Разрезание куба

Для тетраэдра хорошего разрезания не существует. Поэтому, когда среди частей исходного куба не останется многогранников, отличных от тетраэдров, процесс остановится. Но пока есть хотя бы один другой многогранник, можно продолжать разрезания.

В силу симметричности куба существует всего два принципиально разных способа выбрать первое сечение. А вот количество принципиально разных способов выбора второго сечения зависит от выбора первого.

Предположим, что имеется неограниченный запас кубиков (на всякий случай), и мы режем их разными способами при помощи хороших разрезаний. После каждого разрезания запишем количество получившихся тетраэдров. Множество всех записанных чисел обозначим за \(S\).

Сначала покажем, что минимальное число в \(S\) равно 5.

Рассмотрим две противоположные грани куба, например, верхнюю и нижнюю. Поскольку все грани тетраэдра — треугольники, исходные квадратные грани куба должны быть разрезаны, как минимум, на два треугольника каждая. Даже если сечение, содержащее одну треугольную грань в нижнем основании, «дотянется» до верхнего основания, объем отсекаемого тетраэдра составит не более 1/6 от объема исходного куба. Поэтому четыре тетраэдра, имеющие грани в верхнем (нижнем) основании куба, не могут заполнить весь исходный куб. С другой стороны, отсекая от куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) тетраэдры \(AA_1B_1D_1\), \(CB_1C_1D_1\), \(ABCB_1\) и \(ACDD_1\), получим разбиение исходного куба на пять тетраэдров — пятым будет \(ACB_1D_1\) (рис. 1).

Рис. 1.

Если же сначала разрезать куб сечением, проходящим через параллельные диагонали противоположных граней (например, \(AC\) и \(A_1C_1\)), получим две треугольные призмы, каждая из которых при нашем способе разрезания будет рассечена ровно на три тетраэдра (на рис. 2 указано рассечение одной из них). Таким образом, в \(S\) входит не только 5, но и 6.

Рис. 2.

Может показаться, что мы уже нашли все возможные значения. Во-первых, если мы уже разрезали куб на тетраэдры, то процесс заканчивается. Во-вторых, изначально существует всего два принципиально различных разрезания куба по нашим правилам: сечение проходит через три вершины, смежные какой-то одной вершине, либо сечение проходит через параллельные диагонали противоположных граней. Если мы стартуем с сечения второго типа, дальнейшие действия неминуемо приведут нас к рассечению на 6 тетраэдров. Если же мы будем последовательно применять сечения первого типа, то придем к 5 тетраэдрам.

Но можно поступить хитрее. Допустим, мы уже отсекли от куба тетраэдр \(C_1B_1CD_1\). Теперь у нас есть возможность разрезать оставшийся многогранник сечением, проходящим через вершины \(C\), \(A\) и \(A_1\) (рис. 3). В результате получится два равных (но противоположно ориентированных) шестигранника, имеющих по две четырехугольных и по четыре треугольных грани — они называются тетрагональными антиклинами. Понятно, что достаточно исследовать возможные разрезания одного из этих многогранников.

Рис. 3.

У тетрагонального антиклина 6 вершин. Поэтому всего можно выбрать \(C_6^3=20\) троек вершин. Но 12 из них (по четыре тройки на каждую из двух четырехугольных граней и по одной тройке на каждую из четырех треугольных граней) не приведут к требуемым сечениям. Таким образом, нам остается рассмотреть всего 8 случаев, которые естественным образом разобьются на 4 пары.

    1) Сечение \(AB_1C\) (рис. 4, слева) разбивает антиклин на тетраэдр \(ABCB_1\) и четырехугольную пирамиду \(B_1ACEA_1\), которая, в свою очередь, очевидно делится на два тетраэдра. Это дает три тетраэдра. С учетом второго антиклина и ранее отрезанного тетраэдра \(C_1B_1CD_1\) получаем 3+3+1=7 тетраэдров. Значит, числами 5 и 6 все возможные элементы \(S\) не исчерпываются. К аналогичным результатам приводит рассмотрение сечения \(A_1B_1C\).

Рис. 4.

    2) Сечение \(AB_1E\) (рис. 4, справа) разбивает исходный антиклин на тетраэдр \(AA_1B_1E\) и треугольную бипирамиду \(BAB_1CE\) (то есть многогранник, составленный из двух тетраэдров с общим основанием, в нашем случае это \(AB_1C\)). Очевидно, что сечение, совпадающее с этим основанием, разрежет треугольную бипирамиду на два тетраэдра. В то же время, если провести сечение через вершины бипирамиды и одну из вершин общего основания (например, \(B_1\)), бипирамида распадется на две четырехугольные пирамиды (дополнительная вершина образуется на ребре \(AC\)). Каждая из четырехугольных пирамид будет разрезана на два тетраэдра. Следовательно, в этом случае тетрагональный антиклин разбивается на 3 или на 5 тетраэдров. Учитывая второй антиклин и отрезанный ранее тетраэдр, придем к разбиению куба на 7, 9 или 11 тетраэдров. К этому же результату приведет и сечение \(A_1BC\).

    3) Следующий возможный вариант разрезания тетрагонального антиклина — сечение \(BB_1E\) (рис. 5, слева). Полученная треугольная призма \(ABFA_1B_1E\) разрезается далее на 3 тетраэдра, а четырехугольная пирамида \(CBB_1EF\) — на 2. В результате получается 5 тетраэдров, что не приводит к получению новых значений, входящих в \(S\).

Рис. 5.

То же самое получится, если сечение исходного антиклина провести через вершины \(B\), \(C\) и \(E\) Единственное отличие — вместо призмы возникает усеченная треугольная пирамида (нижнее основание — \(ABC\), вершины верхнего — \(A_1\), \(E\) и середина \(A_1B_1\)). Но, она точно так же, как и призма, разрезается по нашим правилам ровно на 3 тетраэдра.

    4) Осталось рассмотреть сечения, проходящие через тройки вершин \(A_1\), \(B\), \(E\) и \(A\), \(B\), \(E\). Первое из них (рис. 5, справа) пересекает ребро \(CB_1\) в точке \(G\). На рисунке отчетливо видна четырехугольная пирамида с вершиной \(B_1\) и основанием \(A_1BGE\). Но что представляет из себя второй образовавшийся многогранник? Так это же... тетрагональный антиклин! И для него, как и для исходного антиклина, возможны все рассмотренные ранее разрезания. В том числе, на четырехугольную пирамиду и новый антиклин (для этого достаточно, чтобы сечение проходило через три вершины степени 3). Сечение \(ABE\) тоже приводит к четырехугольной пирамиде и новому тетрагональному антиклину.

Таким образом, тетрагональный антиклин можно разрезать на любое нечетное количество тетраэдров, начиная с 3. С учетом второго тетрагонального антиклина и ранее отсеченного тетраэдра множество \(S\) пополняется всеми нечетными числами, начиная с 7.

Рис. 6.

Осталось заметить, что остальные способы разрезания многогранника с рис. 3 не добавят новых значений в \(S\). Убедиться в этом можно, перебрав эти способы. Наиболее содержательный отражен на рис. 6. На нем представлено сечение многогранника, полученного из куба после отсечения тетраэдров \(C_1B_1CD_1\) и \(A_1AB_1D_1\), проходящее через вершины \(B_1\), \(C\) и \(D\). В результате возникают четырехугольная пирамида и тетрагональный антиклин (на этот раз один). С учетом ранее отсеченных тетраэдров это вновь дает любые нечетные количества тетраэдров, начиная с 7. В остальных случаях, принципиально отличающихся от этого, получаются разрезания на конечные ранее встречавшиеся количества. Более подробный разбор всех случаев можно найти в книге автора От задачи к исследованию.

Подводя итог и вспомнив про разрезания на 5 и 6 тетраэдров, получаем, что \(S=\{6\}\cup\{3+2k|k\in\mathrm{N}\}\).

Ситуация, когда множество \(S\) бесконечно, достаточно типична. \(S\) будет одноэлементным тогда и только тогда, когда выпуклый многогранник является: пирамидой, треугольной призмой (усеченной треугольной пирамидой) или четырехугольной бипирамидой специального вида (после удаления любой пары несмежных вершин оставшиеся четыре лежат в одной плоскости).

Еще меньше класс выпуклых многогранников, у которых во множестве \(S\) ровно два элемента: это только треугольные бипирамиды.

Рис. 7.

Для всех остальных выпуклых многогранников множество \(S\) бесконечно (или, возможно, пусто: неизвестно, существуют ли многогранники, которые обсуждаемым способом нельзя разрезать на конечное число тетраэдров). Мы видели, что для куба, тетрагонального антиклина, многогранника, изображенного на рис. 6, дополнение множества \(S\) (до множества натуральных чисел) тоже бесконечно. Оказывается, и такие многогранники относительно редки. Наиболее типичен случай, когда множество \(S\) содержит все натуральные числа, начиная с некоторого. Например, для многогранника, изображенного на рис. 7, множество \(S\) содержит все натуральные числа кроме 1, 2, 4 и 6.

А как же обстоит дело с тетраэдризацией выпуклых многогранников без дополнительных ограничений на способ разрезания исходного многогранника на тетраэдры? Ясно, что в этом случае представляет интерес только наименьшее возможное количество тетраэдров. Ведь если мы умеем разрезать многогранник на \(t\) тетраэдров, то сможем разрезать его и на любое количество тетраэдров, большее \(t\). Обозначим наименьшее возможное количество тетраэдров, на которые может быть разрезан выпуклый многогранник \(P\), через \(t_{min}(P)\) и попробуем найти эту величину для некоторых конкретных многогранников и некоторых классов многогранников.

Наиболее просто найти \(t_{min}(P)\), когда \(P\) — пирамида. Рассекая пирамиду сечениями, проходящими через вершину пирамиды и выходящие из одной вершины диагонали основания, получим \(t_{min}(P)=n-2\), где \(n\) — число сторон в основании пирамиды. В общем случае все гораздо сложнее.

Легко видеть, что любой выпуклый многогранник может быть разрезан на конечное число тетраэдров. Достаточно триангулировать грани непересекающимися (вне вершин) диагоналями и взять получившиеся треугольники в качестве оснований, а в качестве вершины всех тетраэдров можно взять произвольную фиксированную точку внутри исходного многогранника. Ясно и то, что описанный способ заведомого не оптимален. Выбор общей вершины тетраэдров на грани, ребре или в вершине исходного многогранника, очевидно, приведет к уменьшению количества тетраэдров. Например, правильный додекаэдр первым способом может быть разрезан на 36 тетраэдров. Если же в качестве общего основания тетраэдров взять одну из вершин додекаэдра, то количество тетраэдров уменьшится до 27 (в качестве оснований тетраэдров достаточно взять треугольники в гранях, не примыкающих к выделенной вершине).

Все вершины додекаэдра равноправны. Поэтому не имеет значения, какая из них будет выбрана в качестве общей вершины тетраэдров. Но в общем случае количество тетраэдров существенно зависит от выбора общей вершины. Пусть, например, наш многогранник представляет собой десятиугольную бипирамиду. Тогда, выбрав в качестве общей вершины тетраэдров одну из вершин основания бипирамиды, получим разбиение на 16 тетраэдров. Если же взять за вершину тетраэдров разбиения одну из двух вершин бипирамиды, получим всего 10 тетраэдров. Каждый из тетраэдров будет иметь в качестве одного из ребер отрезок, соединяющий вершины бипирамиды. Такой способ, напоминающий разрезание торта, обобщается и на другие бипирамиды и дает наименьшее количество тетраэдров. Иными словами, если \(P\) — \(n\)-угольная бипирамида, то \(t_{min}(P)=n\). Исключение составляют треугольные бипирамиды, которые очевидным способом разрезаются на два тетраэдра.

Обобщим способ тетраэдризации, сработавший для бипирамид. Выберем вершину многогранника так, чтобы сумма сторон в гранях, содержащих данную вершину, была максимальна. Эта вершина будет общей вершиной тетраэдров, основания которых лежат в остальных гранях. Такой метод разбиения многогранника на тетраэдры (для краткости назовем его базовым) часто оказывается оптимальным. Так, мы уже знаем, что именно базовым способом можно разрезать на наименьшее количество тетраэдров пирамиды и бипаримиды (при этом треугольная бипирамида не будет исключением, просто у нее нашему правилу выбора общей вершины тетраэдров разбиения удовлетворяет любая вершина основания, но не вершина бипирамиды).

Этот же способ тетраэдризации будет давать оптимальный результат, например, для икосаэдра: 5 граней примыкают к выбранной общей вершине, а остальные 15 являются основаниями тетраэдров с этой вершиной. Таким образом, для икосаэдра \(t_{min}(P)=15\).

Последний пример показывает, что \(t_{min}(P)\) не определяется однозначно количеством вершин, ребер и граней многогранника. Ведь у десятиугольной бипирамиды и икосаэдра все эти характеристики одинаковы, а значения \(t_{min}(P)\) отличаются в полтора раза. Более того, и у десятиугольной бипирамиды, и у икосаэдра все грани треугольны. Так что даже такая информативная характеристика многогранника как вектор граней (вектором граней называется упорядоченный набор \([f_3, f_4, \ldots, f_s]\), где \(f_i\) — количество \(i\)-угольных граней, а \(s\) — наибольшее число сторон в грани) не определяет \(t_{min}(P)\).

Но, может быть, базовый способ с размещением всех вершин тетраэдров разбиения в подходящей вершине исходного многогранника всегда приводит к \(t_{min}(P)\)? К сожалению, и эта гипотеза неверна. Для куба базовый способ дает 6 тетраэдров, в то время как мы знаем, что куб можно разрезать на 5 треугольных пирамид.

Еще дальше от оптимального будет количество тетраэдров при разрезании базовым способом правильного додекаэдра. Как уже отмечалось, в этом случае получится 27 тетраэдров. Покажем, как порезать додекаэдр на 23 тетраэдра. Сначала отметим 8 вершин так, чтобы в каждой грани было отмечено ровно две вершины (рис. 8, слева). Затем отсечем от додекаэдра 8 тетраэдров с вершинами в выделенных точках (слева на рис. 8 показан один такой тетраэдр). Каждая из 12 граней исходного многогранника превратится в равнобедренный треугольник: две стороны равны диагоналям пятиугольных граней, а одна — стороне. К этим граням добавится 8 новых граней (оснований отсеченных тетраэдров), являющихся равносторонними треугольниками (рис. 8, справа). Получившийся в результате икосаэдр (разумеется, он не является правильным) порежем базовым способом на 15 тетраэдров. Можно доказать, что полученное таким способом количество тетраэдров минимально. Поэтому для додекаэдра \(t_{min}(P)=23\).

Рис. 8.

Оценим значение \(t_{min}(P)\) в зависимости от количества вершин (\(v\)) исходного многогранника. Для пирамид \(t_{min}(P)\) будет равно \(v-3\). Можно показать, что это наименьшее возможное значение для многогранников, имеющих \(v\) вершин. Отметим, что достигается это значение не только для пирамид. Так, для каждого четного \(v\) существуют простые многогранники (то есть такие, что из каждой вершины исходит в точности 3 ребра), для которых \(t_{min}(P)=v-3\). Получить их можно, отсекая от пирамиды верхушку так, чтобы плоскость сечения содержала сторону основания пирамиды. Значение \(v-3\) достигается при базовом рассечении.

Для бипирамид (за исключением треугольной) в терминах количества вершин \(t_{min}(P)=v-2\). Такое же значение (и тоже базовым способом разрезания) получается и для дельтоэдров, за исключением куба.

Икосаэдр и додекаэдр можно сложить, используя минимум \(v+3\) тетраэдров.

Для четноугольных призм \(t_{min}(P)=\frac{5v-20}{4}\). Для получения такого количества тетраэдров достаточно рассечь исходную призму на четырехугольные, каждую из которых, в свою очередь, разрезать на 5 тетраэдров так же, как мы разрезали куб.

Если в основании призмы лежит многоугольник с нечетным числом сторон, то разрезать ее на четырехугольные призмы не получится. Придется одну из призм сделать треугольной. В итоге для нечетноугольных призм получим \(t_{min}(P)=\frac{5v-18}{4}\).

А какова же верхняя оценка \(t_{min}(P)\) для многогранника, имеющего \(v\) вершин? Можно показать, что для любого многогранника \(t_{min}(P)\le 2v-10+\frac{12}{v}\), что с учетом целочисленности \(t_{min}(P)\) для многогранников, имеющих более 12 вершин, равносильно оценке \(t_{min}(P)\le 2v-10\). В 1988 году американские математики доказали, что, начиная с некоторого \(v\), существуют многогранники, которые нельзя разрезать на меньшее количество тетраэдров (D. D. Sleator, R. E. Narjan, W. P. Thurston, 1988. Rotation distance, triangulations, and hyperbolic geometry).

В заключение коснемся еще одного вопроса, связанного с разрезанием многогранника на многогранные части. Уже более двух столетий известно, что любые два равновеликих (имеющих равные площади) многоугольника являются равносоставленными, то есть каждый из них можно разрезать на какие-то многоугольники, из которых можно сложить другой данный многоугольник. Этот факт известен как теорема Бойяи — Гервина (Фаркаш Бойяи — друг Гаусса и отец Яноша Бойяи, пришедшего к идеям неевклидовой геометрии независимо от Лобачевского). В полном соответствии с шутливым тезисом В. И. Арнольда, согласно которому в математике (и не только) ни одно понятие не называется именем его первооткрывателя, теорема Бойяи — Гервина была впервые доказана в 1807 году Уильямом Уоллесом.

В 1900 году, выступая на II Всемирном математическом конгрессе, Давид Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, должны были определять развитие математики в XX веке. Удивительно, но большинство этих проблем действительно были решены на протяжении прошлого столетия. При этом многие оказали существенное влияние на математику XX века (хотя, разумеется, за столетие появились и были решены новые задачи, предвидеть которые в 1900 году не мог никто, включая гениального Гильберта).

В третьей из сформулированных Гильбертом проблем ставился вопрос, равносоставлены ли два тетраэдра, у которых равны высоты и площади оснований. Задача легко обобщается до вопроса о равносоставленности двух произвольных равновеликих многогранников.

Третья проблема Гильберта оказалась самой легкой. Она была решена уже в 1901 году. Причем решил ее ученик Гильберта, Макс Ден. Он нашел некий инвариант, который обязан быть одинаковым для всех равносоставленных многогранников. Это связано с тем, что сумма двугранных углов с новым ребром, возникшим в процессе разрезания, равна π, если это ребро лежит в грани исходного многогранника, или 2π, если новое ребро возникло внутри исходного многогранника. У тетраэдров с равными высотами и равновеликими основаниями значения инварианта Дена могут быть различны. Поэтому ответ на вопрос, сформулированный Гильбертом, отрицателен.

В 1965 году швейцарский математик Жан-Пьер Сидлер доказал, что совпадение инвариантов Дена не только необходимое, но и достаточное условие равносоставленности равновеликих многогранников.