Оптимальная форма ускорителя

Задача может отпугнуть вас слишком математической формулировкой. Не пугайтесь! Вы сможете справиться, даже если не владеете нужным математическим аппаратом, но обладаете физической интуицией. Дело в том, что эту задачу не обязательно решать в лоб. Достаточно найти точную физическую аналогию, некоторую другую физическую задачу, которая с математической точки зрения может быть сформулирована точь-в-точь, как наша, но решение которой вы уже точно знаете по опыту. В этом случае вам ничего не придется вычислять.

Так что постарайтесь вчувствоваться в эту задачу и найти что-то подобное среди известных вам примеров. Постарайтесь физически ощутить, как так величина, которую требуется минимизировать, зависит от формы траектории.

Отдельная рекомендация для тех, кто хорошо подкован в математике. Конечно, эта задача легко решается в лоб обычными методами вариационного исчисления, и мы верим, что вы с нею справитесь. Но для развития физической интуиции мы предлагаем и вам тоже найти другую физическую систему с эквивалентной задачей, решение которой уже известно из опыта. Мерой вашей интуиции будет служить количество таких физический аналогий, которые вы найдете.

Давайте для удобства вместо радиуса кривизны введем обратную величину — кривизну: κ = 1/R. Потери на излучения на участке траектории с кривизной κ пропорциональны κ². Полные энергопотери от траектории произвольной формы «набегают» по всей ее длине, причем сильнее всего — на наиболее изогнутых участках. Условно говоря, это своеобразное «энергетическое напряжение» траектории, которое нам требуется минимизировать.

Если немного поразмыслить, то можно почувствовать, что эта величина напоминает энергию изгибной деформации упругого стержня, свернутого в колечко. Ведь чем сильнее локальный изгиб упругого стержня, тем сильнее деформация, а значит, тем сильнее потенциальная энергия напряжений внутри стержня в этом месте. Кроме того, со школы известно, что упругая энергия пропорциональна квадрату деформации; так, например, энергия сжатой пружинки составляет k(Δx)²/2.

Эта связь становится совсем очевидной в простейшей модели упругого стержня, в которой считается, что он состоит из одинаковых прямоугольных блоков длины a, соединенных пружинками (рис. 3). Изгиб стержня с локальным радиусом кривизны R ≫ a приводит к повороту двух соседних блоков относительно друг друга на малый угол φ = a/R = a·κ. Тогда каждая из соединяющих их пружинок растянется или сожмется на величину Δx, пропорциональную этому углу, а значит, и пропорционально кривизне. Тогда энергия упругой деформации стержня в расчете на единицу длины — это просто энергия определенного количества таких пружинок, и она пропорциональна квадрату кривизны.

Рис. 3. Простая модель упругого стержня, составленного из блоков, соединенных пружинками, позволяет убедиться, что упругая энергия изгибной деформации на единицу длины пропорциональна квадрату кривизны

Итак, задача минимизации энергопотерь пучка на излучение в кольцевом ускорителе фиксированной длины, но произвольной формы математическим эквивалентна задаче минимизации энергии деформации упругого кольца той же формы. Но мы знаем из опыта ответ для этой задачи — это окружность! Ведь упругое колечко, предоставленное само себе, как раз стремится минимизировать эту энергию. И тот факт, что оно принимает форму окружности, означает, что оно уже само «решило» эту задачу. Поэтому и в нашей исходной задаче ответом будет окружность.

Сформулированная нами задача — это один из простейших примеров вариационной задачи с ограничениями. Занимается такими задачами раздел математического анализа под названием вариационное исчисление. Этот формализм играет важнейшую роль в классической и квантовой механике, да и в физике в целом. Собственно, практически все разделы физики, в их современной формулировке, строятся с помощью этого подхода.

Здесь мы рассмотрели, конечно, очень частный пример такой задачи. Тем не менее он дает некоторое представление о том, чем этот раздел отличается от обычного, школьного, математического анализа. В отличие от обычных задач, в которых мы, например, ищем минимум функции, зависящей от одной или нескольких переменных, здесь мы ищем минимум функционала — величины, зависящей от формы кривой, то есть от функции. Переменная здесь — это не число, а функция! Можете себе представить, насколько необъятно пространство всех возможных функций — и среди всех них надо найти одну-единственную подходящую. Такая функция выделяется среди всех других тем, что при произвольной вариации этой функции мы лишь увеличим значение функционала и никогда не уменьшим. Значит, при этой функции достигается его минимум.

Фраза «вариационная задача с ограничениями» означает, что мы ищем не произвольную функцию, а такую, которая удовлетворяет определенным условиям. Например, в нашем случае кривая должна быть не абы какая, а обязательно замкнутая и строго определенной длины. Это несколько усложняет формализм, но для нашего простого случая эти усложнения незначительны.

Некоторые задачи вариационного исчисления звучат совершенно математически. Например, широко известна изопериметрическая задача: найти форму замкнутой кривой фиксированной длины, которая охватывает наибольшую площадь. Ответом тут тоже будет окружность, но предупредим, что, несмотря на тот же ответ, эта задача по своей постановке не эквивалентна нашей. Еще одна вариационная задача недавно рассматривалась на «Элементах»; правда, для ее решения методы вариационного исчисления не потребовались. Другие задачи, напротив, вполне физические: скажем, какую форму принимает цепь, свободно висящая на двух концах в поле тяжести (задача о цепной линии), или какую форму принимают слипшиеся мыльные пузыри. Популярное введение в методы и задачи вариационного анализа можно найти в книжке «Рассказы о максимумах и минимумах», выпуск 56 Библиотечки «Квант», а также в статьях из Соросовского образовательного журнала Что такое вариационное исчисление и Задачи на экстремум при наличии ограничений.

Ну и напоследок вот другой пример физический системы, в которой встречается математически эквивалентная задача и решение ее очевидно из опыта. Пусть в прямоугольный стакан шириной L, находящийся в поле тяжести, налита жидкость. Профиль жидкости описывается переменной функцией h(x). Жидкость, разумеется, несжимаема, поэтому ее полный объем фиксирован:

Мы ищем такую функцию h(x), которая минимизирует потенциальную энергию этой жидкости в поле тяжести, то есть функционал такого вида:

Эта задача математически эквивалентна нашей: координата x аналогична координате вдоль нашей кривой, а уровень воды аналогичен кривизне. (Тонкий момент, связанный с замкнутостью кривой, опустим, поскольку он, по счастью, тут не важен.) Но мы знаем ответ из опыта: жидкость в этой ситуации просто-напросто выровняет свой профиль: h(x) = h₀. Поэтому и в нашей задаче ответом будет кривая постоянной кривизны, то есть окружность.