Математическое моделирование в экологии:
Историко-методологический анализ

Глава 6. Поиски порядка в хаосе

6.1. Красота нелинейной динамики

Какими же проблемами занимаются теперь те люди, которые пришли в биологию из точных наук в эпоху попыток построения всеобъемлющих экологических моделей? Чтобы заниматься какой-то деятельностью, каждый отдельный человек, а тем более сообщество многих людей, должно иметь более или менее общепризнанную колодку мышления. Ее следует обновить, потому что старая колодка «системного анализа» слишком уж явно обнаружила свою несостоятельность. Как ни странно, новая колодка мышления пришла из теории все тех же дифференциальных уравнений, что в 20-е годы вдохновляли пророков в лице Лотки и Вольтерра. Просто число уравнений в системе, поддающейся качественному исследованию, удалось увеличить с двух до трех или еще несколько больше (имеются в виду уравнения первого порядка). Формально системы многих дифференциальных уравнений, в том числе с запаздывающим аргументом, имеются уже в книге В. Вольтерра [13]. Но фактически в эту эпоху вдохновляющими были только системы двух уравнений, потому что лишь два уравнения можно эффективно проанализировать качественно с помощью изоклин и подобных им вещей. Вычислительные машины явились тем бесценным подарком, который позволил быстро проводить численный анализ систем из трех и более уравнений.

Какие же системы оказалось интересно анализировать численно? Такая система, как уравнения движения артиллерийского снаряда, представляет собой большой военно-технический интерес, но малый физико-математический, поскольку в качественном смысле совершенно ясно, что может случиться со снарядом — полет по той или иной траектории, в грубом приближении напоминающей параболу. Кажется, первыми додумались до интересных систем метеорологи. В 50-х годах они начали попытки предсказания погоды с помощью численного решения уравнений гидродинамики (уравнения с частными производными). Когда из этих попыток ничего особенно хорошего не вышло, они стали анализировать причины этого, упрощая свои уравнения, и дошли до систем обыкновенных дифференциальных уравнений. И тогда с помощью численных экспериментов были открыты совершенно новые качественные эффекты, имеющие уже глубокий физико-математический интерес.

В литературе (см., например, несколько статей сборника [55], и , в частности, работу [47]) охотно цитируется система из трех обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в 60-х годах предложил метеоролог-теоретик Э. Н. Лоренц. Эти уравнения (речь, конечно, опять идет только об автономных системах) нелинейны: в них входят произведения XY и XZ (где X, Y и Z — три неизвестных в уравнениях). Такая нелинейность ведет к тому, что траектории системы ведут себя удивительно: две траектории, исходящие в начальный момент из близких точек, экспоненциально быстро разбегаются; траектории притягиваются (в некотором смысле) к весьма сложно устроенному множеству, называемому странным аттрактором. Сам странный аттрактор инвариантен, т. е. переходит в себя при движении его точек по траекториям системы, но движения его точек очень плохо предсказуемы и напоминают тот хаос, который раньше изучался в теории случайных процессов. В этом смысле детерминированная система дифференциальных уравнений может приводить к хаосу, обладающему статистически устойчивыми характеристиками. В общем, численные и чисто математические исследования привлекли внимание к совершенно новым и очень интересным качественным картинкам.

Такая красота не могла оставить равнодушными и специалистов по математической экологии. По прошествии определенного времени (порядка 20-30 лет после работ Лоренца — это обычное время для смены одного поколения ученых другим) детерминированный хаос появился и в экологии (см., например, работу [97]). Вообще говоря, подобный исторический ход развития мысли теоретически довольно странен. Каждому понятно, что система дифференциальных уравнений может лишь весьма приблизительно описывать динамику обилия видов, и конечно, любая экосистема подвергается каким-то дополнительным воздействиям, не учтенным в дифференциальных уравнениях. Иными словами, в реальных экологических системах хаоса всегда должно быть более, чем достаточно (так и есть на самом деле), и совершенно необязательно производить этот хаос из строго детерминированной системы. Тем не менее, на историко-источниковедческом уровне вполне доказуем тот факт, что до появления представлений о детерминированном хаосе над реальным хаосом, существующим в экосистемах, не очень-то и задумывались. Мы увидим на примере, как интереснейшие экспериментальные данные могли в течение 15 лет оставаться необработанными, пока их авторы не вдохновились идеей детерминированного хаоса, прямого отношения к полученным данным не имеющей. Тогда появляется модель с явным включением случайных воздействий, а детерминированная модель становится некоей методической помехой. Между тем, модель со случайными воздействиями нетрудно было бы написать и 15, и 30 лет тому назад — она несравненно проще, чем те имитационные модели, о которых речь шла в предыдущей главе.

Вопрос, конечно, не в том, чтобы создать в экологических данных хаос, а в том, чтобы найти в этом хаосе какой-нибудь порядок. В этом смысле идеология детерминированного хаоса привлекательна по той причине, что возникающий хаос вполне может оказаться вероятностным, т. е. обладать чертами статистической устойчивости (см. главу 3). Можно говорить о вероятностях, об устойчивости средних значений, о корреляциях и т. д., т. е. подходить к наблюдаемым явлениям с той колодкой мышления, которая свойственна теории вероятностей и случайных процессов. В частности, вопрос сколько-нибудь точного прогноза поведения системы на большое время вперед автоматически снимается (подобно вопросу о создании вечного двигателя), но совершенно актуальным является вопрос, на какое время вперед и с какой точностью прогноз фактически возможен (иными словами, ставится вопрос о пределах предсказуемости в стиле книги [55]).

Положение руководителя научно-исследовательского проекта является не менее философским, чем положение приемщицы сапожной мастерской, о которой шла речь в главе 1. Он ведь должен уметь оценить перспективы намеченной работы на основе далеко не достаточной информации. Какова же может быть оценка перспектив эколого-математического проекта, если он ориентирован на такие понятия, как хаос и случайность? Чтобы перспективы не были вовсе мрачными, нужно, чтобы число переменных в предполагаемой модели было небольшим (лучше порядка единиц, а не десятков), иначе мы безнадежно увязнем в имитационном моделировании. Во-вторых, статистическая устойчивость экспериментальных данных не должна заранее отметаться неизбежною нестабильностью условий наблюдений. Оба эти обстоятельства дают перевес лабораторным наблюдениям над натурными. Итак, по нашему мнению, новейшая идеология моделирования динамики численностей еще не дает возможности настоящего понимания природных сообществ, но, по всей вероятности, может быть с успехом применена к обработке данных лабораторных экспериментов, подобных экспериментам по конкуренции Гаузе. Впрочем, единственное, что мы можем сделать для доказательства правильности нашего взгляда — это привести примеры, состоящие в критическом разборе опубликованных работ.