Мексиканская арифметика

Посчитайте, сколько разных слов языка северный паме фигурирует в примерах. Это поможет примерно определить основание системы счисления.

Какая связь между nuji и kanuje, rnuɁ и karnuɁ?

Из примеров ясно, что в северном паме для счёта используется не привычная нам десятичная система счисления, а какая-то другая. Чтобы примерно определить основание системы, подсчитаем, сколько различных слов на паме встречается в приведенных примерах. Их всего одиннадцать, причём слово nuji наверняка родственно kanuje, а rnuɁ — karnuɁ. Таким образом, основание системы счисления вряд ли больше 9, но и не сильно меньше. Словa kara, kanuje и karnuɁ встречаются только в начале сочетания слов, и kara < kanuje < karnuɁ. Можно предположить, что эти три слова указывают на количество «десятков» в числе. Только вот «десятками» в северном паме служат, скорее всего, восьмерки, потому что без kara, kanuje и karnuɁ в примерах остается ровно восемь различных слов. Конечно, пока что наши рассуждения всего лишь предположения, ведь в задаче могут быть использованы не все цифры, существующие в системе. Проверим нашу гипотезу. Пример (1) описывает квадрат какого-то числа. Это число не равно 1 и не превышает 5, так как по условию все числа в примерах не больше 30. Значит, rnuɁ — это 2, 3, 4 или 5. Мы уже знаем, что rnuɁ — это также максимальное встречающееся в наших примерах количество восьмерок. Естественно предположить, что rnuɁ = 3 (так как 3 × 8 = 24). Тогда nuji = 2 (из kanuje), kara = 1 (только для «десятков»), santa = 1 (только для единиц), tenhiuɲ = 8, teriuhiɲ = 7 (из примера (3)). После этого легко найти и остальные числа.

Итак, santa = 1, nuji = 2, rnuɁ = 3, giriu = 4, gitʃ’ai = 5, teria = 6, teriuhiɲ = 7, tenhiuɲ = 8.

Запишем данные нам примеры цифрами:

Задание 1. Запишите последний пример цифрами. Мы уже сделали это в процессе решения: 12 + 17 = 29.

Задание 2. Запишите на языке северный паме:

2 = nuji, 13 = kara tenhiuɲ gitʃ’ai, 22 = kanuje tenhiuɲ teria, 24 = karnuɁ tenhiuɲ, 31 = karnuɁ tenhiuɲ teriuhiɲ.

С восьмеричной системой счисления сталкивался каждый, кто смотрел фильм «Аватар». Жители планеты Пандоры на’ви считали восьмерками, потому что у них было по четыре пальца на руках. Однако в реальности языки с восьмеричной системой счисления почти не встречаются: помимо мексиканских языков паме в научных работах упоминается лишь язык американских индейцев юки.

Чуть более распространена система счисления, основанная на четвёрке. Так, например, устроены числительные папуасского языка кева. Как и мы, носители кева используют для счёта руки, но считают не пальцы, а промежутки между пальцами, поэтому 4 обозначается словом ‘рука’ (ki), 5 — ‘большой палец’ (kina kode, где na — притяжательный суффикс), 6 — ‘два больших пальца’ (kina kode lapo), 8 — ‘две руки’ (ki lapo), 10 — ‘две руки, два больших пальца’ (ki lapona kode lapo), 12 — ‘три руки’ (ki repo) и т.д.

Теоретически, четверичная система не обязательно должна быть связана со счётом на пальцах. Она может быть основана также на четырёх конечностях (две руки, две ноги), четырёх руках (две свои и две соседские), четырёх лапах у животного или четырёх сторонах света. Впрочем, о том, с чем именно она связана, учёные часто могут только догадываться, ведь в процессе своего формирования числительные претерпевают фонетические и морфологические изменения, так что их происхождение не всегда легко отследить. Так, в австронезийских языках слова ‘один’ и ‘палец’, ‘пять’ и ‘рука’, ‘двадцать’ и ‘человек’ часто этимологически восходят к одному корню, но редко совпадают в современном языке.

Доподлинно известно, что в языках мира встречаются системы счисления с основаниями 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13, 15, 20, 24, 27, 60 и некоторые другие. Самая распространённая система — десятеричная, а самое большое разнообразие систем счисления можно обнаружить на Новой Гвинее и соседних островах. Там встречаются языки, где считают двойками (южный киваи), шестёрками (ндом), пятнашками (хули), а в языке вамбон основанием счисления служит такое, казалось бы, неудобное для счёта число, как 27.

И всё-таки счёт на пальцах остаётся самым «востребованным». Например, такие крупные языки, как кхмерский (Камбоджа, 13 млн носителей) и волоф (Сенегал, 4,5 млн носителей) совмещают пятеричную систему с десятеричной:

Кхмерский:

Волоф:

Кроме того, пятеричная система счисления встречается в языках группы тупи-гуарани и аравакской группы в Южной Америке и во многих языках Новой Гвинеи и Австралии. А в австронезийских языках пятеричную систему дополняет двадцатеричная. Счёт до 20 идёт на пальцах рук и ног, а после того, как пальцев одного человека перестаёт хватать, добавляется счёт на «людях», где один человек — это 20 пальцев.

В двадцатеричной системе строятся также числительные в языках мунда в Северной Индии, в большинстве языков Кавказа, грузинском языке, в палеоазиатских языках Чукотки и Камчатки. В Африке эта система характерна для языка йоруба в Нигерии, а в Северной Америке — для эскимосско-алеутских языков.

Встречается счёт двадцатками и в Европе — в знакомом многим из нас французском языке. Двадцатеричная система там комбинируется с десятеричной. Так, 71 по-французски будет soixante-et-onze, то есть 60 + 11, 75 — soixante-quinze (60 + 15), 80 — quatre-vingts (4 × 20), 99 — quatre-vingt-dix-neuf (4 × 20 + 10 + 9). Кстати, эти числительные используются только во Франции и Квебеке, а в Бельгии и большинстве франкоязычных районов Швейцарии говорят septante (70), septante-cinq (75), nonante (90), то есть образуют 70 и 90 по той же модели, что и другие десятки (20, 30 и т. д.) В Швейцарии можно также услышать форму huitante (80) вместо quatre-vingt.

К сожалению, не все имеющиеся в языках системы счёта реально в ходу в наши дни. Носители большинства малочисленных языков — билингвы и предпочитают использовать английские, французские, испанские числительные, чтобы быть лучше понятыми иностранцами. К тому же в системах с небольшим основанием счисления (2, 4, 5) счёт нередко доходит только до 20, 32, максимум до 100, а в современной жизни этого недостаточно. Так что исконные счётные системы всё больше остаются для ритуального употребления и лингвистических исследований.

Литература:
1) Averino, H. The typology of Pame number systems and the limits of Mesoamerica as a linguistic area // Linguistic Typology, 9, 2005. Pp. 493–513.
2) Franklin, J.A., Franklin, K.J. The Kewa counting system // Journal of the Polynesian Society, 71, 1962. Pp. 188–191.
3) Ascher, M. Ethnomathematics: A Multicultural View of Mathematical Ideas // The College Mathematics Journal. Vol. 23, No. 4,1992. Pp. 353–355.

Задача использовалась на XLI Московской традиционной олимпиаде по лингвистике в 2010 году.