Испарение черных дыр
Черные дыры — это аномалии в структуре пространства-времени, заключающие в себе сингулярность (точку с бесконечной кривизной). Черная дыра характеризуется параметром \(M\), который показывает, насколько пространство-время искривлено вокруг нее. Этот параметр условно называют «массой» черной дыры. Эта условность связана с тем, что в привычном для нас «ньютоновском» мышлении, искривление пространства, создаваемое черной дырой с параметром \(M\) и измеренное достаточно далеко от сингулярности, аналогично искривлению пространства, создаваемому некоторым объектом с массой \(M\). Далее мы будем говорить «масса» черной дыры, подразумевая ее размерный параметр \(M\), но важно не забывать, что это вовсе не означает, что черная дыра действительно произошла от материи с общей массой \(M\).
Несмотря на то, о черных дырах принято говорить как о «массивных» объектах, это не совсем корректно. Если сжать звезду с массой \(M\) до сингулярности, то действительно возникнет черная дыра с параметром \(M\). Но ровно такая же черная дыра может возникнуть и без материи вовсе, например в стадии раннего расширения Вселенной. Эти две черные дыры с одинаковым параметром, но разной историей возникновения абсолютно неотличимы друг от друга. Это свойство черных дыр называется теоремой об отсутствии волос. Оно лежит в основе парадоксов о потере информации во Вселенной. Но наша задача не об этом.
Вокруг сингулярности существует особая сферическая поверхность — горизонт событий. Ее радиус \(r_g\) — он же радиус Шварцшильда (или гравитационный радиус) — зависит лишь от массы черной дыры. Искривление пространства-времени черной дырой снаружи от горизонта событий и внутри него кардинально отличается.
Далеко над горизонтом событий, как уже отмечалось, пространство искривлено так, будто бы вместо черной дыры находился обычный массивный объект: если измерить «ускорение», испытываемое объектом в покое в таком искривленном пространстве, то получим обычные для нас ньютоновские \(GM/R^2\), где \(R\) — расстояние от сингулярности (предполагается, что \(R\gg r_g\)). Приближаясь к горизонту событий, мы почувствуем, что для того, чтобы объект находился в покое (висел над горизонтом), потребуется все более и более сильное ускорение. А после пересечения горизонта событий, траектории любых частиц — как массивных, так и безмассовых — начинаются и заканчивается строго внутри горизонта событий (это, в частности, означает, что из-под горизонта не может вырваться даже свет). Это ограничение, налагаемое самими свойствами пространства-времени, такое же строгое и фундаментальное, как и ограничение на скорость распространения электромагнитных и гравитационных волн.
Таким образом, черная дыра — это поверхность, которая делит Вселенную на две несимметричные области: то, что находится внутри горизонта событий, и то, что находится вне его. А размер этой поверхности определяется некоторым параметром \(M\), часто условно называемым массой.
Общая теория относительности (ОТО) описывает взаимодействие искривленного пространства-времени с материей, обладающей энергией. В этой теории существует лишь одна фундаментальная постоянная, \(c\), которая физически соответствует скорости распространения электромагнитных волн и возмущений пространства (гравитационных волн). Гравитационная постоянная \(G\), строго говоря, не является частью ОТО, и входит в игру лишь тогда, когда мы пытаемся интерпретировать искривление пространства как силу, и определить так называемую гравитационную массу объектов.
Задача
При помощи анализа размерностей найдите радиус горизонта событий \(r_g\) черной дыры с массой \(M\).
Никакие сигналы изнутри горизонта событий черной дыры не могут достичь наблюдателя снаружи. Следовательно, логично предположить, что энтропия («разупорядоченность») черной дыры растет с ростом площади поверхности горизонта событий: \(S\propto 4\pi r_g^2\). У любого объекта, обладающего конечной энтропией и энергией, можно определить температуру (соответствует ли это чему-либо физически — другой вопрос). У черных дыр эта температура называется температурой Хокинга и обозначается \(T_{\rm H}\). Найдите ее значение для черной дыры массой \(M\). Оцените температуру Хокинга для черных дыр звездных масс и сверхмассивных черных дыр.
Считается, что из-за особенностей квантовых флуктуаций в непосредственной близости от горизонта событий (снаружи от него) в сильно искривленном пространстве-времени с внешней поверхности черной дыры может генерироваться излучение частиц (в том числе электромагнитное), которое соответствует излучению абсолютно черного тела с температурой \(T_{\rm H}\). Это излучение, как несложно догадаться, называют излучением Хокинга. Оцените светимость (в эргах в секунду) черной дыры из-за излучения Хокинга для черных дыр звездных масс и сверхмассивных черных дыр.
Излучение Хокинга постепенно «забирает» энергию черной дыры, уменьшая ее энтропию, а, следовательно, и площадь. Этот процесс называется «испарением» черной дыры. За какое время испарится черная дыра массы \(M\)? Могут ли в нашей Вселенной существовать абсолютно стабильные черные дыры, масса которых не меняется со временем (допустим, Вселенная может существовать бесконечно долго и не расширяется). Какая у этих черных дыр масса?
Подсказка 1
Для оценки температуры Хокинга можно принять, что энергия черной дыры равна \(E=Mc^2\).
Подсказка 2
Какой глобальный процесс в статической Вселенной может «кормить» черные дыры, постоянно компенсируя их испарение?
Решение
Для вывода радиуса горизонта событий у нас имеется всего две размерных величины: параметр \(M\) и скорость света \(c\). Если мы хотим интерпретировать параметр \(M\) как массу из классической ньютоновской физики, то вместо самого параметра \(M\) нужно взять комбинацию \(GM\), где \(G\) — гравитационная постоянная. Итак, мы ищем такие степени \(\alpha\) и \(\beta\), что выполняется равенство
\[ [\textrm{длина}] = [GM]^\alpha [c]^\beta,\]где квадратные скобки обозначают, что берется размерность величины внутри них. Нетрудно убедиться, что единственной возможностью является комбинация:
\[ r_g \sim \frac{GM}{c^2}. \]Чтобы получилось точное равенство, перед дробью в правой части должен стоять множитель 2, который нельзя получить размерным анализом. В дальнейшем все безразмерные коэффициенты мы будем опускать.
«Температуру» черной дыры можно оценить следующим образом: \(T_{\rm H} \sim E / S\), где \(S\) — ее энтропия, а \(E\) — полная энергия, равная \(M c^2\). Как было сказано в условии, \(S\propto r_g^2\), стало быть, нужно найти такую константу \(\eta\), чтобы величина \(k_{\rm B} M c^2 / \eta r_g^2\) имела размерность энергии (так как \(k_{\rm B} T_{\rm H}\) имеет размерность энергии). Постоянная Больцмана \(k_{\rm B}\), по сути определяет температуру по шкале Кельвина, поэтому она нам не нужна. Можно просто найти некую константу \(\tilde{\eta}\), для которой \(M c^2 / \tilde{\eta} r_g^2\) имеет размерность энергии (тогда «температура» черной дыры будет выражаться не в Кельвинах, а, условно, в эргах).
Из имеющихся у нас постоянных (\(G\) и \(c\)) составить такую комбинацию чисел невозможно. Для этого нам нужна еще одна константа — постоянная Планка, \(\hbar\). На самом деле этот простой факт означает, что для описания термодинамических свойств черных дыр недостаточно одной ОТО, — вдобавок нужна какая-нибудь другая теория, которая задает еще одну постоянную и описывает взаимодействие излучения с горизонтом черной дыры. В данном случае — это квантовая механика (или квантовая теория поля). Как конкретно это взаимодействие происходит, и как именно совмещаются квантовая механика и ОТО в едином формализме, — мы пока не знаем (не только в рамках этой задачи, но и вообще). Однако к простому выводу о необходимости их соединить (во всяком случае в контексте черных дыр) мы приходим даже путем таких простых «размерных» рассуждений.
Нетрудно увидеть, что \(\tilde{\eta} \sim c^3 / G\hbar\) дает нам правильную размерность. Удобнее переписать это в следующем виде:
\[ k_{\rm B} T_{\rm H} \sim M c^2\frac{\hbar G / c^3}{r_g^2} = M c^2\left(\frac{l_P}{r_g}\right)^{2}, \]где величину размерности длины \(\sqrt{\hbar G/c^3}\) мы обозначили как \(l_P\). Этот параметр также называют планковской длиной; ее значение численно равно \(l_P\sim 1{,}6\cdot 10^{-33}\) см.
Ту же формулу можно переписать в более удобном для подсчетов виде:
\[ k_{\rm B} T_{\rm H} \sim \frac{c^3\hbar}{GM}. \]Заметим, что чем более массивна черная дыра, тем меньше ее температура. Интуитивно это можно понять, вспомнив, что «ускорение» в классическом смысле вблизи горизонта событий также падает с массой \(GM/r_g^2 = c^4 / GM\).
У черной дыры в 10 солнечных масс температура примерно \(1{,}3\cdot 10^{-11}\) эВ, или \(1{,}5\cdot 10^{-7}\) К. Для сверхмассивных черных дыр это значение в миллионы и миллиарды раз меньше. Это, конечно же, напрочь убивает все надежды экспериментально измерить эту температуру для какой-либо из известных нам черных дыр.
Из работ Хокинга 70-х годов (например, S. W. Hawking, 1975. Particle creation by black holes) мы знаем, что эта температура на самом деле соответствует некоторому эффективному «излучению» черной дыры, энергия (и масса) которой, соответственно, будет ей уноситься. Чтобы найти светимость излучения Хокинга черных дыр, достаточно воспользоваться законом Стефана — Больцмана:
\[ L_{\rm H} \sim \sigma T_{\rm H}^4 r_g^2 = \frac{c^6 \hbar}{G^2 M^2}. \]Таким образом, как бы странно это ни звучало, чем менее массивна черная дыра, тем больше ее полная светимость. Для типичной черной дыры звездных масс (10 масс Солнца) светимость равна \(4\cdot 10^{-19}\) эрг/с. Такую светимость будет тяжело измерить даже если подлететь предельно близко к горизонту.
Энергия излучения не может браться из неоткуда, и на самом деле из-за излучения Хокинга черная дыра будет постепенно терять энергию, а, следовательно, и массу. Легко оценить характерное время испарения черной дыры:
\[ t_{\rm H} \sim \frac{M c^2}{L_{\rm H}} = \frac{G^2 M^3}{c^4 \hbar}. \]Как нетрудно догадаться, для стандартных черных дыр это время составляет \(10^{66}\) лет и больше, что на много порядков больше, чем время жизни Вселенной. Иными словами, для обычных черных дыр (и даже для фантастических «карликовых» черных дыр с планетной массой) излучение Хокинга невозможно измерить технически и ее влияние на саму черную дыру ничтожно мало.
Послесловие
На рис. 1 показаны характерные времена «испарения» из полученных в решении классических оценок для черных дыр различных масс (вплоть до массы Солнца). Все черные дыры с массами более 1018 г (тяжелее горы Эверест) испаряются дольше чем прошло времени с Большого взрыва. Черные дыры легче объектов, с которыми мы обычно взаимодействуем в повседневной жизни (массы, которых, как правило имеют порядок килограмма), испаряются быстрее, чем длятся самые короткие аттосекундные лазерные импульсы (см. Электроны на службе аттофизики). Но о самых легких черных дырах — чуть ниже.
ОТО и квантовая механика перестают работать на масштабах времени Планка — 10−43 секунд. Черная дыра, время испарения которой сопоставимо с планковским временем, будет иметь вполне себе макроскопическую массу примерно 20 микрограмм. Это лишь немного легче, чем характерная масса одного человеческого волоса. Эту массу называют, как не трудно догадаться, массой Планка. В единицах энергии (\(mc^2\)) она равна примерно 1019 ГэВ.
Для сравнения, энергии, которых можно достичь на современных коллайдерах частиц (при столкновении протонных пучков), имеют порядок 105 ГэВ. Иными словами, если наши рассуждения верны, то создание даже микроскопических черных дыр из квантовых флуктуаций в лабораторных условиях абсолютно исключено. Но это если наши рассуждения верны...
Некоторые теории объединения (к примеру, теория струн) постулируют существование дополнительных измерений в пространстве, которые пока еще непонятным образом отличаются по масштабу от четырех известных нам. В таких необычных пространствах, из-за модификации гравитационной постоянной Ньютона на малых масштабах, минимальная масса черной дыры (масса Планка) может быть порядка ТэВ (I. Antoniadis et al., 1998. New Dimensions at a Millimeter to a Fermi and Superstrings at a TeV), что вполне себе позволит «увидеть» их распад, скажем, в Большом адронном коллайдере. Более того, космические лучи, наполняющие Космос повсеместно и взаимодействующие как с атмосферой Земли, так и с остальными объектами Вселенной, достигают энергий в несколько сотен ЭэВ (1 ЭэВ = 1018 эВ). По состоянию на конец 2020 года никаких признаков генерации и распада черных дыр даже на таких фантастических масштабах энергии не наблюдалось.
Но испаряются ли самые легкие черные дыры на самом деле? Дело в том, что наша Вселенная везде, даже в самых темных и далеких от материи уголках (например, в центре войдов) заполнена фотонами, которые отделились от материи в период рекомбинации — космическим микроволновым фоном. Это излучение с высокой точностью совпадает с излучением абсолютно черного тела с температурой примерно 2,7 К, что соответствует адиабатическому охлаждению горячих фотонов с температурой несколько тысяч К за 13,5 млрд лет из-за расширения Вселенной. В противовес излучению Хокинга, которое постепенно испаряет черную дыру, космический микроволновой фон будет постоянно «кормить» ее, добавляя массу. Нетрудно догадаться, что когда испарение черной дыры и микроволновый фон находятся в термодинамическом равновесии (то есть температуры равны), испарение будет скомпенсировано, и масса черной дыры не будет меняться, делая черную дыру стабильной.
Масса такой стабильной черной дыры равна 1024 кг — это, между прочим, примерно равно 1/5 массы Земли! Более легкие черные дыры будут «кормиться» фоновым излучением, но темп их испарения будет все равно быстрее, тогда как более тяжелые, наоборот, будут наращивать свою массу. Это все верно, конечно же, в предположении, что температура космического фона постоянна во времени, что, вообще говоря, не так, из-за нынешнего расширения Вселенной.
Черные дыры с массами порядка земной в последнее время получили внимание благодаря предсказанию существования девятой планеты в Солнечной системе (см. K. Batygin et al., 2019. The planet nine hypothesis). В частности, некоторые авторы спекулируют на тему возможности, что девятая планета — это на самом деле черная дыра массой в несколько масс Земли и радиусом горизонта в несколько сантиметров, возникшая в ранней Вселенной (J. Scholtz, J. Unwin, 2020. What If Planet 9 Is a Primordial Black Hole?).
Рис. 2. Черная дыра с массой, равной 5 массам Земли, примерно в натуральную величину (точность размера зависит от разрешения и размера вашего экрана). По расчетам радиус ее горизонта событий составляет 4,5 см. Рисунок из статьи J. Scholtz, J. Unwin, 2020. What If Planet 9 Is a Primordial Black Hole?
Несмотря на то, что температура Хокинга такой черной дыры будет составлять всего 0,004 К, авторы оставляют теоретическую возможность «увидеть» эту черную дыру из-за аннигиляции массивных частиц темной материи в плотном гало, притянутом дырой на себя. Это излучение, если оно существует, можно будет пытаться детектировать с помощью гамма-телескопов (типа Fermi) на энергиях в несколько сотен ГэВ. Однако пока открытым остается вопрос о сечении (вероятности) аннигиляции гипотетических частиц темной материи, которое нам неизвестно, и которое определяет, насколько интенсивно будет проходить аннигиляция, и насколько ярким будет сигнал в гамма-диапазоне.
-
"Масса такой стабильной черной дыры равна 10^24 кг — это, между прочим, примерно равно 1/5 массы Земли! Более легкие черные дыры будут «кормиться» фоновым излучением и увеличивать массу, тогда как более тяжелые, наоборот, будут испаряться."
Может наоборот? Лёгкие будут испаряться, а тяжелые — наращивать массу.
Последние задачи
Рис. 1. Характерное время испарения классической черной дыры в зависимости от ее массы. Значками обозначены: ⊕ — Земля, ☉ — Солнце