(\beta\) угол падения \(\phi\) должен практически не меняться, принимая свое максимальное значение. Это означает, что производная \(\phi\) по \(\beta\) должна быть равна нулю. Если вы не знакомы с производной, достаточно осознать, что для некоторого очень узкого пучка света угол вылета из капли практически не меняется, что, по сути, означает фокусировку света.

Можно легко убедиться, что это максимальное значение равно примерно \(21^\circ\) (для \(n=4/3\)), а искомый угол на радугу будет в 2 раза больше, то есть \(42^\circ\).

Сама радуга возникает из-за того, что этот угол \(2\phi\) немного разный для разных длин волн (мы нашли лишь среднее значение). Подставив значения коэффициентов преломления для света разных длин волн (то есть разных цветов), можно найти, что красный свет будет виден под углом \(42{,}2^\circ\), а фиолетовый — под углом \(40{,}5^\circ\), что дает примерную оценку на угловой размер радуги \(\sim 2^\circ\).

На самом деле, радуга слегка больше. Дело в том, что Солнце — не точечный источник, а имеет угловой размер в полградуса. Из-за этого радуга дополнительно «расплывается» в обе стороны еще на полградуса.

Вообще говоря, после первого внутреннего отражения внутри капли, луч света не полностью покидает ее. Часть света преломляется обратно в воздух, формируя первичную радугу, о которой мы говорили выше, однако какая-то (еще меньшая) часть претерпевает внутреннее отражение и покидает каплю уже в другой точке (рис. 4). Так как нас интересуют лучи, которые в итоге направляются вниз (в сторону наблюдателя), можно легко показать, что в отличие от первичной радуги, таким образом себя ведут лучи, попавшие не в верхнюю половину капли, а в нижнюю.

Рис. 4. Путь лучей, которые мы видим как вторичную радугу

По аналогии с тем, что мы делали раннее, можно показать, что в таком случае уравнение на угол падения будет таким:

По аналогии с тем, что было проделано выше, можно найти нужное значение угла (на этот раз — минимум): \(2\phi \approx 51^\circ\). Под таким углом относительно направления, противоположного Солнцу, видна вторичная радуга.

Очевидно, что она будет гораздо слабее, из-за того, что свет «теряется» как при двух внутренних отражениях, так и из-за того, что первичный угол падения, который в этом случае равен \(3\beta-90^\circ+\phi \approx 72^\circ\), сильно больше чем у первичной радуги (для которой это \(2\beta- \phi \approx 59^\circ\) — из-за этого большая часть просто отражается от поверхности капли обратно в воздух. Можно найти подобное выражение и для радуг высшего порядка, однако их уже почти невозможно увидеть в природных условиях.

Теперь, когда увидите радугу на небе, можете визуально оценить угол, который был вычислен в решении. А если вам повезет найти вторичную радугу, попробуйте оценить угловое расстояние между ними (оно должно быть близко к \(10^\circ\)).

Рис. 6. Двойная радуга. Фото с сайта howitworksdaily.com

Можно сказать, что радуги — это самые простые природные спектрометры. Солнечнеый свет — это смесь из электромагнитных волн различной длины, которые складываются друг с другом с различной яркостью или амплитудой (собственно, это называется спектром Солнца). В результате получается то, что мы называем белым светом (по аналогии с белым шумом — суммой всевозможных звуковых волн с различными частотами, доступными нашему уху).

Благодаря тому, что для каждой отдельно взятой компоненты со своей собственной длиной волны коэффициент преломления слегка отличается, мы и получаем такое спектральное разложение. Ровно по такому же принципу работают призмы, которыми пользовался Ньютон в XVII веке, чтобы показать комплексную структуру белого света и объяснить ее волновую природу.

Рис. 7. Разложение света в спектр при помощи призмы. Фото с сайта imgur.com

До сих пор, однако, мы оперировали лишь законами геометрической оптики и считали, что свет — это просто геометрически прямые лучи, распространяющиеся, отражающиеся и преломляющиеся по закону Снеллиуса. Такое приближение не всегда верно, так как на самом деле свет — это электромагнитная волна, и имеет волновую природу.

Приближение геометрической оптики нарушается, когда размеры рассматриваемой системы становятся очень маленькими (в идеале — сравнимыми с длиной волны). Так, если капели дождя или тумана совсем мелкие (меньше миллиметра в диаметре), то наблюдается множественная радуга (рис. 8): на первичной радуге весь спектр света повторяется снова и снова. Это явление невозможно описать законами геометрической оптики, оно возникает благодаря интерференции — число волновому эффекту.

Рис. 8. Множественная радуга. Фото с сайта en.wikipedia.org

Для понимания этого эффекта достаточно вспомнить, что электромагнитная волна (так же, как и волна на поверхности воды) представляет собой последовательность минимумов и максимумов, находящихся друг от друга на одинаковом расстоянии, которое называется длиной волны. Если две волны пересекаются, то эти максимумы и минимумы могут совпасть, а амплитуда волны из-за этого усиливается. Волны могут пересекаться и в противофазе — максимумы одной волны совпадают с минимумами другой и наоборот, — тогда амплитуда в точке пересечения уменьшается (может стать нулевой, если пересекающиеся волны имели одинаковую амплитуду).

Свет одной и той же длины волны (то есть одного цвета) может покидать каплю после внутреннего отражения в разных местах с разными значениями фазы. Это волны уже в воздухе могут интерферировать друг с другом, усиливая интенсивность этого цвета в одних местах и ослабляя ее в других. Схематично это показано на рис. 9.

Рис. 9. Интерференция света одной длины волны, приводящая к возникновению повторяющихся полос разных цветов в множественной радуге