Математическое моделирование в экологии:
Историко-методологический анализ

4.4. Схоластическая разработка откровений

В предыдущем разделе мы суммировали выработанные в 20–30-х годах нашего века пророческие откровения по вопросу о математическом описании динамики обилия биологических видов. Это, во-первых, ортодоксальная автономная система уравнений (4.3) при отказе от еретических (неавтономных) систем (4.1) и (4.2). Во-вторых, это конкретные системы уравнений (4.4) и (4.5) — взаимодействие типа хищник-жертва и (4.9) — взаимодействие типа межвидовой конкуренции при положительных коэффициентах α_ij, либо иные взаимодействия при других знаках этих величин. Неоспоримый исторический факт заключается в том, что научное сообщество не осталось глухо к этим откровениям, а наоборот, предприняло их интенсивную разработку. Понятно, что общие утверждения типа автономной модели (4.3) вызвали интерес у ученых теоретического склада, которых в рамках нашей историко-религиозной метафоры уместно назвать схоластическими теологами. Для них ортодоксальный символ веры в виде системы (4.3) выступает как некая данность, а предметом исследования является вопрос о том, что из этой данности можно извлечь математическими средствами. Конкретные системы (4.4), (4.5) и (4.9) привлекли внимание ученых другого склада — полевых биологов и экспериментаторов, которые хотели увидеть в данных натурных или лабораторных исследований интегральные кривые этих уравнений. Эти труды смело можно назвать апостольскими (их мы рассмотрим в следующем разделе).

Среди схоластических трудов первыми должны быть названы работы самого В. Вольтерра (см. в [13] вопросы исследования многовидовых сообществ). Имя дальнейшим работам этого направления — легион, и рассмотреть их все или хотя бы значительную часть мы не можем, да и не хотим: слишком уж близок к нулю их коэффициент полезного действия в смысле приближения к познанию биологической реальности. Мы скажем лишь несколько слов о двух небольших работах выдающихся ученых — А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда, которые для их деятельности имеют характер сравнительно мелких эпизодов, но зато прекрасно иллюстрируют всеобщую вовлеченность математиков 20-го века в экологическую проблематику, а также тот характер колодки мышления, который имеет автономная модель (4.3).

Речь идет о работах [2] и [34]. Работа А. Н. Колмогорова [34] является в определенном смысле слова полемической по отношению к работам В. Вольтерра и впервые была опубликована на итальянском языке. Критика происходит в следующем направлении. Если взаимодействие хищников и жертв описывать автономной системой дифференциальных уравнений, то следует признать, что точный вид правых частей этой системы нам неизвестен. В частности, правые части уравнений (4.4) и (4.5) нельзя считать доказательно обоснованными. Поэтому реальный биологический смысл могут иметь только те выводы из математической модели, которые не изменяются при небольших изменениях правых частей, да и вообще хорошо бы иметь дело только с такими выводами, которые справедливы при более или менее произвольных правых частях, удовлетворяющих только некоторым биологически разумным условиям. У Колмогорова такие выводы называются «грубыми» (а у Арнольда — «мягкими», см. ниже). В частности, вольтерровские замкнутые траектории, на которые разбивается вся фазовая плоскость, не являются грубыми, т. е. связаны лишь с конкретными правыми частями уравнений (4.4), (4.5), а следовательно, имеют мало надежды подтвердиться на реальных данных. Содержание работы Колмогорова состоит в перечислении тех качественных картинок на фазовой плоскости, которые являются грубыми. Среди них имеется случай устойчивого положения равновесия, когда система в конце концов перестает испытывать колебания, но есть и случай предельного цикла, т. е. сама вольтерровская идея о возможности периодических колебаний за счет взаимодействия видов подтверждается. Автономная система дифференциальных уравнений рассматривается как данность и под сомнение не берется.

Среди учеников А. Н. Колмогорова наиболее известным математиком считается В. И. Арнольд. Ему принадлежит также ряд блестяще написанных научно-популярных публикаций, к числу которых относится и доклад [2]. Этот доклад опубликован небольшим тиражом, но он содержит такие яркие примеры использования математических моделей именно в качестве колодок мышления, что трудно удержаться от его обсуждения. В нем есть очень многое, в том числе и экологические модели (конкретно — логистического роста и взаимодействия хищник-жертва), что и показывает, насколько глубоко подобные модели вросли в общий стиль научного мышления 20-го века. Но простейшим и наиболее показательным примером использования автономной системы в качестве колодки мышления является первый пример, с которого начинается доклад. Это — модель Ланкастера для описания войны (или отдельного сражения). Она представляет собой систему двух уравнений

где x = x(t) и y = y(t) — численности армий воюющих сторон. Модель (4.10) означает просто, что в единицу времени один солдат армии x-ов убивает a солдат противника и один солдат армии y-ов убивает b солдат противника. Разница между коэффициентами a и b отражает разницу в вооружении и вообще боевых качествах солдат обеих армий.

Почему модель Ланкастера (4.10) вообще получила популярность? Насколько можно понять из доклада [2], дело заключается в следующем. Нетрудно явно решить систему (4.10), чтобы понять, победой какой из сторон закончится война, т. е. какая армия раньше обратится в нуль. При этом оказывается, что численный перевес противника в начальный момент компенсировать крайне трудно. Если в начальный момент численность армии x-ов больше: x(0) = ky(0), где k > 1, то армия y-ов может победить только в том случае, когда ее вооружение эффективнее не в k раз, а в k² раз: нужно, чтобы b > k²a. Таким образом, когда в эпоху холодной войны нужно было вытребовать в Конгрессе США побольше денег на военные разработки, можно было на основе модели Ланкастера пользоваться следующим доказательством. Армии Варшавского пакта, допустим, в 5 раз многочисленнее, чем армии НАТО. Чтобы в случае войны иметь шанс на победу, каждый солдат армий НАТО должен быть вооружен не в 5, а в 25 раз лучше, чем солдат противника. Такой математический расчет, конечно, в любом парламенте произведет сильное впечатление.

Однако, согласно В. И. Арнольду, модель (4.10) нехороша тем, что правые части уравнений определены однозначно, т. е. «жестко» и притом почти совершенно произвольно. Для лучшего понимания того, что является практически значимым выводом, предлагается заменить модель (4.10) «мягкой» моделью, а именно системой уравнений

Оказывается, что при такой замене сохраняются некоторые качественные свойства траекторий системы (4.10). Например, невозможно, чтобы все фазовые траектории, исходящие из любой точки квадранта {x > 0, y > 0}, входили за конечное время в точку (0, 0), что содержательно означает полное взаимное уничтожение. И вот теперь ясно, что ортодоксальная автономная система дифференциальных уравнений — будь то «жесткая» система (4.10) или «мягкая» система (4.11) — является ничем иным, как колодкой мышления. В самом деле, вывод о невозможности полного взаимного уничтожения попросту противоречит здравому смыслу.

Действительно, откажемся от автономности. Пусть на первом этапе войны противники вываливают друг другу на голову свои ядерные арсеналы. Пусть при этом в течение первых суток гибнут совсем лишь 20% солдат армии x и 30% солдат армии y, но оставшиеся в живых получают смертельное лучевое поражение. Сразу возникает вопрос о том, что переменные x и y не имеют достаточно ясного смысла (подобно численностям видов в моделях экологии). Что такое один солдат? Живой, мертвый или умирающий от лучевой болезни? Управляющий исправным самолетом или танком или заваленный обломками боевой машины? Во всяком случае, на втором этапе войны возникает другая система дифференциальных уравнений, описывающая смерть от лучевой болезни солдат обеих армий, если даже активные боевые действия не ведутся. Все кончается точкой (0, 0), т. е. полным взаимным уничтожением, независимо от начального состояния.

Для А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда «хорошие» результаты (т. е., соответственно, «грубые» или «мягкие») относятся к ортодоксальной автономной модели. Но стоит лишь допустить еретическую неавтономность, как от кажущейся надежности выводов ничего не остается.

В докладе В. И. Арнольда много других прекрасных колодок мышления. Например, логистическая модель динамики численности вида применяется в ситуации, когда имеется еще вылов, сокращающий численность популяции. Оказывается, что если оптимизировать квоту вылова (желать выловить побольше), то популяция выводится на грань гибели, которая и последует вскоре от действия каких-то случайных и не учтенных моделью причин. А примером является популяция ученых в России.

Модель взаимодействия хищник-жертва в докладе приводится, с одной стороны, в качестве модели, описывающей численность щук и карасей в озере, а с другой — численность бандитов и честных тружеников. В последнем случае небольшое изменение правых частей может привести к тому, что система пойдет вразнос, т. е. будет испытывать все увеличивающиеся колебания. А это, согласно В. И. Арнольду, означает революцию, потому что в далеких областях фазовой плоскости не будет, конечно, действовать система Лотки-Вольтерра, пригодная для описания эволюции.

Примеров использования автономных систем дифференциальных уравнений исключительно в роли колодок мышления, пожалуй, достаточно. Обратимся теперь к экспериментальным исследованиям, которые имели целью установить, что реально происходит в таких лабораторных экосистемах, которые создавались с ориентацией на теоретические модели взаимодействий по типу хищник-жертва либо конкуренции.