Пирамиды таблицы Пифагора
Задача
Таблица Пифагора — это квадратная таблица \(n\times n\), в каждой ячейке которой записано число, равное произведению номеров своих строки и столбца. Найдите сумму чисел, расположенных:
а) на побочной диагонали (выделена зеленым цветом на рис. 1);
б) выше и левее этой диагонали (выделены желтым цветом);
в) ниже и правее этой диагонали (выделены синим цветом).
Подсказка
Чтобы найти требуемые суммы, обязательно нужно использовать принцип, по которому заполняются ячейки таблицы. При суммировании чисел побочной диагонали важно понять, каким дополнительным свойством обладают эти числа. Многократно применяя формулу суммы чисел, расположенных на побочной диагонали, можно найти сумму чисел в желтых ячейках таблицы. Ну а в синих ячейках, очевидно, находятся все остальные числа таблицы Пифагора.
Решение
а) Поскольку каждое число таблицы равно произведению номеров своих строки и номера столбца, то сумма чисел побочной диагонали равна:
\[S_{\mathrm{диаг}}=1\cdot n+2\cdot(n-1)+3\cdot(n-2)+\ldots+(n-1)\cdot2+n\cdot1.\]Заметим, что каждое слагаемое — это произведение двух множителей, первый из которых увеличивается на 1, а второй — наоборот, уменьшается на 1. Значит, сумма множителей в каждом произведении постоянна и равна \(n+1\). Поэтому каждое произведение имеет вид \(i\cdot(n+1-i)=(n+1)i-i^2\). Следовательно, всю сумму можно переписать так:
\[S_{\mathrm{диаг}}=(n+1)\cdot(1+2+\ldots+n)-(1^2+2^2+\ldots+n^2).\]Применив известные формулы для суммы арифметической прогрессии и суммы ряда из квадратов (см., например, задачу Суммы квадратов, суммы кубов...), получим:
\[S_{\mathrm{диаг}}=(n+1)\cdot\frac12n(n+1)-\frac16n(n+1)(2n+1).\]Упростив, получим итоговую формулу:
\[S_{\mathrm{диаг}}=\frac16n(n+1)(n+2).\]б) Для вычисления суммы \(S_{\mathrm{жел}}\) чисел, расположенных выше и левее побочной диагонали, можно воспользоваться полученной только что формулой. Ведь, как говорилось в подсказке, эту сумму можно представить как сумму сумм чисел, расположенных на побочных диагоналях для всех таблиц Пифагора размером от \(1\times1\) до \(n\times n\) (рис. 2).
Рис. 2.
Запишем это:
Снова используем формулы для суммирования степеней и после упрощения получим ответ:
\[S_{\mathrm{жел}}=\frac{1}{24}(n-1)n(n+1)(n+2).\]в) Прямо искать сумму \(S_{\mathrm{син}}\) чисел, расположенных ниже и правее побочной диагонали, не будем. Гораздо легче найти сумму всех чисел таблицы Пифагора, и уже из нее вычесть найденные выше суммы.
Вспомогательная задача на вычисление суммы \(S_{\mathrm{таб}}\) всех чисел таблицы Пифагора решается тоже несложно: удобно просуммировать числа по строкам. Сумма чисел первой строки, очевидно, равна \(\frac12n(n+1)\). Сумма чисел в строке с номером \(k\), как легко убедиться, будет в \(k\) раз больше. Значит, сумма всех чисел таблицы Пифагора равна:
\[S_{\mathrm{таб}}=1\cdot\frac12n(n+1)+2\cdot\frac12n(n+1)+\ldots+n\cdot\frac12n(n+1)=\left(\frac12n(n+1)\right)^2.\]Подставляя все найденные выражения в равенство \(S_{\mathrm{син}}=S_{\mathrm{таб}}-S_{\mathrm{диаг}}-S_{\mathrm{жел}}\), после упрощения получим ответ:
\[S_{\mathrm{син}}=\frac{1}{24}n(n^2-1)(5n+6).\]Послесловие
Возможно, читатель заметил, что пока ни о каких пирамидах, о которых было объявлено в названии задачи, речь не шла. Но на самом деле это только так кажется. Пирамиды уже появились — они спрятаны в формулах, полученных в решении. И сейчас это станет ясно.
В наших задачах уже несколько раз встречались так называемые фигурные числа (см., например, задачу Отношения фигурных чисел): это последовательности натуральных чисел, которые получаются из расположения одинаковых кругов (или квадратиков) в форме разных фигур, размер которых увеличивается. Самые простые и известные фигурные числа — треугольные и квадратные. Вероятно, их изучали еще пифагорейцы в Древней Греции. Треугольные числа получаются, если выстраивать из кругов — как несложно догадаться — правильные треугольники. Каждое следующее треугольное число получается из предыдущего добавлением ряда, кругов в котором на один больше, чем было добавлено на предыдущем шаге (а начинается все, естественно, с одного круга). В итоге получается последовательность 1, 3, 6, 10, 15, ... (геометрическое представление этих чисел можно увидеть на рис. 3). \(n\)-е треугольное число равно сумме первых \(n\) чисел, то есть \(\frac12n(n+1)\) (обратите внимание, что такие выражения встречались в решении). Квадратные числа получаются при выкладывании кругов в форме квадрата. Ничего интересного: \(n\)-е квадратное число равно \(n^2\).
Можно строить и последовательности чисел, соответствующие трехмерным фигурам (самый банальный пример, наверное, — это последовательность кубов). Но нам нужны тетраэдральные (они же — треугольные пирамидальные) числа, которые получаются, если выкладывать из шаров правильные тетраэдры (рис. 3). Легко видеть, что тетраэдральное число — это сумма нескольких первых треугольных чисел.
Рис. 3.
Вот первые десять тетраэдральных чисел: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220. А какая формула определяет \(n\)-е такое число? Давайте ее найдем:
Получилась ровно та же формула, что и для суммы чисел на побочной диагонали таблицы Пифагора!
Если внимательно посмотреть на самую первую формулу из решения, то ее можно увидеть в «геометрии» тетраэдрального числа. Наглядно это показано на рис. 4: пирамида тоже собирается по слоям, но слои эти параллельны не основанию, а боковому ребру.
Рис. 4.
Ровно по такому же принципу решается известная головоломка «Пирамидка из шариков», в которой из четырех деталей — двух цепочек из 4 шариков и двух блоков 2×3 — надо сложить пирамиду с ребром в 4 шарика. По некоторым сведениям, она была известна еще в Древнем Египте.
Сумма желтых чисел таблицы Пифагора (расположенных выше и левее побочной диагонали) тоже представляет пирамиду, но уже четырехмерную. Складывать такую пирамиду надо из 4-мерных шаров. В результате получится последовательность так называемых пентатопных (или гипертетраэдральных) чисел. Вот ее первые члены: 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, ... Почему так получается? Ответ довольно простой (хотя его сложно себе представить), поскольку построение пентатопных чисел аналогично построению тетраэдральных чисел: если раньше мы брали треугольные числа и «составляли» из них тетраэдральное число, то теперь надо брать начало последовательности тетраэдральных чисел и, суммируя, «составлять» из них пентатопное число. Но это ровно та же сумма, которую мы искали в пункте б).
Рис. 1.