Математика на футболе

Турнир однокруговой — это значит, что каждая команда с каждой сыграла один матч, а всего в турнире сыграно 15 матчей. Если две команды играют вничью, они набирают в сумме 2 очка, а если одна из них побеждает — то 3.

Из предыдущей подсказки получаем, что все команды могли набрать в сумме от 30 до 45 очков. Если последняя команда набрала k очков, то общее число очков равно k + (k + 2) + (k + 4) + (k + 6) + (k + 8) + (k + 10).

Убедитесь, что случаи, в которых команды набрали 30 или 36 очков, невозможны.

Итак, повторим кратко то, что уже выяснилось из первых подсказок. Пусть последняя команда набрала k очков, тогда общее число очков равно 6k + 30, и это должно быть числом между 30 и 45. Отсюда k = 0, k = 1 или k = 2.

Случай 1. k = 0. Всего командами набрано 30 очков, то есть все игры закончились вничью. Но тогда все команды должны были набрать одно и то же число очков. Противоречие.

Случай 2. k = 1. Всего командами набрано 36 очков. Если из 15 игр n закончились вничью, то имеем уравнение 2n + 3·(15 – n) = 36, откуда 45 – n = 36, n = 9. Три последних команды сыграли 12 игр — 3 между собой и 9 игр против остальных команд. Поскольку игр, которые не закончились вничью, во всём турнире было 6, то не менее 6 из этих 12 игр закончились вничью. Значит, не менее 3 из этих ничьих были в матчах против первой тройки команд. Но так как они набрали в сумме всего 9 очков, то в трех играх между собой ими было набрано не более 6 очков! Это означает, что все их игры между собой должны были закончиться вничью, что невозможно, так как последняя команда набрала всего одно очко, в то время как две ничьи против 4-й и 5-й команд принесли бы ей минимум 2 очка. Следовательно, и этот случай приводит к противоречию.

(Это, разумеется, не единственное возможное рассуждение, приводящее к противоречию. Вот другой способ рассуждений.
При девяти ничьих и шести результативных играх получается следующее: команда-победительница сыграла не менее трех результативных игр, а команда с 1 очком — ровно 4. Тогда все остальные игры между командами завершились вничью. В частности, пятая (предпоследняя) команда сыграла вничью со второй, третьей и четвертой. Но так как она еще и не проиграла шестой команде, то у нее не может оказаться всего 3 очка. Снова противоречие.)

Случай 3. k = 2. Теперь 6k + 30 = 42, поэтому, рассуждая аналогично предыдущему случаю, получаем, что вничью сыграны ровно 3 игры из 15. Как могли эти 3 ничьих распределиться между командами, набравшими 2, 4, 6, 8, 10 и 12 очков? Поскольку число очков в результативных (победных или проигранных) встречах кратно трем, то у последней и у третьей команд было не менее 2 ничьих, а у второй и пятой — не менее одной. Этим количеством «лимит на ничьи» уже исчерпан, так что у последней и третьей команд — ровно две ничьи, у второй и пятой — ровно одна, а у первой и четвертой команд ничьих нет. Если бы матч третьей и последней команды был результативным, то каждая из этих команд должна была бы играть вничью со второй и с пятой, но тогда у тех команд было бы по две ничьи, что невозможно. Значит, третья с шестой командами должны были сыграть вничью.

Для завершения решения убедимся в том, что такой итог турнира действительно возможен. Для этого достаточно нарисовать соответствующую турнирную табличку:

Появление этой задачи на «Элементах» вызвано желанием автора хотя бы чуть-чуть затронуть здесь такую необъятную тему, как математика в спорте. Даже если отсечь от нее все применения математических методов к усовершенствованию различных технических видов спорта, а также отбросить такие интеллектуальные виды спорта, как шахматы, покер или спортивный бридж, — всё равно поле применения математики в спортивных дисциплинах остается огромным.

В 1985 году в «Библиотечке Квант» вышла научно-популярная книжка Л. Е. и А. Л. Садовских «Математика и спорт». В одной из ее глав строилась математическая модель тенниса (марковские цепи), в другой — обсуждалось судейство в фигурном катании (в том числе возникающие при этом проблемы ранжирования), в третьей — рассматривались спортивные рекорды с точки зрения статистики, в четвертой — различные организационно-спортивные задачи решались с помощью линейного программирования. И это еще далеко не всё!

Прыгун в длину, разбегаясь, должен максимально точно попасть на планку для отталкивания. Для этого он должен очень хорошо рассчитать длину своего шага и определить количество шагов от старта до планки. Еще более важны такие расчеты для бега с барьерами. Аналогично, прыгун с шестом должен выбрать правильное место для постановки шеста. Тренер футбольной команды должен распределить игровые амплуа, исходя из физических кондиций игроков и каких-то еще их качеств. Во всём этом использование математики играет далеко не последнюю роль.

Или возьмем организацию соревнований. Все шесть матчей группового турнира EURO 2012 в каждой подгруппе игрались в двух городах. Следовательно, команды между матчами перемещались из одного города в другой. Очевидно, что команда с меньшим числом таких перемещений имеет некоторое преимущество (может отдыхать сразу после матча, а не ехать сломя голову куда-то еще). Как спланировать игры в подгруппе так, чтобы не сделать это преимущество для какой-то из команд существенным (влияющим на исход игр)?

Мы рассмотрели задачу-головоломку, относящуюся к самому примитивному применению математики в игровых видах спорта — анализу неполных результатов спортивного турнира. На ту же тему существуют значительно более трудные задачи. Например, вот одна из наиболее красивых и при этом «гробовых» из известных мне турнирных задач:

«После кругового теннисного турнира на 16 человек в редакции оказалась полная таблица турнира, но без имён игроков, и отдельно — полный список игроков. Журналист хочет передать в редакцию результаты нескольких игр так, чтобы по ним было возможно восстановить, кто выиграл в каждой паре. Докажите, что ему для этого хватит 45 результатов.»