Тайна чёрной пятницы

Игорь Акулич
«Квантик» №2, 2015

«Пятница, тринадцатое число...». Зловещее сочетание. Суеверные люди называют такой день чёрной пятницей и стараются в это время делать поменьше резких движений^*, дабы случайно не влипнуть в какую-нибудь неприятную историю.

Более трезвомыслящие не принимают это всерьёз, хотя и им частенько бывает не по себе. И для них тем более неожиданным может оказаться следующий давно известный факт (кто первый его установил — неизвестно): тринадцатое число чаще бывает пятницей, чем каким-либо другим днём недели!

Чтобы лучше осмыслить данное утверждение, сформулируем его чуть по-иному. Пусть вам предложили сыграть в такую игру. Вы называете любой день недели. После этого совершенно наугад выбирается какой-либо год (может, даже ещё не наступивший или давно прошедший). В выбранном году также совершенно наугад выбирается какой-либо месяц. Далее выясняется, на какой день недели выпало 13-е число выбранного месяца. Если этот день совпадёт с названным вами, вы получаете приз, в противном случае — платите штраф. Какой день недели надо выбрать, чтобы шансы на выигрыш были как можно больше? Оказывается, пятницу!

В это трудно поверить. В самом деле, в каждом месяце своё число дней, и дни недели соответствуют 13-м числам (как и любым другим) совершенно хаотически. Да зачем далеко ходить — в 2014 году, например, было два «чёрных» (то есть приходящихся на 13-е число) понедельника, один вторник, одна среда, три четверга, одна пятница, две субботы и два воскресенья. Заметим — пятница вовсе не «перевешивает». В другом году будет как-то по-другому, но в среднем, несомненно, все дни должны выровняться, и никакого преимущества у той же пятницы быть не может!

Дабы разобраться с парадоксом, поговорим немного о самом календаре и о принципах его «построения». С древних времён было известно, что астрономический год (время, за которое Земля совершает один оборот вокруг Солнца, или, по-другому, время от одного весеннего равноденствия до другого) продолжается примерно 365 с четвертью суток. Чтобы календарный год (в котором целое число суток) более-менее соответствовал астрономическому, во времена Юлия Цезаря был принят календарь, названный, естественно, юлианским, в котором за каждыми тремя обычными годами по 365 суток следовал високосный год из 366 суток. Чтобы не сбиться, было принято решение: считать високосными годы, номера которых делятся на 4 (то есть, например, 2016 год будет високосным). Позже, однако, выяснилось, что на самом деле год чуть короче, чем 365¼ суток, вследствие чего за каждые 400 лет образуются три «лишних» дня. Пришлось вводить поправки в юлианский календарь и считать, что если номер года делится на 100, но не делится на 400, то такой год високосным не является. Таким образом, 2000-й год был високосным, а 2100-й — не будет. Это позволяет «сбросить» три лишних дня с каждой «четырёхсотлетки», а исправленный календарь назвали григорианским (в честь Римского папы Григория XIII, который его внедрил). Им мы пользуемся и поныне.

Но при чём здесь всё это? Каков бы ни был календарь — как это может повлиять на «равномерность» распределения 13-го числа среди дней недели? А вот как. Возьмём промежуток времени продолжительностью в те самые 400 лет и подсчитаем, сколько это дней. Как мы знаем, каждый 4-й год — високосный, за исключением трёх «выброшенных» лет. Поэтому среди 400 лет подряд окажется 400 : 4 − 3 = 97 високосных, а остальные 400 − 97 = 303 — «обычные». Так что всего получается 366×97 + 365×303 = 146 097 дней. Обратим внимание — это число делится на 7. То есть 400 лет подряд содержат целое число недель. То есть если, скажем, 2001 год начинался с понедельника, то и 2401 тоже начнётся с понедельника. Поэтому хаотичности, о которой мы говорили, на самом деле нет. Значит, мы можем взять любой 400-летний период и просто напрямую подсчитать, сколько каких дней недели приходится на 13-е число. Разумеется, проделать это вручную — колоссальный труд, но компьютеры на что?

И такая работа была выполнена. Результат оказался следующим. За 400 лет 13-е число оказывается четвергом и субботой по 684 раза, понедельником и вторником — по 685 раз, средой и воскресеньем — по 687 раз, а пятницей — 688 раз. Действительно, чёрный день! Разница, конечно, не очень-то велика, но она есть — и это главное.

Как видим, даже самый обычный календарь скрывает в себе немало математических тайн. Именно поэтому он часто используется в сюжетах различных занимательных задач. Попробуйте, например, решить такую:

Мисс Марпл купила набор — 200 свечей для торта — и решила в каждый день своего рождения выпекать и ровно в 12:00 подавать на стол торт с зажжёнными свечами, количество которых равнялось бы числу прожитых ей лет. Первый раз она это сделала на свой двадцатилетний юбилей и в дальнейшем никогда не отступала от своего решения, причём свечей не ломала и дважды не использовала. Как-то в очередной раз она открыла коробку и обнаружила, что там имеется лишь четверть от необходимого количества свечей. Сколько же их осталось?

Предупреждение: задача содержит ловушки. Не попадитесь! А если всё-таки попадётесь — посмотрите правильный ответ.

Решение задачи

Начнём с «типового» добросовестного решения. Нетрудно убедиться, что 20 + 21 + ... + 27 = 188, поэтому после 27-летия в коробке останется 200 − 188 = 12 свечей, чего, конечно, не хватит для торта к следующему дню рождения. Но... 12 — это вовсе не четверть от необходимого количества свечей (т. е. от 28). Как же так?

Вот она — ловушка! Но читатель, вооружённый знаниями о високосных годах, обойдет её без проблем. Обратим внимание на то, что мисс Марпл решила выпекать торт не каждый год, а в каждый день своего рождения (в условии даже указано: ровно в 12:00). Понятия «каждый год» и «каждый день рождения» — не всегда одно и то же. Есть дни рождения, которые бывают не каждый год. Это, конечно, 29 февраля, наступающее один раз в 4 года. Ничего не остаётся, как принять гипотезу о том, что мисс Марпл родилась именно в этот день, и, кстати, это косвенно подтверждается тем, что её возраст в каждый из таких дней должен делиться на 4, а 20 как раз кратно 4.

А теперь проверим. Так как 20 + 24 + ... + 40 = 180, то к сорокачетырёхлетию в коробке останется 200 − 180 = 20 свечей — опять-таки не четверть от 44! Что же делать?

Мы не зря предупреждали, что задача содержит ловушки (во множественном числе). И здесь-то кроется вторая ловушка, основанная на том, что не каждый четвёртый год — високосный!

В условии не утверждалось, что мисс Марпл — наша современница. А раз так, то она вполне могла совершать свои хлебопекарные (или, вернее, тортопекарные) операции на рубеже веков, захватывая, скажем, тот же 1900 год, который, как мы уже знаем, не был високосным! А раз так, то в некоторых случаях это может дать дополнительные решения (ибо некоторые дни рождения могли «выпасть»). Так оно и есть.

Прямой перебор показывает, что если мисс Марпл родилась в 1864 году, то в 1884, 1888, 1892 и 1896 годах она израсходовала соответственно 20, 24, 28 и 32 свечи, затем в 1900 году ей не пришлось выпекать торт (год-то невисокосный!), а после этого она в 1904 и 1908 годах затратила 40 и 44 свечи. Всего получается 20 + 24 + 28 + 32 + 40 + 44 = 188 свечей, и потому к её сорокавосьмилетию в коробке осталось 200 − 188 = 12 свечей — ровно четверть от требуемого количества. Всё!