Эффективность в баскетболе

В баскетболе, особенно в американской лиге НБА, за последние годы очень сильно выросла роль аналитиков. Эти специалисты на основе статистических данных формулируют стратегии, которые помогают командам как в выборе новых игроков на драфте, так и во время игр — путем подбора оптимальной тактики против очередного соперника. Пионером серьезного использования аналитики в управлении командой и ее игрой стал Дэрил Моури (Daryl Morey), до недавнего времени бывший генеральным менеджером команды «Хьюстон Рокетс» (Houston Rockets), а ныне ставший президентом клуба «Филадельфия Севенти Сиксерс» (Philadelphia 76ers).

К 2015 году аналитический подход обрел колоссальные масштабы, фактически изменив американский баскетбол до неузнаваемости. Яркий пример торжества аналитики — революция трехочкового броска и практически полное исчезновение неэффективных бросков со средней дистанции (рис. 1).

Рис. 1. Распределение бросков с игры в НБА в сезонах 1997–1998 годов (слева) и 2019–2020 годов

Рис. 1. Распределение бросков с игры в НБА в сезонах 1997–1998 годов (слева) и 2019–2020 годов. Двухочковые броски со средней дистанции сейчас практически не совершаются — баскетболисты предпочитают выполнять более эффективные трехочковые броски из-за дуги. Штрафные броски и броски из-под кольца не показаны. Рисунок с сайта espn.com

В этой задаче мы рассмотрим очень простой пример математической оптимизации тактики команды, который приводит к контринтуитивным результатам.

Самым очевидным показателем эффективности игрока в атаке является процент его попаданий (FG, field goals percentage): число успешных попаданий, поделенное на число попыток. Проблема в том, что этот показатель неточный и может сильно искажать реальную картину, что видно из следующего примера. Допустим, что игрок А выполняет только простые двухочковые броски с FG = 50%, а игрок Б — только трехочковые с FG = 35%. Тогда игрок А в среднем за один свой бросок будет приносить команде 2·0,5 = 1 очко, а игрок Б — 3·0,35 = 1,05 очка. Это значит, что хотя у игрока Б показатель FG заметно хуже, чем у игрока А, каждый его бросок полезнее для команды.

Мы будем пользоваться модификацией показателя FG, в которой учитывается «цена» каждого броска, — TS (true shooting percentage). Напомним, что по современным правилам баскетбола успешные штрафные броски (которые выполняются с линии штрафных без сопротивления) приносят команде 1 очко, а «стоимость» двухочковых и трехочковых ясна из их названия. Если бы в баскетболе все броски «стоили» одинаковое количество очков, то, показатель TS тоже отражал бы долю успешных бросков. Есть разные подходы к определению показателя TS, но для нашей задачи конкретное определение TS не важно.

Задача

Представьте, что вы тренер команды, в которой есть доминирующий в атаке игрок с самым высоким показателем TS. Допустим, что этот игрок действительно успешно совершает TS% попыток вне зависимости от того, сколько он бросает за игру. Можно считать, что за одну игру у вашей команды будет 90 бросков по кольцу соперника (для простоты предположим, что все они двухочковые). Какой будет оптимальная тактика вашей команды — как именно следует распределить броски среди игроков вашей команды?

В реальности все, конечно же, гораздо сложнее. В баскетболе, особенно для лидеров — игроков, первичной задачей которых является набор очков, наблюдается «западение» кривой мастерства (skill curve). Этот эффект проявляется в том, что статистически, чем больше игрок используется в атаке командой, тем меньше процент его попаданий. Используемость игрока командой в атаке легко оценить простым показателем USG (usage percentage), который показывает долю бросков данного игрока от всех бросков его команды. На рис. 2 изображены кривые мастерства трех игроков — Рэя Аллена, Кевина Дюранта и Леброна Джеймса. Из графиков видно, что, например, когда на пике своей карьеры Рэй Аллен выполнял почти треть бросков команды, его эффективность была около 55%, а позже, когда он выполнял лишь пятую часть бросков, она выросла до 62%.

Рис. 2. Кривые мастерства Рэя Аллена, Кевина Дюранта и Леброна Джеймса

Рис. 2. Кривые мастерства Рэя Аллена, Кевина Дюранта и Леброна Джеймса. Каждая точка соответствует одному сезону. Серыми пунктирными линиями показаны линейные приближения реальных данных. Как видно, все три линии идут вниз при повышении USG. Данные взяты с сайта basketball-reference.com

Связан этот эффект с разными факторами. Чем больше игрок играет на паркете, тем больше он устает, тем лучше защита противоположной команды адаптируется к его игре и т. д. Допустим, что лучший игрок вашей команды тоже подвержен этому эффекту. Какой тогда должна быть самая эффективная тактика для команды? Пусть у всех остальных игроков вашей команды TS = 50%. Какую долю от всех бросков должен совершать Рэй Аллен в такой команде? Может ли быть так, что если посадить на скамью лучшего игрока команды, то она в среднем будет играть лучше?


Подсказка

Какую величину команда должна попытаться максимизировать при разных распределениях бросков между игроками?


Решение

Сперва рассмотрим простейший пример. Пусть в команде один игрок — скажем, Рэй Аллен — имеет показатель эффективности атаки TS = 60% при любом количестве попыток, а у остальных игроков TS = 50%. Ясно, что в этой ситуации наиболее эффективная тактика заключается в том, чтобы Рэй Аллен бросал абсолютно все броски, ведь он попадает с большей вероятностью. Такая команда в среднем будет набирать 2·0,6·90 = 108 очков за игру (2 очка за попытку, вероятность успеха броска 0,6, а в условии предполагалось, что у команды в среднем 90 попыток за игру).

Но как мы видели (см. рис. 2) в реальности, чем больше игроки бросают, тем меньше их эффективность. Для Рэя Аллена кривая мастерства примерно описывается равенством TS = −0,45 USG + 70,1%. Это означает, что если не поменять тактику и по-прежнему отдавать Рэю Аллену бросать все броски, то его эффективность упадет до TS = 25,1% (это значение получается, если подставить в предыдущую формулу USG = 100%), а команда за игру будет в среднем набирать смешные 2·0,25·90 = 45 очков. Самым тривиальным решением, до которого может додуматься даже тренер, не знающий математики, — будет такое: отдавать Рэю Аллену броски до тех пор, пока его эффективность не сравняется со средней эффективностью остальной команды (то есть не станет равной 50%). Легко проверить, что происходит это, если Аллен бросает примерно 45% от всех бросков. Тогда команда будет в среднем набирать по 2·0,5·90 = 90 очков за игру.

Такая стратегия, когда игроки «подстраиваются» под «кривые мастерства» друг друга, распределяя броски так, чтобы уравнять свою эффективность, в теории игр называется равновесием Нэша (в честь американского математика Джона Нэша) или «недальновидной» стратегией. Игроки, по сути, пытаются уравнять индивидуальную эффективность, вместо того чтобы пытаться максимизировать некоторую общую выгоду.

Давайте посмотрим, каким образом команда как целое может играть лучше. Обозначим через \(x\) долю всех бросков команды, которые, следуя тактике команды, достаются Аллену (это его USG%). Величина, которую команда будет стремиться максимизировать, — количество набранных очков. Если не учитывать кривую мастерства, то TS Аллена всегда равен 60%, а число очков за попытку в среднем для команды равняется

\[\textrm{PTS}(x) = 2\cdot (0{,}6 x + 0{,}5 (1- x)), \]

где 2 — это количество очков за один успешный бросок, 0,6 и 0,5 — эффективности бросков Аллена и остальной команды. Функция \(\textrm{PTS}(x)\) получается линейной, и отсюда мы видим уже известный нам результат: максимально эффективной является стратегия \(x=1\) — лучший игрок бросает всё.

Теперь подставим вместо постоянной эффективности Аллена его кривую мастерства:

\[ \textrm{PTS}(x) = 2\cdot (( -0{,}45 x + 0{,}7) x + 0{,}5 (1- x)). \]

Здесь зависимость уже квадратичная. Соответствующая парабола показана на рис. 3. Сразу можно заметить две вещи. «Недальновидная» стратегия, которая на самом деле является равновесием по Нэшу для данной задачи, является такой же по эффективности, как если бы Рэй Аллен не играл вообще. Это логично: если лучший игрок играет так же эффективно, как и средний игрок в команде, то команда, по сути, играет без лучшего игрока. А вот лучшее решение, которое может принять тренер в данной ситуации, заключается в том, что надо довольно сильно ограничить своего лучшего игрока в бросках!

Рис. 3. Эффективность игры всей команды

Рис. 3. Эффективность игры всей команды (среднее число очков за попытку) в зависимости от доли общих попыток лучшего игрока (с учетом его кривой мастерства)

По графику легко увидеть эту оптимальную стратегию, она соответствует максимуму параболы. В нашем случае для эффективной игры Рэй Аллен должен совершать примерно 22% бросков всей команды — примерно столько же, сколько каждый другой игрок команды! При этом в среднем за попытку команда будет набирать 1,04 очка (вместо 1,00 для «недальновидной» стратегии). Разница может показаться незначительной, но при нынешнем темпе игры (~105 попыток за игру) она выливается в 4–5 очков за игру. Когда исход зачастую решается разницей в одно очко, это может сыграть ключевую роль. Разницу между равновесием по Нэшу («недальновидной» стратегией) и оптимальной стратегией в теории игр часто называют «ценой анархии».


Послесловие

Еще менее интуитивен следующий вывод. Если в течение сезона Рэй Аллен совершал, скажем, 50% бросков всей команды, а в середине сезона он травмировался, то после этого команда в среднем начнет играть лучше в атаке. В баскетболе этот эффект был известен, пусть и качественно, задолго до появления и распространения аналитического подхода к игре. Одним из первых этот эффекта упомянул в конце 90-х спортивный журналист Билл Симмонс (Bill Simmons), тогда работавший в ESPN. Он назвал его «теорией Юинга» в честь звездного центрового «Нью-Йорк Никс» Патрика Юинга. В финале Восточной конференции плей-офф НБА 1999 года с «Индиана Пэйсерс» Юинг, бывший тогда лучшим игроком «Никс», получил страшнейшую травму во второй игре серии (финальная серия конференции играется до четырех побед). Счет после второй игры стал 1-1. После травмы Юинга ни у кого не оставалось сомнений, что «Никс» пролетят в следующих трех играх, уступив «Индиане», уверенно идущей вперед во главе с Реджи Миллером. Однако, вопреки ожиданиям, «Никс» без Юинга чудом выиграли три из четырех следующих игр и вышли в финал НБА!

Победа «Никс» в финале Востока без Юинга, на самом деле, не имела ничего общего с эффектом, описанным в этой задаче, так как 36-летний центровой (это довольно серьезный возраст для НБА, особенно в те годы) к тому моменту уже не был самым используемым игроком «Никс» в атаке. Тем не менее, этот удивительный эффект, когда без своего лучшего игрока команда играет лучше, в жаргоне спортивной аналитики до сих пор называют «теорией Юинга». Впервые математическое обоснование эта «теория» получила в 2010-х годах в статье Брайана Скиннера The price of anarchy in basketball («Цена анархии в баскетболе»).

В теории транспортных потоков аналогичный эффект известен как парадокс Браеса. Задача оптимизации движения транспорта по дорогам с различной пропускной способностью во многом схожа с поиском наиболее эффективной командной игры в баскетболе. Используемость дорог аналогична используемости игрока в атаке, пропускная способность (среднее время, за которое дорогу можно проехать при данной загруженности) — эффективности игрока, а среднее время, которое тратят водители при данной загруженности дорог, — общему числу очков на команду.

Представьте ситуацию, в которой города A и B соединены двумя дорогами: длинным широким шоссе, путь по которому занимает 1 час вне зависимости от его загруженности, и проселочной дорогой, путь по которой составляет 30 минут при нулевой загруженности, а каждая дополнительная машина на ней добавляет к времени пути по минуте (рис. 4).

Рис. 4. Два города связаны двумя дорогами

Рис. 4. Два города связаны двумя дорогами с различной вместительностью. Шоссе длиннее, но при этом может вместить всех желающих, а на проселочной дороге скорость движения зависит от ее загруженности

Пусть 100 машин одновременно пытаются проехать из А в B. Если все машины проедут по шоссе, то все доедут за 1 час (это аналогично тому, что лучший игрок команды не играет совсем). Если же все выберут проселочную дорогу, то каждая будет ехать 130 минут (это аналогично тому, что все броски совершает лучший игрок в команде).

В идеальной ситуации, когда водитель заранее знает загруженность дорог (благодаря навигатору) и может принять решение до поездки, будет происходить следующее. Водители будут выбирать проселочную дорогу до тех пор, пока путь по ней занимает меньше, чем по шоссе. В итоге 30 машин поедут по проселочной дороге, а 70 — по шоссе, и все они будут ехать около часа. Столько же времени дорога бы заняла, если бы все поехали по шоссе. Это и есть равновесие Нэша в этой ситуации: никому не выгодно менять маршрут, потому что он из-за этого может только проиграть по времени. И это равновесие полностью аналогично «недальновидной» баскетбольной стратегии. На самом деле, пусть эта ситуация и кажется чересчур упрощенной, именно она и реализуется в реальных автомобильных потоках, особенно сейчас, когда навигаторы сами могут предлагать наиболее выгодные маршруты, и предлагать альтернативные пути, если они быстрее.

Проблема здесь в том, что, хотя маршрут выгоден каждому отдельному водителю, это не значит, что сложившийся в результате транспортный поток будет самым оптимальным. Легко найти «более оптимальную» конфигурацию потока, в которой в среднем для всех машин дорога будет занимать меньшее время: достаточно пустить на проселочную дорогу меньше 30 машин. Тогда для тех, поедет по шоссе, ничего не изменится, а те, кто поедет по проселку, выиграют во времени. В итоге среднее время в пути снизится. Если пустить на проселок всего 15 машин, то среднее время пути уменьшится на несколько минут. В задаче Новые дороги и вечные пробки парадокс Браеса разбирался подробно. В частности, там было показано, что в некоторых ситуациях открытие новых хороших дорог может приводить к увеличению среднего времени в пути для всех участников движения.


2
Показать комментарии (2)
Свернуть комментарии (2)

  • Individ  | 09.12.2020 | 09:13 Ответить
    Да уж. Если было бы всё так просто. То есть две команды играют и сама игра есть цепочка случайных событий, но увы эти события не случайные.
    То есть заранее можно сказать кто и как будет играть. Как команда сыграла в первой и второй четверти... определяет её дальнейшую игру. Прежде чем решать эту задачку стоит посмотреть на ставки тотализаторов. Они довольно хорошо угадывают дальнейший ход игры.
    Если например команда выиграла первые две четверти с разницей в 20 очков... практически с большой уверенностью можно сказать, что следующие две четверти она с такой разницей не выиграет... да и вообще может вторую половину проиграть. Чем больше забьёт на каком то интервале... тем меньше забьёт на другом.
    Реальная игра квазислучайна. То есть надо смотреть на то как идёт игра и по ходу игры можно менять вероятности тех или иных событий. Это взаимно зависимые события. Например команда сыграла две первые четверти просто замечательно... тогда, что плохо сыграет третью вероятность резко увеличивается.
    Тут играет большую роль психология чем теория вероятности.
    Ответить
    • haykh > Individ | 09.12.2020 | 22:03 Ответить
      Спасибо, что объяснили мне, как работает баскетбол!
      Ответить
Написать комментарий
Элементы

© 2005–2025 «Элементы»