Квадраты и параболы

Вам пригодятся формула для суммы первых N натуральных чисел (см., например, задачу Суммы квадратов, суммы кубов...) и умение находить площадь сегмента параболы (для этого достаточно уметь брать интеграл квадратичной функции).

а) Сначала докажем, что вершины этих квадратов лежат на параболе. Пусть квадраты «нанизаны» на ось Оу координатной плоскости. Рассмотрим \(n\)-ый по счету квадрат и обозначим через \(M(x,\ y)\) его правую вершину (рис. 2, слева). Тогда несложно понять, что координаты этой вершины выражаются через число \(n\) следующим образом:

Из первого равенства выражаем \(n=x\sqrt2\) и, подставляя во второе, получаем, что \(y=\sqrt2x^2\). Поскольку здесь никакой зависимости от номера квадрата (и от чего либо еще, кроме абсциссы точки) нет, заключаем, что вершины квадратов лежат на параболе, задаваемой уравнением \(y=\sqrt2x^2\) (ведь для левых вершин все точно так же).

Рис. 2.

б) Теперь разберемся с площадями. Пусть CD — горизонтальная диагональ k-го квадрата. Рассматорим сегмент, который эта диагональ отрезает от параболы \(y=\sqrt2x^2\) (рис. 2, справа). Его площадь \(S_k\) найдем как разность между площадями прямоугольника ABCD и криволинейной трапеции ABCОD.

Имеем \(CD=k\sqrt2\), \(AD=ON=\frac{\sqrt2}{2}k^2\), поэтому площадь прямоугольника \(ABCD\) равна:

Площадь криволинейной трапеции ABCОD найдем с помощью интеграла:

Откуда

В этот сегмент попадают \(k-1\) первых квадратов и половина \(k\)-го квадрата, поэтому суммарная площадь квадратов, оказавшихся внутри сегмента, равна:

Здесь мы воспользовались формулой для суммы квадратов натуральных чисел. О ней можно почитать, например, в задаче Суммы квадратов, суммы кубов....

Осталось найти предел \(\displaystyle\lim_{k\to+\infty}\frac{Q_k}{S_k}\):

Это означает, что чем больше номер квадрата, тем ближе к половине площади сегмента параболы площадь, занимаемая квадратами в нем.

Итак, «нанизывая» квадраты со сторонами 1, 2, 3, ... на прямую в условиях нашей задачи, мы получили параболу \(y=\sqrt2x^2\). Ясно, что если «нанизывать» квадраты со сторонами \(\sqrt1,\ \sqrt2,\ \ldots\), то получится парабола \(y=x^2\). Вообще, квадраты со сторонами \(\frac{\sqrt{2}}{a}\), \(\frac{2\sqrt{2}}{a}\), \(\frac{3\sqrt{2}}{a}\), ... своими вершинами определяют параболу \(y=ax^2\). Рассуждая так же, как в решении, и проделав такие же выкладки, можно показать, что при неограниченном увеличении числа \(k\) множество этих квадратов стремится занять половину площади соответствующего сегмента параболы \(y=ax^2\).

Можно пойти в другом направлении, а именно — рассмотреть параболы более высоких степеней \(y=x^n\), где \(n\) — четное число. На рис. 3 показаны такие параболы при различных значениях \(n\), заполненные соответствующими последовательностями квадратов. В каждой из этих последовательностей первый квадрат всегда один и тот же и имеет размеры \(\sqrt2\times\sqrt2\), потому что парабола \(y=x^n\) при любом значении \(n\) проходит через точку (1; 1).

Рис. 3.

Множество этих квадратов, вписанных в каждую параболу n-й степени (при четном n) по рассмотренной в задаче схеме, тоже занимает половину площади соответствующего сегмента параболы.

При \(n=2\) этот факт мы доказали выше. В предельном случае (рис. 3, справа) ветви параболы будут практически вертикальны, и любой сегмент параболы будет мало отличаться от прямоугольника, а вписанные квадраты будут практически равны, поэтому отношение суммарной площади квадратов к площади соответствующего сегмента в пределе также стремится к \(\frac12\).

Для четных \(n\ge4\) на первый взгляд тоже кажется, что можно провести рассуждения как в решении, но при реализации этого подхода возникают трудности с громоздкими преобразованиями, затрудняющие доведение рассуждений и выкладок до логического завершения. Обосновать, что и в этих случаях квадраты занимают половину площади соответствующего сегмента параболы, помогут следующие геометрические соображения.

Рис. 4.

Рассмотрим слой параболы, заключенный между параллельными диагоналями двух соседних квадратов. Его можно назвать криволинейной трапецией, у которой боковые стороны — куски параболы (рис. 4).

При неограниченном увеличении \(n\) боковые стороны становятся все вертикальней, и трапеция \(MNKF\) по форме все ближе к квадрату, поэтому доля, занимаемая половинками двух квадратов на каждом следующем «этаже», приближается к половине, а это указывает на то, что и суммарная площадь всех квадратов стремится к половине площади соответствующего сегмента параболы. Но, опять же, эти рассуждения совсем не строгие.

Добавим, что это утверждение справедливо для степенных функций и при нечетном \(n\), если степень \(x^n\) взять по модулю.

Рассмотрим теперь замощение полуплоскости косыми рядами квадратов, продолжающими последовательность «нанизанных» на ось Oy квадратов из условия задачи как показано на рис. 5. Первый ряд состоит из квадратов со стороной 1, второй ряд состоит из квадратов со стороной 2, и так далее. Оказывается, у каждого из квадратов в каждом из таких рядов по две вершины лежат на параболах из семейства, задаваемого формулой \(y=\frac{\sqrt2}{n^2}x^2+\frac{n-1}{n}x\), где \(n\) — номер параболы (убедиться в том, что это действительно так — неплохая задача!).

Рис. 5.