Всегда кто-то всё испортит!

Обратите внимание на слова каждый, любой, бывает и подобные им по смыслу конструкции.

Попробуйте переформулировать каждое из предложений (то есть заменить на эквивалентное по смыслу), используя две конструкции: любой X ... и существует X, который ...

Численный индекс связан с количеством конструкций, описанных в предыдущей подсказке, в данном предложении. Буквенный индекс связан с тем, какая из них стоит в начале предложения.

В предложении 9, в отличие от предложения 8, говорится о том, что чего-то не существует (а именно — художников без горького, постоянного труда). Что в таком случае сближает предложение 9 с предложениями 1 и 7? Почему все они имеют один и тот же тип?

Во всех предложениях встречаются утверждения двух сортов: о том, что нечто существует (как объект или как ситуация в какой-либо момент времени), либо о том, что нечто верно всегда, для всех объектов определенного класса. Например, предложение Каждый охотник желает знать, где сидит фазан относится ко второму сорту: оно утверждает, что для каждого из объектов вида охотник верно, что он желает знать, где сидит фазан. Будем называть такие высказывания утверждениями о всеобщности. Напротив, предложение И на старуху бывает проруха говорит, что существует ситуация прорухи, которая имеет место в отношении старухи. Такие высказывания назовем утверждениями о существовании.

Мы видим, что во всех предложениях делаются утверждения о всеобщности или о существовании — вот только иногда они устроены довольно сложно: внутри утверждения о всеобщности может быть утверждение о существовании, и наоборот. Например, в предложении На всякого Егорку есть поговорка делается утверждение о всеобщности: для каждого из объектов вида Егорка верно, что... Что? Что существует поговорка, которая относится к данному из Егорок. То есть, чтобы проверить, истинно ли то, что утверждает поговорка, надо перебрать всех Егорок на планете и для каждого из них узнать, есть ли на него поговорка. Мы видим, что численный индекс у этого предложения уже 2, а не 1 — видимо, по количеству конструкций со значением всеобщности или существования.

Итак, выдвинем гипотезу: чтобы определить численный индекс предложения, надо посчитать, сколько в нем встречается утверждений о всеобщности или существовании (вложенных друг в друга); для этого удобно (а иногда и просто необходимо) все предложения переформулировать по единому шаблону (с использованием конструкций для каждого ... верно, что ... и существует ..., который ...). Сделаем это:

Гипотеза подтвердилась; более того, можно выдвинуть предположение, что буквенный индекс отвечает тому, с чего начинается предложение — со слов для каждого или существует (другими словами, является ли оно утверждением о всеобщности или же о существовании). Действительно, все предложения, кроме 5-го и 9-го, получают тип Π, если начинаются со слов для каждого, и тип Σ, если начинаются со слова существует. Впрочем, 5-е и 9-е предложения имеют явное отличие от остальных — в них есть отрицание, частица не. Задумаемся, скажем, о смысле 9-го предложения: оно говорит, что ни один художник не может быть без горького, постоянного труда — то есть, что на самом деле все художники находятся в состоянии такого труда. Таким образом, отрицание не делает из утверждения о существовании (например, Бывают те, кто стал художником без горького, постоянного труда) утверждение о всеобщности — и наоборот. С учетом этой ремарки изменим наш анализ предложений 5, 9 и 10:

Перейдем теперь к анализу предложений из задания 2.

Если с первыми двумя предложениями всё вроде бы ясно, представленным анализом третьего предложения мы удовлетвориться не можем — ведь в условии требуется указать два разных типа. Как это возможно?

Наша переформулировка третьего предложения сделана весьма прямолинейно: мы просто заменили хотя бы на существует и добавили придаточных конструкций (мы делаем так, чтобы переформулированные предложения выглядели похожими друг на друга, строились по одному и тому же, пусть и довольно громоздкому, шаблону). Вдумаемся, однако, в смысл переформулированного предложения: существует какая-то одна задача (например, вот эта, «Всегда кто-то всё испортит!»), которую решил каждый читатель. Так действительно можно понять третье предложение — но есть и второй вариант понимания: каждый читатель решит хотя бы одну задачу, но, возможно, для разных людей эти задачи будут разными (скажем, Вася решит задачу «Всегда кто-то всё испортит!», а Маша — задачу «Шекспиру и не снилось!»). Переформулировка тогда будет выглядеть так:

Таким образом, третье предложение имеет два разных возможных значения и, как следствие, либо тип Σ2, либо тип Π2.

В предложении Сократ смертен из задания 3 отсутствуют утверждения о существовании или о всеобщности, поэтому численный индекс по общим правилам должен равняться нулю, а буквенный индекс мы присвоить ему не можем.

Пример предложения типа Σ3 привести легко, например: Бывают сказки, в которых каждый персонаж находит кого-то, с кем он счастлив.

Приступим наконец к анализу предложения из задания 5. Затруднение вызывает уточнение кроме одной, которое не позволяет говорить, что перед нами утверждение о всеобщности: действительно, предложение сообщает нам о том, что существует лекция, которую студент Обалдуев не проспал. Попробуем всё же переформулировать это предложение аналогично всем предыдущим:

Получилось трудное для восприятия предложения, но по структуре оно устроено так же, как и уже проанализированные: ‘существует нечто такое, что для любого чего-то верно что-то’.

Предложение Для каждых двух куздр найдётся такая третья куздра, что нет бокра, которого будлали бы все эти три куздры мы взяли из очерка «Апология математики» Владимира Андреевича Успенского¹. В труде замечательного ученого, объединителя математики и языкознания, можно найти целую серию таких предложений:

(1) Для каждых двух куздр существует бокр, которого они будлают.

(2) Две различные куздры не могут будлать вместе более одного бокра.

(3) Существуют три куздры, для которых нет такого бокра, которого все они будлают.

(4) Каждого бокра будлают по меньшей мере две куздры.

На их примере Владимир Андреевич показывает, как математики работают с базовыми, неопределяемыми понятиями типа точки или прямой в геометрии: совсем необязательно знать значение слов куздры, бокры, будлать, чтобы из утверждений (1)–(4) логически вывести (иными словами, доказать) то самое предложение 10 из условия нашей задачи (любителям математики: попробуйте это сделать и отгадайте, какие геометрические понятия скрываются за куздрами, бокрами и будланием). Чтобы рассуждать о куздрах и бокрах, необязательно знать, кто они такие, инопланетные звери или геометрические фигуры; достаточно лишь иметь набор базовых фактов, аксиом, сообщающих нам об их связи друг с другом. Однако, хотя предложения (1)–(4) и звучат как сведения об инопланетянах, в них есть вполне «земные» конструкции — для каждых, существует, по меньшей мере. Они образуют как бы скелеты этих предложений, их логическую основу; без них смысл того, о чем нам говорят, было бы действительно невозможно понять. Анализу «логической структуры» предложений и посвящена наша задача.

Предложения вроде тех, что приводит Владимир Андреевич Успенский, хорошо знакомы студентам-математикам (да и студентам-лингвистам, которым тоже приходится проходить матанализ в университетах): уже на первом курсе им рассказывают, например, что

«предел функции f в точке a равен L, если для любого ε, большего 0, существует δ, большее 0, такое, что для любого x, если разность x и a по модулю меньше δ, то верно, что разность f(x) и L по модулю меньше ε».

Страшно? А это — важнейшее определение математического анализа! Понять его с первого раза без определенного навыка ужасно трудно (впрочем, сейчас это и не требуется).

Чтобы упростить себе жизнь и не писать много слов (а также чтобы еще больше устрашить непосвященных), математики выработали символьный язык для записи подобных высказываний. Определение предела, которое мы привели выше, на нем записывалось бы так:

В этой записи значок ∀ читается как для любого, ∃  — как существует, а запись A ⇒ B — как если A, то верно B; скобки играют роль разделителя, чтобы легче было читать. Если читатель аккуратно заменит каждый значок на его словесный эквивалент, он убедится, что определение, записанное словами тремя абзацами выше, совпадает с тем, которое зашифровано символами. Мы показали вам этот пример, не потому что любим определение предела и хотим познакомить с ним всех читателей (тогда вряд ли кто-то станет дочитывать это послесловие), а потому что далее будем использовать значки ∀ и ∃, называемые в математике кванторами. Символ ∀ называется квантором всеобщности, а ∃ — квантором существования.

Кванторы (как и многие другие математические понятия и обозначения) пригождаются лингвистам, занимающимся формальной семантикой. Семантика — это наука о значениях слов, предложений и других единиц языка; добавка формальная в свою очередь говорит нам о том, что в этой науке должен использоваться особый, математически строгий и последовательный язык описания. Для чего? Сравните это с тем, как можно описывать движение брошенного вверх камня: можно сказать «камень полетит вверх, замрет в верхней точке полета, а потом полетит вниз», а можно написать формулу x(t) = vt-gt^2/2, описывающую ту же самую траекторию движения, но на строгом языке математики. Второе описание позволяет нам в любой момент времени точно рассчитать положение камня в воздухе, в то время как первое дает нам лишь общее описание, «эскиз» его движения. Так же и в лингвистике: использование формального языка описания позволяет более точно рассуждать о значениях слов и предложений, приходить к более глубоким выводам.

Покажем, как работает формальная семантика, на примере шести простых предложений:

Предложения 1а и 2а сообщают нам некоторые факты о конкретных людях (допустим, мы с вами знаем Машу и Петю, они наши общие знакомые); факты эти могут быть истинными либо ложными. Допустим, у нас есть огромная, всемирная база данных под кодовым названием «Большой брат», в которую внесены все люди и, более того, все объекты, а также вся информация о том, что они делают, в том числе в отношении друг друга, какими свойствами обладают (во все моменты времени) и т. п. Тогда, чтобы проверить, истинно ли то, что говорится в предложении 1а, надо залезть в эту базу данных, найти карточку «Маша» и проверить, написано ли в этой базе данных, что она спит, или нет. Введем обозначение с использованием двойных вертикальных линий — ||Маша спит|| — для результата нашей проверки по базе данных. А именно, мы считаем, что ||Маша спит|| = ИСТИНА, если в «Большом брате» сказано, что Маша действительно спит, и ||Маша спит|| = ЛОЖЬ, если нет. Аналогично, ||Маша любит Петю|| = ИСТИНА, если Маша действительно любит Петю, и ЛОЖЬ иначе. ИСТИНА и ЛОЖЬ называются истинностными значениями предложения; сейчас мы для простоты считаем, что про любое утвердительное предложение можно сказать, истинно оно или ложно.

Как с помощью «Большого брата» проверить истинность предложения 1б? Очевидно, надо перебрать все карточки в нашей базе данных и проверить, что все те люди, которых мы подразумеваем под словом все, действительно спят. С использованием символьного языка записи получаем, что значение предложения 1б такое: ∀x ||x спит|| — то есть для любого икс верно, что этот икс спит. Аналогично, значение предложения 1в можно записать так: ∃x ||x спит|| — то есть существует некоторый икс, который спит. Здесь возникает математическая переменная x, вместо которой можно подставлять разных индивидов и получать истинностные значения: ||Маша спит||, ||Петя спит||, ||Зеленая бесцветная идея №15 спит|| и так далее.

Упражнение 1. Попробуйте записать с помощью введенных нами символов значения предложений 2б и 2в.

Во всех предложениях из условия задачи можно использовать этот же способ записи: скажем, значение предложения 4 можно представить в виде

∀C ∃x∈C ∀e ||x испортит объект e||

По-русски: для любой компании С существует такой человек х из компании С, для которого верно, что для любого объекта е этот x испортит e. Как раз то, что говорится в предложении 4, только более мудрено. Еще тут появился новый символ ∈, который читается как принадлежащий или как из.

То, что мы пока делаем, — это фундамент языка формальной семантики. Математики и лингвисты пошли дальше и придумали, как можно описывать с помощью аппарата математики и логики значения слов по отдельности — так, что при этом значения предложений будут автоматически конструироваться из значений входящих в него слов. Автоматически — с помощью еще одного математического подхода, называемого лямбда-исчислением. С его помощью, в теории, можно даже научить компьютер «понимать» смысл того, что пишут и говорят люди: машина сможет из сохраненных в ее памяти значений слов собирать (как конструктор) значения предложений. Лямбда-исчисление активно используется в программировании, бывает полезно и в других областях знаний (мы даже нашли статью, где предлагается использовать лямбда-исчисление для генерации мелодий). И это впечатляет! В разных науках, разных контекстах оказывается полезным один и тот же формальный язык описания, который как бы высвечивает их общие идеи и закономерности.

Впрочем, и без лямбда-исчисления мы можем сделать интересные наблюдения, анализируя предложения из условия задачи. Посмотрим на предложение Хотя бы одну задачу решит каждый читатель. На первый взгляд, оно говорит нам, что каждый читатель сможет решить одну из задач, при этом, скажем, у одного читателя это может быть задача по лингвистике, а у другого — по математике. С помощью кванторов:

∀x∃z ||читатель x решит задачу z||.

Вопрос: а почему нельзя записать ∃z∀x ||читатель x решит задачу z||? Разве что-нибудь изменится, если переставить значки-кванторы местами? Оказывается — да, изменится. В первом случае мы говорим: для любого читателя x существует задача z, которую x решит. То есть мы запускаем нашу базу данных и начинаем проверку: перебираем по очереди всех читателей и для каждого из них ищем, есть ли какая-нибудь задача, которую он решил. Во втором же случае мы говорим: существует такая задача z, что любой читатель x ее решит. Другими словами, найдется одна и та же задача, которую решат все читатели! Смысл изменился. Оказывается, что действительно можно придумать контекст для исходного предложения, в котором оно имеет вот это второе значение:

— Знаете, у нас очень широкая читательская аудитория, разным людям интересны разные области науки, да и уровень подготовки у читателей разный. Вряд ли найдется задача, которую все смогут решить.
— А я уверен, что хотя бы одну задачу решит каждый читатель.

Так изменение порядка кванторов помогло нам обнаружить альтернативное значение предложения Хотя бы одну задачу решит каждый читатель, выявить его неоднозначность (правда, надо заметить, что в диалоге выше еще необходимо интонационное выделение слова одну). Кстати говоря, в математических вузах важности этого порядка уделяют немало внимания, потому что студенты на первых порах считают, что в каком порядке ни пиши кванторы, смысл не поменяется.

Упражнение 2. Сравните два математических высказывания о числах:

1. ∀x∃y (y > x).

2. ∃y∀x (y > x).

Расшифруйте их, «переведя» на русский язык, и ответьте, какое из них верно, а какое — нет?

Скажем немного и о том, откуда взялась сама классификация из задачи. Она называется арифметической иерархией и в лингвистике на самом деле не используется — зато она важна для математиков. С ее помощью можно оценивать «сложность» математических высказываний: чем больше кванторов содержит высказывание, тем сложнее проверять, истинно оно или ложно. Скажем, чтобы проверить истинность предложения 1, надо перебрать по базе данных всех охотников и для каждого узнать, правда ли, что он желает знать, где сидит фазан. Всё становится сложнее, если мы захотим проверить истинность предложения 4: нам придется а) перебирать по очереди все компании, б) в каждой из них перебирать по очереди ее участников, в) для каждого из людей перебирать все ситуации, происходившие с этой компанией, и проверять, правда ли, что этот человек каждую из них испортил. Больше кванторов — больше этапов в этой проверке. Кстати, советуем заинтересовавшимся читателям обратить внимание на другую задачу — «Игра Эренфойхта», — которая, на самом деле, имеет много общего с тем, о чем мы говорим здесь (в ней описываются математические игры той же природы, что и процедура проверки, описанная выше).

Напоследок заметим, что для математиков оказывается важным не просто количество кванторов в высказывании, но еще и то, с какого из них оно начинается. Высказывания типа Σ — высказывания о существовании: для того, чтобы убедить кого-то, что такое высказывание (например, Существует сиреневый крокодил) истинно, достаточно найти и показать один объект, удовлетворяющий этому высказыванию (для данного примера — найти где-нибудь сиреневого крокодила); а вот чтобы убедить, что оно ложно, придется уже потрудиться — побывать во всех уголках Вселенной и проверить, что там нет сиреневых крокодилов. Высказывания типа Π, то есть высказывания о всеобщности, ведут себя ровно противоположным образом: чтобы убедить кого-то, скажем, в том, что Все крокодилы зеленые, надо исхитриться побывать во всех возможных местах обитания крокодилов и сделать фотографии, показывающие, что они всюду и правда зеленые; наоборот, чтобы убедить кого-либо в обратном, достаточно найти одного незеленого крокодила.

К сожалению, математический язык часто пугает тех, кто к нему не привык. Тем не менее оказывается, что этот язык очень полезный в самых разных науках и в том числе необходимый для анализа смыслов предложений. С его помощью мы можем как бы просвечивать предложения на рентгене, видеть их внутренний «логический скелет». А еще мы начинаем лучше чувствовать взаимосвязь естественных языков и языка математики, геометрии, логики — и это помогает как в математике, так и в лингвистике.

Задача использовалась на III Устной олимпиаде по лингвистике НИУ ВШЭ — 2018.

¹ Владимир Андреевич Успенский (1930–2018) — советский и российский математик, лингвист, создатель отделения теоретической и структурной лингвистики в МГУ и заведующий кафедрой математической логики механико-математического факультета МГУ.