Мозаика тридиан

Попытайтесь найти отношения, в которых тридианы делят друг друга. Вспомните теоремы об отношении площадей треугольников из школьного курса геометрии — они непременно помогут.

Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений о тридианах.

Будем говорить, что по отношению к стороне \(AB\) тридианы \(AA_1\) и \(BB_2\) — нижние, а тридианы \(AA_2\) и \(BB_1\) — верхние (рис. 2); аналогично для двух других сторон треугольника.

Рис. 2.

Тридианы обладают следующими свойствами:
    1) верхние тридианы точкой пересечения делятся в отношении 3:1, считая от вершины;
    2) нижние тридианы точкой пересечения делятся в отношении 3:2, считая от вершины;
    3) верхняя тридиана делит нижнюю в отношении 6:1, считая от вершины;
    4) нижняя тридиана делит верхнюю в отношении 3:4, считая от вершины.

Свойство 1 непосредственно вытекает из подобия треугольников \(AOB\) и \(A_2OB_1\): \(AB: A_2B_1=3:1\), а значит и \(AO: OA_2=BO: OB_1=3:1\) (рис. 3, слева).

Рис. 3.

Свойство 2 вытекает из подобия треугольников \(AOB\) и \(A_1OB_2\): здесь отношение \(AB: A_1B_2\) равно 3:2, следовательно, \(AO: OA_1=BO: OB_2=3:2\) (рис. 3, справа).

Для доказательства свойств 3 и 4 удобно площадь треугольника \(ABC\) принять за 1, а площади четырех закрашенных на рис. 4 треугольников обозначим \(x\), \(y\), \(z\) и \(t\).

Рис. 4.

Очевидно, что площадь треугольника \(ABB_1\) равна 2/3, поэтому \(x+y=2/3\). Площадь треугольника \(ABA_1\) равна 1/3, поэтому \(y+z=1/3\). Площадь треугольника \(A_1BB_1\) в 3 раза меньше площади треугольника \(ABA_1\), потому что у них общее основание \(BA_1\), а высоты, проведенные к этому основанию, отличаются в 3 раза (это следует из подобия получающихся при построении этих высот прямоугольных треугольников). Значит, площадь треугольника \(A_1BB_1\) равна 1/9, то есть \(z+t=1/9\). Кроме этого, треугольники \(AB_1O\) и \(A_1B_1O\) имеют общую высоту, поэтому отношение их площадей равно \(AO: A_1O\). Аналогично, и отношение площадей треугольников \(ABO\) и \(A_1BO\) тоже равно \(AO: A_1O\), значит, верно равенство \(x/y=t/z\).

\(AO: A_1O=y: z=6:1\) и \(BO: B_1O=y: x=3:4\). Свойства 3 и 4 доказаны.

Заметим, что каждая тридиана делится четырьмя другими тридианами на пять отрезков. Зная, в каком отношении тридианы делятся попарно, можно найти, в каком отношении эти пять отрезков делят каждую тридиану (рис. 5).

Рис. 5.

Проделаем это для тридианы \(AA_1\). Пусть она имеет длину \(m\). По отношению к стороне \(AC\) точка \(K\) является точкой пересечения нижней и верхней тридиан, поэтому \(AK=\frac37m\). Точка \(L\) — это точка пересечения нижних тридиан по отношению к стороне \(AB\), поэтому \(AL=\frac35m\). Значит, \(KL=AL-AK=\frac6{35}m\). Точка \(M\) — это точка пересечения верхних тридиан по отношению к стороне \(AC\), поэтому \(AM=\frac34m\). Значит, \(LM=AM-AL=\frac{3}{20}m\). Точка \(N\) — это точка пересечения нижней и верхней тридиан по отношению к стороне \(AB\), поэтому \(AN=\frac67m\) и \(A_1N=\frac17m\), значит, \(MN=AN-AM=\frac{3}{28}m\).

Отсюда заключаем, что точки \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) делят тридиану \(AA_1\) в отношении \(AK: KL: LM: MN: NA_1=\frac37:\frac{6}{35}:\frac{3}{20}:\frac{3}{28}:\frac17\). Приведя дроби к общему знаменателю, получим \(AK: KL: LM: MN: NA_1=60:24:21:15:20\).

Отметим, что все шесть тридиан точками пересечения с другими тридианами делятся в одинаковых отношениях 60:24:21:15:20. Следовательно, если положить \(BB_1=p\), то \(BN=\frac37p\) и \(FN=\frac6{35}p\).

Одна из основных формул для вычислении площади треугольника гласит, что площадь равна произведению длин двух сторон на синус угла между ними (\(S=ab\sin\gamma\)). Из нее легко следует, что если у двух треугольников есть равные углы, то их площади относятся так же, как произведения сторон, заключающих равные углы. Этот факт нам сейчас очень поможет, — применив его несколько раз, можно найти площади всех треугольников на рис. 6.

Рис. 6.

Покажем, например, как найти площадь треугольника \(MNF\). Для удобства на рисунке рядом с концом каждой тридианы в скобках указано обозначение ее длины. Треугольники \(MNF\) и \(A_1BN\) имеют равные вертикальные углы, а значит, их площади относятся так:

Поскольку \(S_{\triangle A_1BN}=\frac{1}{21}\) (см. рис. 4), получаем, что \(S_{\triangle MNF}=\frac{1}{70}\).

С помощью этого же факта покажем, что треугольники \(MNF\) и \(DEF\) равновелики. Найдем отношение их площадей, учитывая, что и они имеют равные вертикальные углы:

Аналогичными выкладками можно доказать, что и все остальные оранжевые треугольники на рис. 6 имеют одинаковую площадь. Получаем, что все они равновелики и их площадь равна 1/70 (за единицу, напомню, мы приняли площадь треугольника \(ABC\)).

Все из того же факта следует и то, что площади треугольников \(DEF\) и \(A_2CD\) связаны друг с другом так же, как и площади треугольников \(MNF\) и \(A_1BN\). Более того, это же верно и для остальных пар желтых и оранжевых треугольников, у которых есть вертикальные углы. Отсюда следует, что все желтые треугольники на рис. 6 тоже равновелики, их площадь равна \(S_{\triangle A_1BN}=\frac{1}{21}\).

Теперь можно найти сумму площадей всех желтых и оранжевых треугольников: она равна \(6\cdot\frac1{70}+6\cdot\frac{1}{21}=\frac{13}{35}\).

Искомая площадь является дополнением найденной желто-оранжево площади, поэтому она равна \(1-\frac{13}{35}=\frac{22}{35}\). Это и есть доля площади, которая закрашена.

Площадь синей части треугольника мы нашли, не вычисляя площадей закрашенных четырехугольников, пятиугольников и шестиугольника. А что, если найти их?

Начнем с центрального шестиугольника, но прежде отметим, что все шесть тридиан точками пересечения с другими тридианами делятся в одинаковых отношениях, поэтому части треугольника, закрашенные одним цветом на рис. 7, равновелики.

Рис. 7.

Обратим внимание на центральный треугольник розового цвета, образованный тремя тридианами \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) (рис. 8, слева). Пусть его площадь равна \(S\). Нетрудно убедиться, что площади незакрашенных (белых) четырехугольников одинаковы. Обозначим их \(d\). Тогда, учитывая, что площадь треугольника \(BCC_1\) в 2 раза больше площади треугольника \(ACC_1\), можем записать равенство \(S+2d+z=2(d+2z)\), упростив которое получим \(S=3z\). То есть площадь розового треугольника равна сумме площадей желтых треугольников: \(S=3\cdot{1}{21}=\frac17\).

Рис. 8.

Таким образом мы доказали замечательный факт, который является частным случаем теоремы Рауса. В англоязычной литературе треугольник, образованный пересечением соответственных тридиан, так и называют — one-seventh area triangle. То, что он занимает одну седьмую от площади исходного треугольника, можно доказать и (почти) без вычислений. Достаточно взглянуть на рис. 9, чтобы убедиться в истинности этого факта (одинаковыми цифрами обозначены равные треугольники).

Рис. 9.

Если теперь из площади розового треугольника вычесть площади трех оранжевых треугольников, то получим площадь центрального шестиугольника (рис. 8, справа): она равна 1/10. Это — не менее замечательный факт, который в 1993 году был представлен математическому сообществу математиком Мэрион Уолтер (Marion Walter), и сформулирован в форме теоремы: площадь центрального шестиугольника, определяемого тридианами произвольного треугольника, равна 1/10 площади этого треугольника.

У меня к этому факту особое отношение. Дело в том, что в далеком 1994 году мне тоже удалось обнаружить эту геометрическую изюминку. В форме задачи я предложил ее научно-методической комиссии, которая занимается отбором задач на финал Всероссийской математической олимпиады школьников. Я был почти уверен, что такая красивая задача обязательно пройдет отбор, но ее отклонили. Руководитель комиссии Н. Х. Агаханов объяснил мне, что задача отличная, но, к сожалению, уже известная — на тот момент публикация о теореме Мэрион (ее обычно именно так называют — по имени автора) уже вышла (A. Cuoco et al., 1993. Marion's theorem). Вот так я опоздал, и не стал обладателем именной теоремы в геометрии, но рад за свою коллегу из США.