Кратчайшие пути и гипотеза Пуанкаре (окончание)

Владимир Протасов
«Квант» №1, 2021

Окончание. Начало читайте в «Кванте» №11–12, 2020.

Построенный нами «детский» пример четвертой геодезической на поверхности эллипсоида (рис. 8) опровергает крупнейшее заблуждение, связанное с гипотезой Пуанкаре. На эллипсоиде с разными длинами осей может быть больше геодезических, а значит, и саму «гипотезу о трех геодезических» следовало, видимо, формулировать по-другому. Этого не заметили ни Пуанкаре, ни Гильберт, ни Урысон. Да и не только они. Вот, например, что писал Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987), крупнейший российский математик:

«Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что по крайней мере тремя различными способами растянутое резиновое колечко можно надеть на наш камень так, что оно, стремясь сократить свою длину, не будет соскальзывать (т.е. так, что его длину нельзя уменьшить при маленьком сдвиге в сторону на небольшом участке). При этом рассматриваются только расположения резинового колечка без самопересечений (например, не имеющие вида восьмерки). На поверхности шара таких расположений колечка бесконечно много (по любому „большому кругу“), на трехосном эллипсоиде ровно три (по трем главным сечениям) (выделено мной — В.П.)».

Рис. 8. Неплоские геодезические на эллипсоиде — красная и синяя линии

И снова «ровно три»! А ведь подсказать идею примера было бы по силу младшему школьнику. Получается, что даже на школьном уровне вполне можно сделать важное для современной науки открытие. Конечно, этот случай — исключение. Тем не менее, для исследования геодезических иногда хватает элементарной геометрии. Например, для геодезических на поверхности многогранников.

Геодезические на многогранниках

«А что такого нового можно сказать о многогранниках? — спросите вы. — Это ведь тоже выпуклые поверхности, значит, все, сказанное нами ранее, должно быть верно и для них». Не совсем. Поверхности многогранников негладкие — на них есть вершины и ребра. Эта «мелочь» в данном случае приводит к драматическим последствиям. На некоторых многогранниках геодезических нет вовсе (ни одной!). Так что ни метод Люстерника-Шнирельмана, ни теорема Фрэнкса — Бангерта на многогранники не распространяются. Но зато в данном случае геодезические имеют очень простое, «школьное» описание. Выходит, можно будет строить их и получать про них разные результаты, не применяя высшую математику. Попробуем? Мы увидим, что на некоторых многогранниках геодезических бесконечно много. Более того, на правильном тетраэдре существуют сколь угодно длинные геодезические. Тем самым, на тетраэдр с ребром 1 см можно намотать (без самопересечений!) замкнутую геодезическую длиной, например, 100 км. Но не будем забегать вперед.

Все результаты о существовании замкнутых геодезических на гладких поверхностях — теоретические, их доказательства — не конструктивны: рецептов построения не дают. Можно находить периодические решения уравнений Эйлера-Лагранжа, но это сложно. А главная проблема — эта задача неустойчива, т.е. малое изменение данных влечет сильное изменение решения. Это может вызвать значительные неприятности при численном нахождении решения на компьютере. А что если приблизить гладкую поверхность многогранником (с очень большим числом граней) и построить геодезическую на нем? Хорошая идея!² Значит, надо научиться строить замкнутые геодезические на многогранниках.

Как определить геодезические на поверхности многогранника? Во-первых, на каждой грани геодезическая должна быть отрезком прямой, поскольку на плоскости есть только одна локально-кратчайшая линия — прямая. Поэтому любая геодезическая на многограннике — это ломаная с вершинами на ребрах. Чтобы не путать вершины многогранника и вершины ломаной, договоримся последние называть узлами. Два соседних звена геодезической ломаной должны лежать на разных гранях. Если это не так и, скажем, ребра AB и BC лежат на одной грани, то возьмем на этих звеньях точки A₁ и C₁ соответственно, очень близко к точке B (рис. 9, а). Из определения геодезической, ломаная A₁BC₁ должна быть кратчайшим путем, связывающим точки A₁ и C₁, что, естественно, неправда: кратчайшим путем является отрезок A₁C₁. Итак, звенья AB и BC лежат в разных гранях. Развернем две эти грани на плоскость. Вновь воспользуемся локально-кратчайшим свойством в точке B и получим, что отрезки AB и BC после развертки должны оказаться на одной прямой. Иначе путь A₁BC₁опять можно заменить на более короткий — на отрезок A₁C₁ (рис. 9, б), а затем положить развертку обратно на поверхность многогранника. Таким образом, на развертке соседние звенья геодезической оказываются на одной прямой, или, что то же самое, два соседних звена геодезической образуют равные углы с ребром, которое они пересекают. Угол, под которым геодезическая входит в ребро, равен углу, под которым она выходит. Это свойство естественно назвать оптическим — «угол падения равен углу отражения».

Рис. 9. Оптическое свойство геодезической

Наконец, геодезическая не может проходить через вершины многогранника. А это почему? Все по той же причине. Предположим, что узел B оказался в вершине. Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника меньше 360°. Ломаная ABC разрезает плоские углы при вершине B на две части. Хотя бы в одной из них сумма углов будет меньше 180°. Сделаем развертку этих углов на плоскость. После развертки угол ABC будет меньше 180°. Тогда вновь получаем, что путь A₁BC не является кратчайшим — его можно заменить на отрезок A₁C₁, а затем положить развертку обратно на поверхность многогранника (рис. 10). Итак, геодезическая является ломаной, не проходящей через вершины многогранника, в каждом узле которой выполняется оптическое свойство — углы, образуемые соседними звеньями с ребром, равны. Понятно, что этого и достаточно: любая ломаная с такими свойствами является локально-кратчайшей линией. Действительно, в каждой внутренней точке звена она является локально кратчайшей, потому что является прямой, а в узле она является локально-кратчайшей из-за оптического свойства. Мы доказали важное утверждение, хотя и простое (на теорему не тянет), поэтому назовем его предложением:

Предложение 1. Замкнутая линия на поверхности многогранника является геодезической тогда и только тогда, когда это ломаная с узлами на ребрах, не проходящая через вершины многогранника, и в каждом узле выполнено оптическое свойство.

Рис. 10. Геодезическая не проходит через вершину

Для незамкнутой геодезической это тоже выполнено, с одной лишь оговоркой, что она может начинаться или заканчиваться в вершине. Вернемся к замкнутым геодезическим. Если развернуть две соседние грани на плоскость, то проходящие по ним звенья геодезической окажутся на одной прямой. Возьмем произвольный узел геодезической A и начнем последовательно разворачивать грани при обходе геодезической, пока не попадем в ту же точку A (вторую точку на развертке обозначим A'; рис. 11). Вся геодезическая превратилась в отрезок AA'. При этом углы, отмеченные на рисунке, равные в силу оптического свойства, стали соответствующими углами при секущей AA'. Значит, отрезки MN и M'N', изображающие одно и то же ребро, параллельны. Мы доказали еще одно свойство, которое можно считать еще одним (уже третьим!) определением геодезической на многограннике:

Рис. 11. Геодезическая распрямляется на развертке

Предложение 2. Замкнутая линия на поверхности многогранника является геодезической тогда и только тогда, когда после развертки граней вдоль этой линии она становится отрезком, соединяющим две точки на параллельных отрезках, которые изображают одно и то же ребро, а данные две точки изображают одну точку на этом ребре.

Надо уточнить, что отрезки, изображающие одно ребро, должны быть не просто параллельны, но одинаково ориентированы, т.е. векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{M'N'}\) должны быть равны (см. рис. 11).

Заметим, что на развертке одна и та же грань может появиться несколько раз. Это происходит, если геодезическая несколько раз ее пересекает. Наконец, мы совершенно не обязаны обходить геодезическую один раз, мы можем бесконечно обходить ее по кругу. При этом на развертке мы получим прямую линию (либо луч, если наш путь имеет начало), пересекающую периодически повторяющуюся последовательность граней.

Прежде чем начать строить геодезические, отметим одно интересное следствие предложения 2. Оно настолько важное, что мы объявим его теоремой.

Теорема 2. Если у многогранника есть одна замкнутая геодезическая, то у него есть и бесконечное семейство замкнутых геодезических. Все они изоморфны (т.е. пересекают одни и те же ребра в одинаковой последовательности) и имеют одинаковую длину.

Доказательство. Сделаем развертку, при которой геодезическая перейдет в отрезок AA' (см. рис. 11). Его концы лежат на параллельных отрезках MN и M'N', изображающих одно ребро. Поскольку геодезическая не проходит через вершины многогранника, отрезок AA также не проходит через вершины многоугольников на развертке. Значит, можно немного подвинуть этот отрезок так, чтобы его концы по-прежнему лежали на MN и M'N' и чтобы он целиком лежал внутри развертки. Длина при этом не изменится, и новый отрезок также будет изображать геодезическую в силу предложения 2.

Итак, если есть одна геодезическая, то их бесконечно много. В этом смысле для многогранников верен аналог теоремы Фрэнкса — Бангерта о существовании бесконечного числа замкнутых геодезических. Правда, при условии, что существует хотя бы одна. Ну одну-то, наверное, мы всегда найдем? Оказывается, далеко не всегда! Виной тому теорема, доказанная в 1991 году Г. А. Гальпериным, российско-американским математиком, автором многих статей и задач в «Кванте».

Теорема 3 (Г. А. Гальперин, [7]). Если замкнутая геодезическая делит поверхность многогранника на две части, то в каждой из них сумма всех плоских углов при вершинах делится на 360°.

Теорема эта вытекает из формул Гаусса — Бонне для кривизны поверхности, известного результата дифференциальной геометрии. Доказывать ее мы не будем. Заметим только, что она дает лишь необходимые, но не достаточные условия существования геодезических. И тем не менее, из нее следует, что только у малой части многогранников геодезические существуют, у большинства их нет вовсе. Например, имеет место вот такой обескураживающий факт:

Следствие. На поверхности правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой не равно стороне основания, нет ни одной замкнутой геодезической.

Вот так! Правильная треугольная пирамида, не являющаяся правильным тетраэдром, не имеет ни одной геодезической! Если попытаться натянуть на нее резиночку, то каким бы замысловатым способом это ни сделать, она всегда сползет. Это тем более удивительно, что у правильного тетраэдра таких геодезических бесконечно много, причем неизоморфных друг другу, и среди них есть сколь угодно длинные. Но об этом позже. Сейчас мы посмотрим, как выглядят геодезические на различных многогранниках. Но прежде докажем следствие.

Доказательство следствия. Геодезическая делит поверхность пирамиды на две части, 4 вершины пирамиды должны распределиться между ними как 3:1 или 2:2. Первый случай невозможен, поскольку тогда в одной части будет одна вершина и сумма плоских улов при ней меньше 360°. Остается второй случай: в каждую часть попало по две вершины. Так как у пирамиды четыре треугольные грани, то сумма всех ее плоских углов равна 360° ∙ 2. Поэтому сумма углов в каждой части будет равна 360°. В одну из частей попадут две вершины при основании пирамиды. Сумма углов в каждой равна 2α + 60°, где α — угол при основании боковой грани. Значит, 2α + 60° = 180°, поэтому α = 60°, т.е. боковая грань — правильный треугольник, а это запрещено.

Построение геодезических на многогранниках. Для этого у нас есть два способа. Первый способ: согласно предложению 2, нужно найти подходящую развертку, в которой было бы два параллельных (и одинаково ориентированных!) отрезка, изображающих одно ребро. Затем надо взять по точке на каждом из них — A и A'. Они должны изображать одну и ту же точку на ребре, т.е., отрезки NA и N'A' должны быть равны. Теперь проводим отрезок AA''. Если он не выходит за пределы развертки, то он изображает геодезическую.

Второй способ: можно обойтись и без развертки, пользуясь предложением 1. Прикинуть, какие ребра может пересекать геодезическая (например, из физических соображений: представив, что мы натягиваем резиновое кольцо), а затем найти положение узлов, пользуясь оптическим свойством.

А есть ли геодезические? В свете теоремы 3 мы теперь не уверены, а есть ли вообще замкнутые геодезические у разных многогранников? Скажем, у куба-то они есть? Да. И у куба, и у правильного октаэдра, и у других популярных многогранников (см. упражнения 9–11). При этом, как мы знаем, каждая геодезическая порождает бесконечно много изоморфных. Для простоты мы будем отождествлять все изоморфные геодезические и будем считать только различные, т.е. неизоморфные.

Куб. Одна геодезическая очевидна — это квадратный пояс (рис. 12, а). Через вершины не проходит, оптическое свойство есть (пересекает все ребра под прямым углом). Так что это — геодезическая, и развертку рисовать не обязательно.

Рис. 12. Две геодезические на кубе

Если немного подумать, то найдется и вторая. Это правильный шестиугольник, проходящий через середины ребер (рис. 12, б). Оптическое свойство также выполнено, все углы равны 45°. Эта геодезическая (как и предыдущая) — плоская, она целиком лежит в одной плоскости. Если сдвинуть эту плоскость параллельно, получится изоморфная ей геодезическая (рис. 12, в). Это тоже шестиугольник, но уже не правильный. Он имеет тот же периметр. Мы договорились отождествлять изоморфные геодезические, поэтому данный случай не дает ничего нового.

Рис. 13. Третья геодезическая на кубе

А вот третью геодезическую на кубе найти непросто! Вот она, на рисунке 13. Она шестиугольная и неплоская! Пересекает все ребра под углами α и 90° — α, где α — угол, тангенс которого равен 2. Для удобства мы указали на рисунке длины отрезков, считая сторону куба равной 1. Две вершины проходят через середины ребер, а четыре делят их в отношении 1:3. Соответствующая развертка представлена на рисунке 14. Эту геодезическую, конечно, тоже можно шевелить, получая изоморфные. При этом углы пересечения с ребрами и периметр останутся теми же.

Рис. 14. Развертка третьей геодезической на кубе

Оказывается, что других геодезических на кубе нет — только эти три.

Правильный октаэдр. Этот многогранник, напомним, представляет собой две соединенные четырехугольные пирамиды с примыкающими основаниями. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, в каждой вершине сходятся по четыре грани.

Первую геодезическую найти просто — это шестиугольный пояс, проходящий через середины ребер (рис. 15).

Рис. 15. Геодезическая на правильном октаэдре

Сложности начинаются уже со второй геодезической. Есть ли она вообще? Да, есть. Мы оставим ее построение в виде задачи в упражнении 12. Можем сделать только одну подсказку (кто не хочет — пропустите текст до конца абзаца). Представим себе вновь аналогию с резиновым кольцом. Как надеть его на октаэдр? Не старайтесь зацепиться за две соседних вершины. Это бесполезно, резинка сползет. Почему? По теореме 3. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 60° ∙ 4 = 240°. Поэтому геодезическая не может ограничивать кусок поверхности с двумя вершинами, сумма углов 240° + 240° = 480° не делится на 360°. Та же участь постигнет того, кто попытаемся зацепить резинку за две противоположные вершины так, чтобы она не содержала внутри других вершин. А вот если она захватит еще одну вершину, то сумма углов будет 240° ∙ 3 = 720°, и все может получиться. Хотя не гарантированно — достаточных условий теорема 3 не дает.

Оказывается, что это все. У октаэдра всего две различные геодезические, и никакой третьей, как у куба, не будет. Это странно, поскольку куб и октаэдр — двойственные фигуры, т. е. центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра и наоборот. Куб имеет 8 вершин и 6 граней, а октаэдр — 8 граней и 6 вершин. Как правило, если какое-то свойство есть у куба, то оно, в некотором двойственном виде, должно повториться у октаэдра. Но у куба есть три разные геодезические, а у октаэдра почему-то две. И как объяснить этот феномен, мы не знаем.

Хаос на правильном тетраэдре

Самая удивительная картина геодезических возникает на поверхности правильного тетраэдра. Их у него бесконечно много, притом различных (неизоморфных). Число узлов может быть сколь угодно большим, а сама геодезическая — сколь угодно длинной. Например, на правильный тетраэдр с ребром 1 см. можно «намотать» геодезическую с 10 000 узлов и длиной более километра. Без самопересечений! И она не сползет! Как такое возможно? Благодаря свойству правильного тетраэдра — его разверткой можно без наложения покрыть всю плоскость.

Полная развертка правильного тетраэдра. Возьмем правильный тетраэдр ABCD и положим его на плоскость гранью ABC. Разобьем эту плоскость на равные правильные треугольники, один из которых — ABC. Получившаяся треугольная решетка называется полной разверткой правильного тетраэдра, вершины треугольников — узлы решетки. На рисунке 16 изображена полная развертка, закрашены треугольники, соответствующие грани ABC, а красным отмечены узлы, соответствующие вершине A. Теперь введем координаты на этой плоскости: A — начало координат, \(B=\left (\frac{1}{2};0 \right ), C=\left ( 0;\frac{1}{2} \right )\). Таким образом, координатные оси — прямые AB и AC, они не перпендикулярны, а образуют угол в 60°. Каждый узел решетки молено выразить в виде суммы \(n\cdot \overrightarrow{AB}+m\cdot \overrightarrow{AC}\) с целыми числами n и m. Тогда координаты узла — это \(\left ( \frac{n}{2};\frac{m}{2} \right )\). Этот узел изображает вершину A, если оба числа n и m — четные, т. е. если координаты узла — целые. Итак, все узлы решетки делятся на четыре множества. Целые узлы изображают вершину A; узлы, у которых только первая координата целая, — вершину C; у которых только вторая целая, — вершину B; наконец, если обе координаты нецелые, — вершину D.

Рис. 16. Полная развертка правильного тетраэдра

Последовательной разверткой тетраэдра на плоскость заполняется вся решетка, причем данной точке x плоскости однозначно ставится в соответствие точка на поверхности тетраэдра, независимо от порядка, в котором разворачивались грани. Прообразом точки тетраэдра является множество на развертке {±x + (n; m), где (n; m) — произвольный целый вектор}. Две точки плоскости изображают одну и ту же точку тетраэдра, если они совмещаются либо целочисленным сдвигом, либо центральной симметрией относительно узла решетки.

Геодезические на полной развертке. Если развернуть тетраэдр вдоль геодезической g (последовательно разворачиваем грани на плоскость в том порядке, как их пересекает геодезическая), то g перейдет в прямую на плоскости развертки. Прямую будем обозначать тем же символом g. Она не проходит через узлы и параллельна целому вектору. В самом деле, поскольку геодезическая замкнута, на прямой g найдутся две точки, представляющие одну точку тетраэдра. Они не могут быть симметричны относительно узла, так как g не содержит узлов, значит, вектор между этими точками — целый.

Теперь мы можем получить все замкнутые геодезические на правильном тетраэдре.

Теорема 4. Любая прямая на развертке, не проходящая через узлы и параллельная целому вектору, представляет замкнутую геодезическую на поверхности тетраэдра. Все прямые, параллельные одному вектору, представляют изоморфные геодезические с равныти длинами.

Доказательство. Пусть \(\overrightarrow{v}\) = (n; m) — данный целый вектор, прямая g ему параллельна и не проходит через узлы. C возможной перестановкой вершин, считаем, что n ≥ m ≥ 0. Если m = 0, то прямая g параллельна одной из линий решетки, в этом случае все ясно. Теперь пусть m ≥ 1. Считаем, что числа n и m взаимно просты, иначе поделим на их наибольший общий делитель, при этом направление вектора (n; m) сохранится. Если точки x и у геодезической g соответствуют одной и той же точке тетраэдра, то они либо симметричны относительно узла, либо переводятся одна в другую переносом на целый вектор. Первое невозможно (g не содержит узлов). Во втором случае вектор переноса равен r ∙ \(\overrightarrow{v}\) при каком-то целом r, поскольку координаты вектора \(\overrightarrow{v}\) взаимно просты. Взяв r = 1, получим, что вектор от точки х к точке у равен \(\overrightarrow{v}\), и все точки интервала (х; у) соответствуют разным точкам тетраэдра. Следовательно, отрезок [х; у] представляет на поверхности тетраэдра замкнутую несамопересекающуюся геодезическую, длина которой равна длине вектора \(\overrightarrow{v}\).

Осталось доказать, что геодезические, соответствующие параллельным прямым, изоморфны и имеют одинаковую длину. Среди всех прямых, параллельных g и проходящих через узлы, выберем по одной ближайшей к g в каждой полуплоскости и назовем их g₁, g₂. Возьмем пару ближайших узлов решетки K, L на g₁ (отрезок KL не содержит других узлов) и пару ближайших узлов M, N на g₂. Так как g₁ и g₂ совмещаются параллельным сдвигом решетки, то \(\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{NM}\). Таким образом, KLMN — параллелограмм, не содержащий других узлов. Значит, его вершины представляют 4 различные вершины тетраэдра, иначе середина отрезка между двумя соответствующими узлами также была бы узлом. Любую другую прямую a, параллельную g, также заключаем в полосу а₁а₂, не содержащую узлов, при этом прямые a₁, а₂ содержат образы K', L', M', N' четырех вершин тетраэдра. Подходящий целый сдвиг либо симметрия относительно узла решетки переводит полосу a₁a₂ в g₁g₂, а узел K' в K (следовательно, полная развертка переходит в себя). Поэтому можно считать, что a лежит в той же полосе g₁g₂, а значит, соответствующая геодезическая изоморфна геодезической g.

Итак, мы приходим к важнейшему выводу: каждой замкнутой геодезической однозначно ставится в соответствие пара взаимно простых чисел (n; m) (либо пара (1; 0)).

Вот так! Сколько пар чисел — столько и геодезических. Именно поэтому на правильном тетраэдре их бесконечно много. И среди них есть сколь угодно длинные. А если чуть потянуть вверх вершину тетраэдра, то все они сползут! Ведь у получившейся правильной пирамиды геодезических нет.

На полной развертке все просто — есть только прямые, параллельные целым векторам. А на самом тетраэдре?

Как выглядит каждая геодезическая на тетраэдре? Будем называть пару чисел (n; m) типом геодезической. Каждая геодезическая имеет одну и ту же картину следов на всех четырех гранях тетраэдра. Она пересекает каждую грань по n + m параллельным отрезкам. При этом одно ребро (в нашем случае AC) она пересекает в n точках, второе (AB) — в m точках, и третье (BC) — в n + m точках. На рисунке 17 мы изобразили геодезические типов (1; 0), (1; 1) и (3; 2), а также их развертки.

Рис. 17. Геодезические типов (1;0), (3;2) и (1;1) и их развертки

Геодезическая типа (n; m)  имеет по n + m узлов на каждом из двух противоположных ребер тетраэдра, по n — на каждом из противоположных ребер другой пары и по m узлов на оставшихся противоположных ребрах. Значит, всего она имеет 4 (n + m) узлов.

В случае n = 1, m = 0 геодезическая устроена просто: она является четырехугольником и пересекает последовательно две пары противоположных ребер. Оказывается, что все остальные геодезические имеют по 4 особых узла, в которых они «зацепляются» за вершины тетраэдра. Узел L геодезической называется узлом зацепления, если он и два соседних с ним узла лежат на трех ребрах, выходящих из одной вершины D тетраэдра, и являются ближайшими к D узлами на этих ребрах. При этом D называется вершиной зацепления для узла L. Так, геодезическая на рисунке 18 зацепляется за каждую вершину тетраэдра; для вершин B и C узлы зацепления это К₃ и К₁ соответственно.

Рис. 18. Геодезическая типа (2;1) зацепляется за вершину D узлом L

Теорема 5. Любая геодезическая типа (n; m), где n ≥ m ≥ 1, имеет в точности 4 узла зацепления. Они составляют две пары противоположных узлов геодезической, каждая пара разбивает ее на две части с одинаковым числом узлов. Каждая вершина тетраэдра является вершиной зацепления для одного из узлов.

Пусть а₁ и b₁ — звенья геодезической, выходящие из узла зацепления, а₂ и b₂ — следующие за ними и т. п. Тогда звенья a₁ и b₁ лежат на одной грани и между ними нет других точек геодезической.

Доказательство. Представим геодезическую g как прямую на развертке и покажем, что g зацепляется за вершину К из доказательства теоремы 4, с другими вершинами рассуждение такое же. Проведем прямую g’, симметричную g относительно точки К. Ясно, что полоса между g и g’ не содержит других узлов, кроме тех, которые лежат на g₁. (Напомним, что g₁ — это ближайшая к g параллельная прямая на развертке, которая содержит узел.) Поэтому прямые g и g’ пересекают все 6 отрезков решетки, выходящих из К, и каждая из шести точек пересечения представляет узел на геодезической, ближайший к вершине К на соответствующем ребре тетраэдра. Следовательно, геодезическая зацепляется за К. Более того, прямые g и g’ идут параллельно по треугольникам решетки (граням), пока не пересекут 6 отрезков решетки, выходящих из К.

Оказывается, вот таким способом можно получить любую из бесконечного числа геодезических на тетраэдре. Мы «натягиваем» геодезическую на трехгранный угол при вершине D, затем наматываем ее на поверхность тетраэдра, делая 2n + 2m – 1 перегибов через ребра, и зацепляем ее за вершину C. Любая геодезическая получается таким образом, при этом каждая вершина тетраэдра может быть выбрана в качестве начальной.

То же, но более строго: геодезическая зацепляется за вершину D звеньями а₁ и b₁, затем звенья а₂, b₂ идут по одной грани, встречают ребро этой грани в соседних узлах, далее а₃, b₃ идут по следующей грани и т. п., пока, наконец, геодезическая не зацепится за вершину c сторонами а_2n+2m, b_2n+2m. Геодезическая ограничивает полосу на поверхности тетраэдра парами сторон a_i, b_i.

«Понять вещи, которые не в силах вообразить»

Итак, на правильном тетраэдре есть бесконечно много типов геодезических, каждый тип соответствует паре взаимно простых целых чисел. Оказывается, это еще не все. Каждую геодезическую можно «размножить» так, чтобы она осталась несамопересекающейся.

Пучок геодезических. Геодезическая на правильном тетраэдре определяется прямой линией на развертке, параллельной произвольному целому вектору. А давайте проведем не одну, а несколько таких параллельных прямых. Все они будут геодезическими. Но удивительно другое: они все не будут пересекаться друг с другом. Доказать это совсем просто. Если две такие геодезические g₁ и g₂ пересеклись в какой-то точке P, то рассмотрим точки Р₁ и P₂, изображающие ее на развертке. Ясно, что P₁ ≠ Р₂, поскольку прямые g₁ и g₂ параллельны. Точки Р₁ и Р₂ на развертке изображают одну точку на поверхности тетраэдра, поэтому P₁ должна переводиться в P₂ либо целым сдвигом, либо симметрией относительно узла. При этом g₁ перейдет в какую-то прямую g′₁. Так как и симметрия и перенос сохраняют параллельность, прямая g′₁ параллельна g₂, а значит, совпадает с ней, так как пересекается с ней в точке Р₂. Получается, что геодезические g₁ и g₂ совпадают.

Мало того, что на тетраэдр с ребром 1 см можно намотать без самопересечений геодезическую длиной более 1 км, так этих геодезических можно намотать сколь угодно много (одновременно!), и все они не будут пересекать друг друга. Кстати, согласно теореме 4, все они будут изоморфны и будут иметь одинаковую длину.

Доказали мы это легко — что может быть проще пучка параллельных прямых на плоскости! Но представить это на поверхности тетраэдра уже не представляется возможным! Академик Л. Д. Ландау говорил, что «наука позволяет человеку понять вещи, которые он уже не в силах вообразить».

На рисунке 19 мы представили пучок из трех геодезических типа (1; 1).

Рис. 19. Пучок из трех геодезических типа (1;1)

Только ли на правильном тетраэдре есть бесконечно много геодезических? Нет, не только. Таким свойством обладает любой равногранный тетраэдр. Тетраэдр называется равногранным, если все его грани равны. Получить такой тетраэдр просто: надо взять произвольный остроугольный треугольник и сложить его вдоль средних линий (рис. 20). Есть много свойств и признаков равногранного тетраэдра. Часть из них мы собрали в упражнении 14. Во всех наших рассуждениях о геодезических правильный тетраэдр можно заменить на равногранный — ничего не изменится. Только решетка теперь будет состоять не из правильных треугольников, а из одинаковых треугольников, равных грани.

Рис. 20. Равногранный тетраэдр

Получается, что равногранный тетраэдр тоже имеет бесконечно много геодезических, занумерованных парами взаимно простых чисел (n; m). Строятся они так же — на бесконечной развертке.

Есть ли другие поверхности с таким разнообразием геодезических? У равногранного тетраэдра есть сколь угодно длинные геодезические. А у других тетраэдров? Оказывается, нет. Среди всех тетраэдров таким свойством обладает только равногранный. У любого другого тетраэдра может быть лишь конечное число неизоморфных геодезических — причем их может и не быть вовсе, как у правильной пирамиды. Может ли быть бесконечно много неизоморфных геодезических у другого многогранника, не тетраэдра? Как мы видели, ни куб, ни правильный октаэдр на эту роль не годятся. В 2008 году было доказано, что не годится никакой другой многогранник [9]. Среди всех многогранников только равногранный тетраэдр имеет сколь угодно длинные геодезические. В той же статье была выдвинута гипотеза о том, что равногранный тетраэдр уникален не только среди многогранников, но и среди всех выпуклых поверхностей. Десять лет гипотеза оставалась открытой, лишь совсем недавно ее доказали А. В. Акопян и А. М. Петрунин [1]:

Если на выпуклой поверхности есть сколь угодно длинные замкнутые геодезические, то это поверхность равногранного тетраэдра.

Таким образом, равногранный тетраэдр является совершенно уникальной фигурой! Среди всех выпуклых фигур только у него есть бесконечное разнообразие замкнутых геодезических линий.

Окончание. Начало читайте в «Кванте» №11–12, 2020.

Литература:

1. A. Akopyan, A. Pelrunin. Long geodesics on convex surfaces. — Mathematical Intelligencer, 40 (2018), № 3, p. 26–31.

2. Л. Л. Люстерник, Л. Г. Шнирельман. Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к дифференциальной геометрии поверхностей. — Успехи математических наук, 2 (19Ί7), № 1, с. 166–217.

3. J. Franca. Geodesics on S² and periodic points of annulus homeomorphisms. — Inventiones Mathematicae, 108 (1992), № 2, p. 403–418.

4. V. Bangert. On the existence of closed geodesics on two-spheres. — International Journal of Mathematics, 4 (1993), № 1, p. 1–10.

5. W. Klingenberg. Lectures on Closed Geodesics. — Springer, New York, 1978.

6. W. Klingenberg. Ricmannian geometry. — de Gniytcr Studies in Mathematics, Berlin: Walter de Gruyter & Co. 1982.

7. Г. А. Гальперин. О теореме Люстерника–Шнирельмана для многогранников. — Успехи математических наук, 46 (1991), № 6, с. 207–208.

8. В. Ю. Протасов. Замкнутые геодезические на поверхности симплекса. — Математический сборник, 198 (2007), № 2, с. 103–120.

9. В. Ю. Протасов. О числе замкнутых геодезических на многограннике. — Успехи математических наук, 63:5 (2008), с. 197–198.

10. D. В. Fuchs, Е. Fuchs. Closed geodesics on regular polyhedral. — Moscow Mathematical Journal, 7 (2007), № 2, p. 265–279.

² По-видимому, ее впервые высказал В. М. Тихомиров, известный математик и многолетний автор «Кванта». Он и сформулировал задачу классификации замкнутых геодезических на многограннике.