Бесконечно длинный маятник

Ясно, что бесконечность подставлять в формулу нельзя, поскольку при выводе этой школьной формулы не предусматривалась такая экстремальная ситуация, которую мы предложили в этой задаче. Значит, надо формулу перевывести — но только в этот раз с учетом того, что это радиус Земли много меньше длины маятника, а не наоборот.

Тут есть два подхода: стандартный метод расчета и маленькая хитрость.

Стандартный метод вычисления периода колебаний таков. Рисуем положение равновесия и положение с небольшим отклонением x от него. Выясняем, откуда берется возвращающая сила. Проверяем, что возвращающая сила линейно зависит от отклонения, и возникший коэффициент пропорциональности называем «жесткостью»: F = − k·x. Жесткость поделить на массу грузика дает частоту ω в квадрате. Период — это 2π/ω.

Маленькая же хитрость заключается в том, что, когда вы начнете следовать этой процедуре, вы догадаетесь, что эта задача в некотором смысле эквивалентна исходной. И тогда вы сразу сможете написать ответ без вычислений.

Так или иначе, начните с рисунка исходного положения бесконечно длинного маятника, положения при отклонении от равновесия, нарисуйте силы и найдите возвращающую силу.

Рис. 2. Бесконечно длинный маятник в поле тяжести Земли

На рис. 2 изображен наш бесконечно длинный маятник. Пунктирной линией показано положение равновесия, сплошной — отклонение от него. Обратите внимание, что смещение — строго горизонтальное, поскольку расстояние до точки подвеса считается неограниченно большим.

Если бы поле тяжести было строго однородным, то есть всегда направленным вниз, как на этом рисунке, никаких возвращающих сил не возникло бы. Сила возникает потому, что реальное поле тяжести — неоднородное; сила тяжести направлена в каждой точке не строго вниз, а к центру Земли. При смещении грузика направление на центр отклоняется от вертикали, и именно оно порождает возвращающую силу.

Обратите внимание, как поменялись ролями две силы! В обычной задаче (рис. 1) сила тяжести всегда направлена вниз, а сила натяжения нити в колеблющемся маятнике отклоняется от вертикали. Здесь всё наоборот: направление нити, а значит, и сила ее натяжения, всё время остается вертикальным, а отклоняется от вертикали уже сила тяжести. При этом, чтобы сила тяжести не изменялась по абсолютной величине, надо, чтобы угол отклонения был мал, то есть чтобы амплитуда колебания была много меньше радиуса Земли.

Эта аналогия открывает нам короткий путь к ответу. Возвращающая сила возникает из-за горизонтального дисбаланса этих двух сил, то есть от угла отклонения одной силы относительно другой. Этот угол точно такой же, как был бы в исходной школьной задаче с маятником длины R, равной радиусу Земли, в строго однородном поле тяжести. Мы просто поменяли местами две силы, задача теперь выглядит стандартной, но только с L = R. А это значит, что мы сразу пишем ответ: \[ T = 2\pi \sqrt{R \over g}\,, \] что после подстановки чисел дает примерно 85 минут. Это выражение точь-в-точь совпадает с периодом движения по круговой орбите вокруг Земли. И это, конечно, не случайность, как мы сейчас увидим в послесловии.

Дух задачи говорит о том, что эти два вида движения — малые колебания бесконечно длинного маятника над поверхностью Земли и свободное движение спутника вокруг Земли — как-то связаны. В обоих случаях все определяется притяжением к Земле, да и размер в нашем распоряжении только один — ее радиус. Но всё же для пущей убедительности хочется увидеть, как эти два движения связаны друг с другом, почему у них одинаковый период.

Эта связь проиллюстрирована на рис. 3. Суть в том, что нам надо выйти из плоскости и рассмотреть трехмерное движение. У математического маятника в трехмерном мире есть два направления колебаний с одинаковыми периодами. Поэтому можно запустить маятник так, чтобы он колебался не вперед-назад, а двигался по кругу. При таком круговом движении возвращающая сила играет роль центростремительной силы, которая и обеспечивает круговую траекторию.

Рис. 3. Переход от колебания бесконечно длинного маятника к вращению вокруг Земли

Представьте, что мы такое круговое движение небольшой амплитуды запустили сначала по маленькому кругу над полюсом. Потом расширяем его и одновременно смещаем грузик так, чтобы плоскость кругового движения рассекала Землю, а сам грузик по-прежнему двигался прямо над ее поверхностью. При таком смещении радиус круговой орбиты растет, но пропорционально ему растет и возвращающая сила. Поэтому период движения остается тем же. С другой стороны, сила натяжения нити ослабевает, поскольку вертикальная компонента силы тяжести уменьшается. Наконец, когда мы сместимся к экватору, сила натяжения нити исчезнет, и мы как раз получим свободное движение по орбите вокруг Земли.

Рис. 4. Поле приливных сил. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org

В этой задаче можно увидеть связь с еще одним механическим явлением. Зададимся вопросом: какая сила играет роль возвращающей силы в нашей задаче? Ответ прозвучит несколько неожиданно — это приливные силы со стороны Земли. Приливные силы как раз и возникают из-за неоднородности притяжения со стороны массивного объекта. Стандартное рассмотрение показывает, что эти силы действуют на тело (протяженное, не точечное!) так: они его растягивают вдоль направления на Землю и сплющивают — поперек (рис. 4). В нашем случае направление на Землю неважно, там всё ограничено нитью. А вот сплющивание в горизонтальной плоскости как раз и порождает возвращающие силы. Обратите внимание, что приливные силы ощущаются не в фиксированной точке, а в ее окрестности, в протяженной области вокруг нее.

И напоследок — резкий прыжок на передний край физики, к недавно открытым гравитационным волнам. Когда гравитационная волна проходит сквозь тело, то она вызывает ровно такие же деформации, как и приливные силы. Условно говоря, гравитационные волны — это волны приливных деформаций, оторвавшиеся от источника и улетевшие прочь. Эта аналогия основывается на том, что поле деформаций метрики в гравитационной волне описывается ровно теми же компонентами тензора Римана, что и приливные силы от статического гравитационного поля. И тогда еще более наглядным становится тот факт, что гравитационные волны невозможно зарегистрировать в точке; для их регистрации нужен именно протяженный объект.