Слоеные кубики

Ответить на вопрос задачи будет проще, если вы разберетесь с тем, как устроена внутренняя раскраска кубиков. Важно понять, как устроена каждая крестовина в отдельности. Это позволит разбить ее на составляющие части, в которых легко посчитать кубики.

Пункт a) задачи можно решать «в лоб», считая кубики при помощи рис. 1, на котором изображен процесс «построения» желто-синего кубика 9×9×9. На более детализированном рис. 2 показаны промежуточные стадии этого процесса. Теперь порядок подсчета синих кубиков почти очевиден:

Рис. 2.

Внутренняя крестовина a) содержит 6×4+1 = 25 синих кубиков. Кубики следующей желтой крестовины можно увидеть на изображениях б) и в). На б) надо увидеть каркас куба 3×3×3, в котором 20 кубиков и шесть «рамок» 3×3×3 (на в)), надетых на каждую из шести осей предыдущей крестовины. Всего вторая крестовина содержит 20+6×24 = 164 желтых кубика. Третья крестовина тоже состоит из каркаса куба 5×5×5 и шести «рамок» 5×5×2 (г) и д)), поэтому в ней (12×3+8) + 6×(16×2) = 236 синих кубиков. В четвертой крестовине (12×5+8) = 68 кубиков в каркасе куба 7×7×7 и 6×(24×1) = 144 кубика в шести «рамках» 7×7×1, то есть всего 212 желтых кубиков. Остается посчитать кубики синего каркаса куба 9×9×9, в нем 12×7+8 = 92 синих кубиков (з)).

Итак, в кубе 9×9×9 имеется 25+236+92 = 353 синих кубиков. Для проверки корректности подсчета можно сосчитать количество желтых кубиков: 164+212 = 376, а всего кубиков получается 353+376 = 729, а это как раз равно 9³.

б) В кубе 25×25×25 все обычные крестовины представляют собой пересечение трех параллелепипедов, высота которых равна 25, а в основании лежат квадраты m×m, где m = 1, 3, 5, ..., 25. Каждый параллелепипед содержит 25m² кубиков. Обычная крестовина содержит три таких параллелепипеда, на рис. 3 показана одна из крестовин куба 9×9×9. При этом эти три параллелепипеда имеют общий куб m×m×m (оранжевый), кубики которого считаются трижды, поэтому крестовина с номером m содержит a_m = 3×25m²−2m³ = m²(75−2m) кубиков.

Рис. 3.

Поскольку в задаче крестовины составлены из кубиков чередующихся цветов, нам нужно считать кубики в пустотелых крестовинах, толщина стенок которых равна одному синему кубику. Поэтому количество синих кубиков в одной пустотелой крестовине равно разности числа кубиков в крестовине с номером m и числа кубиков во вложенной в нее крестовине с номером m−1. Значит, в кубе 25×25×25 количество синих кубиков равно:
S_син = a₁+(a₅−a₃)+(a₉−a₇)+(a₁₃−a₁₁)+(a₁₇−a₁₅)+(a₂₁−a₁₉)+(a₂₅−a₂₃).

После раскрытия скобок получим:
S_син = a₁−a₃+a₅−a₇+a₉−a₁₁+a₁₃−a₁₅+a₁₇−a₁₉+a₂₁−a₂₃+a₂₅.

Посчитаем отдельно все числа a_m, используя формулу, полученную выше:
a₁ = 1²(75−2×1³) = 73; a₃ = 3²(75−2×3³) = 621; a₅ = 5²(75−2×5³) = 1625; a₇ = 7²(75−2×7³) = 2989; a₉ = 9²(75−2×9³) = 4617; a₁₁ = 11²(75−2×11³) = 6413; a₁₃ = 13²(75−2×13³) = 8281; a₁₅ = 15²(75−2×15³) = 10125; a₁₇ = 17²(75−2×17³) = 11849; a₁₉ = 19²(75−2×19³) = 13357; a₂₁ = 21²(75−2×21³) = 14553; a₂₃ = 23²(75−2×23³) = 15341; a₂₅ = 25²(75−2×25³) = 15625.

Суммируя отдельно числа a_m со знаком «+» и числа a_m со знаком «−», получим число синих кубиков в кубе 25×25×25: S_син = 56623−48846 = 7777.

Такой подсчет синих кубиков предложил математик-программист Анатолий Лецман.

Оба рассмотренных куба имеют ребра вида n = 4k+1. В этих случаях и внутренняя крестовина, и внешний каркас кубов — синего цвета. Сколько же синих кубиков в таком кубе n×n×n?

Прием подсчета синих кубиков, использованный в пункте б), можно обобщить и вывести формулу их числа:
S_син = a₁−a₃+a₅−a₇+a₉−...+a_n−4−a_n−2+a_n,
где крестовина с номером m = 1, 3, 5, 7, ..., n, содержит a_m = 3nm²−2m³ кубиков.

Заменим каждое число a_m его значением в развернутом виде и не забудем, что a_n = n³, получим:
S_син = (3×n×1²−2×1³)−(3×n×3²−2×3³)+(3×n×5²−2×5³)−(3×n×7²−2×7³)+...+(3×n×(n−4)²−2(n−4)³)−(3×n×(n−2)²−2(n−2)³)+n³.

Можно раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые так:
S_син = 3n×(1²−3²+5²−7²+...+(n−4)²−(n−2)²+n²)−2×(1³−3³+5³−7³+...+(n−4)³−(n−2)³+n³).

И скобка с квадратами, и скобка с кубами содержат нечетное число слагаемых, потому что n = 4k+1, значит, если сгруппировать числа внутри скобок парами, то последнее число останется без пары. В первой скобке получим разности квадратов и n², оставшийся без пары. Во второй скобке получим разности кубов и n³ без пары. Разложив на множители все разности, и вынеся получившийся общий множитель 2, получим:

S_син = 3n×(−2×4−2×12−2×12−2×20−...−2×(2n−6)+n²)−2×(−2(1²+1×3+3²)−2(5²+5×7+7²)−...−2((n−4)²+(n−4)×(n−2)+(n−2)²)+n³),

или, после упрощения,
S_син = 3n×(−8×(1+3+5+...+(n−3)/2)+n²)−2×(−2×(1²+3²+5²+...+(n−4)²−(n−2)²)−2×(1×3+5×7+...+(n−4)×(n−2))+n³).

Далее воспользуемся известными формулами, учитывая, что n = 4k+1:
1+3+5+...+(n−3)/2 = (n²+2n−1)/2;
1²+3²+5²+...+(n−4)²−(n−2)² = ((n−2)(n−1)n)/6;
1×3+5×7+...+(n−4)×(n−2) = ((n−1)(n²−2n−6))/12.

Подставим эти формулы и после упрощения получим формулу для вычисления числа синих кубиков в кубе с ребром n = 4k+1:

Это второй способ вывода формулы числа синих кубиков в кубе с ребром n = 4k+1.

Но когда я впервые искал эту формулу, то шел по другому пути, проделав много вычислительной работы. Считая «в лоб» отдельно желтые и синие кубики по рисункам для кубов с n = 5, 9, 13, 17, 21, 25, я находил разность между ними и в итоге заполнил такую таблицу:

ТАБЛ

И тут мне повезло: я заметил, что разность между числом желтых и числом синих кубиков имеет линейную зависимость от числа n — она равна 3n−4. Учитывая, что все синие и желтые кубики образуют куб n×n×n, то получится система уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, получим \(S_{\mathrm{син}}=\frac12n^3-\frac32n+2\).

Вот такой получился вывод — в целом не очень громоздкий, но с логическим пробелом: я так и не смог доказать формулы разности между желтыми и синими кубиками.

Имея последовательность кубов с ребром n = 4k+1 (рис. 4), можно рассмотреть последовательность количество синих кубиков в них: 1, 57, 353, 1081, 2433, 4601, 7777, 12153, 17921, 25273, 34401, 45497, 58753, 74361, 92513, ...

Рис. 4.

Выведенная выше формула \(S_{\mathrm{син}}=\frac12n^3-\frac32n+2\) не является формулой общего члена этой последовательности, потому что она работает только при n, сравнимых с 1 по модулю 4. Подставим в эту формулу вместо n выражение n = 4k−3, получим формулу k-го члена этой последовательности: \(a_k=32k^3-72k^2+48k-7\). (Если подставлять 4k+1, то получим формулу вычисляющую члены последовательности, начиная со второго члена 57.)

Интересно рассмотреть все кубы с ребром n, не ограничиваясь только остатками 1 при делении на 4. Получим такой ряд, в котором выше рассмотренные кубы — это каждый четвертый, начиная с первого. Надо обратить внимание, что раскраска кубиков такова, что внутренняя крестовина всегда синяя, и при четных n она двойная, то есть ее торцы имеют сечение 2×2. При этом внешний каркас кубов не всегда синий, идет чередование — два синих, два желтых, и т. д.

Рис. 5.

Сколько же синих кубиков у таких кубов? Заметим, что число синих кубиков и соответствующая формула их подсчета по-прежнему зависит от остатка деления числа n на 4. Не утруждая читателей выводом формул в каждом из оставшихся трех случаев, сообщу результаты моих изысканий в готовом виде:

В этой формуле n — число кубиков на ребре, r — остаток от деления n на 4. Начало этой последовательности выглядит так: 1, 8, 7, 32, 57, 112, 159, 256, 353, 504, 647, 864, 1081, 1376, 1663, 2048, 2433, 2920, 3399, 4000, 4601, 5328, 6047, 6912, 7777, 8792, 9799, 10976, 12153, 13504, 14847, 16384, 17921, 19656, 21383, ...

График последовательности для десяти первых членов — это синие точки, которые для наглядности соединены ломаной (рис. 6). Нетрудно понять, что график последовательности коррелирует с кубической параболой с коэффициентом 1/2, которая представлена на рисунке ступенчатой ломаной красного цвета. На рисунке видно, что при n = 4 и n = 8 графики совпадают.

Рис. 6.