Самый тяжелый белый карлик
В конце своего жизненного пути звезды главной последовательности расходуют большую часть своего запаса водорода, из-за чего внутреннее давление теряет способность удерживать гравитационное сжатие оболочки (см. задачу Главная последовательность). Для звезд с массами до 8 масс Солнца исходов в такой ситуации может быть два. В первом случае ядро может сколлапсировать до того момента, когда давление квантово вырожденных электронов остановит коллапс, превратив ядро в белый карлик. Во втором случае, если даже давление вырожденных электронов не сможет остановить коллапс из-за большой гравитации вещества, то ядро сожмется еще дальше, пока при больших температурах и давлениях квантово выродятся нейтроны, давление которых уже сбалансирует коллапс, — образуется нейтронная звезда.
В этой задаче предлагается из первых принципов определить, какой может быть максимальная масса белого карлика. Для этого вспомним, что энергия звезды определяется суммой тепловой и гравитационной энергии
\[ E_{\rm tot} = E_{\rm T}-\frac{GM^2}{R}. \]В случае белого карлика, так как все противодействующее гравитации давление определяется вырожденными электронами, ET — это тепловая энергия электронов.
Энергия релятивистской частицы записывается так:
\[ E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}, \]где m — масса частицы, p — ее импульс. При этом для нерелятивистской (медленной) частицы E = mc2, как и должно быть (кинетическая энергия учитывается в следующем порядке по разложению), а для ультрарелятивистской частицы (быстрой, у которой кинетическая энергия много больше энергии покоя), имеем E = pc.
Будем считать, что все электроны в таком критически тяжелом белом карлике — ультрарелятивистские, то есть для них Ee = pec. Тогда полная тепловая энергия электронов будет равна ET = Npec, где N — число электронов, а pe — некое среднее значение импульса каждого из них.
Для оценки среднего импульса воспользуемся тем, что все электроны вырожденные. Для вырожденных электронов, так же как и для любых частиц с полуцелым значением спина, действует принцип запрета Паули. Два электрона с одинаково направленными спинами не могут занимать одно и то же состояние.
Чтобы понять, что это означает, нужно представить так называемое фазовое пространство для случая, когда есть только одна пространственная координата x. Это пространство — координатная плоскость с осями px и x. Точка \( (p_x^0{,}~x^0) \) в таком пространстве обозначает частицу с импульсом \( p_x^0 \), находящуюся в точке \( x^0 \) (рис. 2). Для трех пространственных измерений фазовое пространство будет шестимерным и нарисовать его уже затруднительно.
Рис. 2. Фазовое пространство в случае одной пространственной координаты x. Точка в таком пространстве изображает частицу с определенной координатой и определенным импульсом
Когда речь идет о квантово вырожденных частицах, такое фазовое пространство разбито на ячейки, каждая из которых, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, имеет объем \( \Delta p \Delta x \sim \hbar \) (рис. 3). В такую квантовую ячейку можно «положить» лишь два электрона (с противоположными спинами), а остальным электронам придется тесниться уже в соседних ячейках.
Рис. 3. Фазовое пространство для одной пространственной координаты. В случае квантово вырожденных частиц объем минимальной ячейки составляет \( \hbar \) (в трехмерном случае, как нетрудно догадаться, он равен \( \hbar^3 \) )
Таким образом, в пространстве импульсов (часть полного фазового пространства), электроны будут занимать все ячейки (по двое) до какого-то определенного импульса, который называется импульсом Ферми pF. Выше этого импульса электронов больше просто нет, а ниже заняты все ячейки по два электрона (рис. 4). Таким образом, средним (или характерным) импульсом электронов будет как раз pF/2.
Рис. 4. Трехмерное пространство импульсов. Все частицы с полуцелым спином занимают ячейки, импульс которых не превосходит импульса Ферми. Такие ячейки образуют своеобразную «сферу»
Таким образом, полное число электронов N равно полному фазовому объему (в шестимерном пространстве), разделенному на объем одной такой ячейки:
Коэффициент 2 возник из-за возможности вместить два электрона в ячейку, \(\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p_x\Delta p_y\Delta p_z\) — это размер одной ячейки, а \(\Delta X\Delta Y\Delta Z\Delta P_x\Delta P_y\Delta P_z\) — это полный фазовый объем.
Задача
1) Приняв, что ядро звезды электронейтрально и в основном состоит из водорода, опустив все численные коэффициенты, найдите предельную массу белого карлика (массу Чандрасекара). Выразите ее в массах Солнца.
2) Считая электроны нерелятивистскими, найдите зависимость максимального радиуса белого карлика от его массы.
Подсказка 1
Так как вещество звезды электронейтрально, можно легко связать массу звезды и число электронов.
Подсказка 2
Подумайте, при каком условии на полную энергию звезда будет стабильна. При какой массе (или радиусе, если речь о второй части задачи) это условие нарушается? Учтите, что в первом случае ответ должен получиться независящим от радиуса.
Решение
Во-первых, так как звезда в целом электронейтральна, число электронов примерно должно равняться числу протонов (на самом деле, конечно же, это зависит от состава, но мы опустим численные коэффициенты). Так как в массу звезды вносят вклад в основном протоны, то число протонов (также, как и число электронов) будет равняться N = M/mp.
Эти электроны нужно «плотно упаковать» по принципу Паули в элементарные ячейки в шестимерном фазовом пространстве. Иными словами, полное число электронов должно равняться полному фазовому объему, поделенному на объем элементарной ячейки (с коэффициентом 2, но его мы опустим)
Объем одной элементарной ячейки \(\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p_x\Delta p_y\Delta p_z \sim \hbar^3\), пространственный объем \(\Delta X\Delta Y\Delta Z \sim R^3\), а «объем», занимаемый частицами в пространстве импульсов, как уже отмечалось выше, равен \(\Delta P_x\Delta P_y\Delta P_z \sim p_F^3\). Таким образом, имеем
\[ \frac{M}{m_p} \sim \frac{R^3 p_F^3}{\hbar^3}, \]откуда находим, что
\[ p_F \sim \frac{\hbar M^{1/3}}{R m_p^{1/3}}. \]Как уже отмечалось выше, электроны будут иметь все возможные импульсы до предельного импульса Ферми pF, из-за чего в качестве характерного (среднего) значения можно взять именно его. Полная энергия тогда запишется в виде
Обратите внимание, что полная энергия звезды, фактически, зависит от двух параметров — массы M и радиуса R, при этом лишь масса определяет ее знак. Величина
которая также называется массой Чандрасекара, является предельной между отрицательной и положительной полной энергией. Более точный подсчет с реалистичным химическим составом дает значение \( M_{\rm Ch}= 1{,}46~M_{Sun} \).
При \(M > M_{\rm Ch}\) полная энергия звезды отрицательна и пропорциональна 1/R, что означает, что меньшие значения R будут обеспечивать более стабильное состояние звезды, к чему она и будет стремиться. Это означает «бесконечный» коллапс в сторону меньшего радиуса. Поэтому если ядро больше этой предельной массы — оно будет коллапсировать дальше.
Однако, проблема в том, что при \(M < M_{\rm Ch}\) полная энергия положительна, а это, как известно, означает разлет системы, то есть увеличение радиуса (чтобы минимизировать Etot). Однако заметьте, что \(p_F \propto 1/R\), — импульс Ферми будет уменьшаться по мере увеличения радиуса.
В решении мы предполагали, что частицы ультрарелятивистские и для них \(p_F c \gg m_e c^2\), однако это предположение может нарушиться при достаточно малом \(p_F \sim m_e c\), то есть при R > R0, где
\[ R_0 \sim \frac{\hbar M^{1/3}}{m_p^{1/3}m_e c}. \]Тогда нужно пользоваться другой формулой для тепловой энергии, а именно \( E_{\rm T}=p_F^2 / 2m_e\), что даст нам для полной энергии выражение
\[ E_{\rm tot} \sim \frac{\hbar^2 M^{5/3}}{m_p^{5/3}m_e R^2}-\frac{GM^2}{R}. \]Зависимость полной энергии от радиуса показана на рис. 5. Как видно, существует стабильный (Etot < 0) минимум при R = RWD, к которому и будет стремиться система.
Рис. 5. График зависимости полной энергии белого карлика от радиуса (\(M<M_{\rm Ch}\)). При R < R0 электроны ультрарелятивистские и зависимость обратно пропорциональна радиусу. При R > R0 зависимость чуть более сложная и имеет минимум энергии. График из книги В. С. Бескина Квантовая механика и астрофизика
Можно легко найти этот минимум (так как Etot является квадратным двучленом относительно 1/R):
\[ R_{\rm WD} \sim \frac{\hbar^2}{Gm_p^{5/3} m_e M^{1/3}}. \]Если подставить вместо массы массу Чандрасекара, получим что-то в духе 5000 км, то есть звезду солнечной массы размером с Землю.
Послесловие
Естественно такой тривиальный анализ «на пальцах» не претендует на точное количественное описание. Однако, как ни странно, качественно и даже количественно по порядку величины ответы получаются верными. Ведь, действительно, при коллапсе ядра в какой-то момент «включается» квантовая вырожденность электронов.
Если масса ядра больше предела Чандрасекара, это давление ультрарелятивистских вырожденных электронов неспособно остановить сжатие, и звезда будет коллапсировать дальше в нейтронную звезду. В противном случае установится некоторый баланс между давлением вырожденных нерелятивистских электронов и гравитацией, при котором будет реализовываться минимум полной энергии.
Предельная масса Чандрасекара имеет очень важное практическое значение. Сверхновые первого типа (Ia) возникают в двойных аккрецирующих системах, где вещество с массивной звезды-компаньона перетекает на соседний белый карлик. Симуляция такого процесса показана на видео:
Из-за натекшего вещества масса белого карлика увеличивается и в какой-то момент может превзойти предел Чандрасекара. Тогда начинается дальнейший коллапс, и система взрывается по типу сверхновой Ia. Из-за того, что мы в точности знаем при какой массе происходит этот взрыв (1,44–1,46 масс Солнца в зависимости от состава и других факторов), можно предугадать энергетику и длительность взрыва.
Зная энергию и длительность теоретически, можно с высокой точностью определить расстояние до взрывающейся сверхновой. Это делает сверхновые типа Ia так называемыми «стандартными свечами», параметры которых нам известны заранее. В частности, с помощью анализа очень далеких взрывов сверхновых Ia в конце XX века было показано, что наша Вселенная расширяется с ускорением.
В начале предисловия мы упомянули, что второй «рубеж» до черной дыры для коллапсирующей звезды — это нейтронная звезда. В ней уже давление вырожденных нейтронов (тоже частицы с полуцелым спином) останавливает гравитационное сжатие звезды. Так же, как и в случае с белыми карликами, нейтронные звезды имеют предельную массу, называемую пределом Толмана–Оппенгеймера–Волкова , ТОВ (Tolman–Oppenheimer–Volkoff limit).
Вывод этого значения, однако, требует учета эффектов общей теории относительности, так как размеры такой системы (порядка 10 км) сравнимы с размерами шварцшильдовского горизонта событий для объекта солнечной массы (\(2GM/c^2\sim 3\) км). Помимо этого, при таких больших плотностях (плотность нейтронной звезды ближе к центру превосходит плотность атомного ядра) нужен очень точный учет сильных взаимодействий между нуклонами. Это во многом усложняет подсчет предельной массы ТОВ, но считается, что реальное значение находится где-то между 1,5 и 3 массами Солнца.
Рис. 1. Цикл жизни звезды. Из-за случайных флуктуаций в газопылевом облаке могут образовываться сгущения вещества, которые постепенно увеличиваются в размерах. Так появляются глобулы. Если массы глобулы хватает для гравитационного сжатия, то в ней может начаться процесс образования звезды. В конце жизни звезда главной последовательности превращается в красного гиганта, дальнейшая судьба (точнее, смерть) которого определяется массой. Недостаточно массивные звезды коллапсируют в нейтронную звезду или белый карлик, а самые тяжелые не останавливаются и коллапсируют дальше, в черную дыру. Рисунок с сайта futurism.com