Замощения параллелоэдрами

«Квант» №1, 2019 • Математика • Комментировать

Алексей Гарбер
«Квант» №1, 2019

Копиями любого треугольника и любого четырехугольника (даже невыпуклого) можно замостить плоскость («Квант» №1, 2019)

Несложно показать, что копиями любого треугольника и любого четырехугольника (даже невыпуклого) можно замостить плоскость (см. верхний ряд рисунков). Сложнее показать, что ни одним выпуклым многоугольником с семью и более сторонами нельзя замостить плоскость и что только три семейства выпуклых шестиугольников допускают такое замощение. Самый сложный случай — пятиугольники. К концу XX века было найдено 14 семейств выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость, еще одно, 15-е семейство обнаружено в 2015 году (см. «Калейдоскоп „Кванта“» №5 за 2017 г.); а доказательства, что это все семейства, до сих пор нет.

Для многих выпуклых многоугольников, которыми можно замостить плоскость, необходимо, чтобы некоторые их копии были повернуты или отражены относительно некоторой прямой. Исключениями являются параллелограммы и центрально-симметричные шестиугольники; ими можно замостить плоскость, используя только параллельные переносы (см. нижний ряд рисунков).

В произвольной размерности выпуклый многогранник, копиями которого можно заполнить все пространство, используя только параллельные переносы, называется параллелоэдром. Таким образом, существует всего два семейства двумерных параллелоэдров — параллелограммы и центрально-симметричные шестиугольники. В трехмерном пространстве параллелоэдры были классифицированы Е. Федоровым в 1885 году. Существует пять семейств трехмерных параллелоэдров с разными комбинаторными типами. Наиболее «правильные» представители семейств — куб, правильная шестиугольная призма с равными ребрами, ромбододекаэдр, удлиненный ромбододекаэдр, усеченный октаэдр (см. рисунки внизу). Все остальные получаются из них аффинными преобразованиями, а также операциями «удлинения» параллельных ребер.

С ростом размерности число семейств растет очень быстро. Если в четырехмерном пространстве ровно 52 семейства параллелоэдров, то в более высоких размерностях даже точное их количество неизвестно. Известно лишь, что в пятимерном пространстве существует не менее 110 244 различных семейств параллелоэдров, а в шестимерном — не менее полумиллиарда.

Внизу изображены также развертки всех пяти трехмерных параллелоэдров. Сможете ли вы собрать соответствующие замощения для каждого из них?