Октаэдры в кубе

Чтобы найти положение вписанного октаэдра наибольшего объема в кубе, вспомните, что диагональным сечением правильного октаэдра является квадрат. Впишите в куб квадрат наибольшей площади, чтобы его вершины лежали на ребрах куба, и примите его за диагональное сечение октаэдра. После чего останется найти положение еще двух вершин октаэдра наибольшего объема и вычислить его объем.

Пусть ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\). Октаэдр наименьшего объема — это октаэдр, все вершины которого совпадают с центрами граней куба (рис. 1), потому что объем правильного октаэдра будет наименьшим, если его диагонали наименьшие, их наименьшая длина очевидно равна \(a\). Объем малого октаэдра найдем как сумму двух пирамид с основанием \(RLFN\), и равен \(V_{\mathrm{мал}}=2\cdot\frac13\cdot\frac{a^2}{2}\cdot\frac a2=\frac16a^3.\)

Рис. 1.

Найдем теперь правильный октаэдр, вписанный в куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), и имеющий наибольший объем. Для начала выберем на ребрах \(B_1C_1\), \(AB\), \(AD\) и \(C_1D_1\) соответственно точки \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) так, что четырехугольник \(KLMN\) является квадратом, а его стороны \(KN\) и \(LM\) параллельны диагоналям \(B_1D_1\) и \(BD\) (рис. 2). Если сторона этого квадрата равна \(x\), то \(PC_1=AQ=\frac x2\), а проекция \(PQ\) на \(AC\) равна \(a\sqrt2-x\). Получаем для \(x\) уравнение \((a\sqrt2-x)^2+a^2=x^2\), откуда \(x=\frac{3a}{2\sqrt2}\).

Рис. 2.

В диагональном сечении \(ACC_1A_1\) (рис. 3) проведем к \(PQ\) через центр \(O\) куба перпендикуляр \(OR\). Поскольку \(\cos\varphi=\frac{a}{x}=\frac{2\sqrt2}{3}\), то \(OR=\frac{a\sqrt2}{2\cos\varphi}=\frac34a=OF\).

Рис. 3.

Таким образом, если мы на прямой \(OR\) в обе стороны от точки \(O\) отложим равные отрезки \(OR\) и \(OF\), равные \(\frac34a\) — половине диагонали квадрата \(KLMN\), то получим точки \(R\) и \(F\) на ребрах \(AA_1\) и \(CC_1\). Эти две точки совместно с вершинами квадрата являются вершинами октаэдра \(RKLMNF\), вписанного в куб. Объем этого октаэдра можно найти как сумму объемов двух пирамид с основанием \(KLMN\), он равен \(V=2\cdot\frac13\cdot S_{KLMN}\cdot OR=\frac23x^2\cdot\frac34a=\frac{9}{16}a^3\) (рис. 4).

Рис. 4.

Докажем, что октаэдр \(RKLMNF\) является наибольшим из всех правильных октаэдров, которые можно поместить внутрь куба.

Рассмотрим шар с центром в точке \(O\) и радиусом \(\frac34a\). На поверхности этого шара в пересечении с трехгранными углами при вершинах куба образуются криволинейные треугольники. Диагонали любого октаэдра, размеры которого больше октаэдра \(RKLMNF\) с вершинами внутри куба, должны пересекать поверхность шара внутри криволинейных треугольников. Найдутся две диагонали, которые пересекают треугольники, соответствующие двум вершинам куба, расположенным на расстоянии \(a\sqrt2\). Нетрудно доказать, что наименьшее расстояние между двумя точками таких треугольников (их вершины лежат на ребрах куба) равно ребру построенного октаэдра, то есть \(frac{3a}{2\sqrt2}\). Отсюда следует, что угол между двумя диагоналями,пересекающими эти два криволинейных треугольника не в их вершинах, больше 90°, значит, такой октаэдр не является правильным. Значит, построенный октаэдр \(RKLMNF\) является правильным октаэдром с наибольшим объемом \(V_{\mathrm{бол}}=\frac{9}{16}a^3\).

Значит, отношение объемов этих октаэдров: \(V_{\mathrm{мал}}:V_{\mathrm{бол}}=\frac16a^3:\frac{9}{16}a^3=\frac8{27}.\)

Заметим, что октаэдр, имеющий наименьший объем, вписан в куб таким образом, что на каждой грани куба находится по одной вершине. Оказывается, что каждую вершину этого октаэдра можно так переместить в грани куба, в которой она находится, что октаэдр станет октаэдром наибольшего объема. Как это сделать показано на рис. 5 зелеными стрелками. Здесь вершина \(K\), находящаяся в грани \(A_1B_1C_1D_1\) перемещается на ребро \(B_1C_1\), вершина \(L\), находящаяся в грани \(AA_1B_1B\) — на ребро \(AB\) и так далее.

Рис. 5.

При этом у исходного октаэдра изменится ориентация в пространстве, увеличатся размеры, но положение центра не поменяется. Это значит, что имеем дело с преобразованием, которое в геометрии называется поворотной гомотетией в пространстве. Центром этой гомотетии является центр исходного куба. Угол поворота равен 60°, в этом нетрудно убедиться, если заметить, что каждая вершина минимального октаэдра, находясь в центре грани куба, после поворота она попадает на ребро куба. Коэффициент гомотетии равен отношению соответствующих отрезков, например, ребер, но лучше взять отношение диагоналей. Диагональ большого октаэдра равна \(2OR=2\cdot\frac34a=\frac32a\), диагональ малого октаэдра равна ребру куба \(a\), поэтому коэффициент гомотетии равен \(k=\frac32\). Как известно, отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия, поэтому искомое отношение объема наименьшего октаэдра к объему наибольшего октаэдра равно \(k^3\), то есть \(\frac8{27}\).

Возникает естественный вопрос: в каком отношении вершины наибольшего октаэдра, вписанного в куб, делят его ребра. Найдем, например, отношение \(A_1R:AR\).

Треугольники \(PHQ\) и \(OTR\) на рис. 3 подобны, их подобие следует из того, что стороны треугольников попарно перпендикулярны (а значит равны соответствующие углы между сторонами). Из подобия треугольников следует пропорция \(\frac{RT}{QH}=\frac{TO}{PH}\), после подстановки известных длин получим \(\frac{RT}{a\sqrt2-x}=\frac{\frac{a\sqrt2}{2}}{a}\). Зная \(x\), легко находим \(RT=\frac14a\). Поэтому вершина \(R\) октаэдра делит ребро куба в отношении \(A_1R:AR=1:3\). Аналогично доказывается, что другие ребра куба в таком же отношении делятся вершинами вписаного октаэдра наибольшего объема.

Как известно куб и октаэдр являются двойственными многогранниками, то есть каждой грани куба соответствует вершина октаэдра, и каждой вершине куба — грань октаэдра. Количество ребер куба и двойственного ему октаэдра одинаково — их по 12. Это хорошо видно на рис. 6, на котором октаэдр вписан в куб так, что все вершины октаэдра лежат в центрах граней куба.

Если октаэдр наименьшего объема начать гомотетично увеличивать, то вершины октаэдра начнут постепенно «выдвигаться» из куба. Наступит момент, когда каждое ребро октаэдра совпадет с серединой соответствующего ребра куба, и получится многогранник — соединение куба и октаэдра. Коэффициент \(k\) гомотетии в этом случае равен 2. Этот многогранник — один из пяти существующих двойственных соединений правильных многогранников (рис. 6, в середине). (Еще один — «stella octangula» Иоганна Кеплера — обсуждался в задаче Многогранник в кубе).

Если продолжать увеличивать коэффициент гомотетии, то расстояние от вершин куба до соответствующих граней октаэдра будет уменьшаться, то есть грани октаэдра будут приближаться к вершинам куба. При \(k=3\) вершины куба окажутся на гранях октаэдра, то есть куб теперь окажется вписанным в октаэдр (рис. 6, справа). И это еще одно подтверждение двойственности куба и октаэдра: если в начальном положении каждая вершина октаэдра лежала в центре грани куба, то теперь каждая вершина куба лежит в центре грани октаэдра (а мы еще раз убеждаемся в том что между ними есть взаимное соответствие).

Рис. 6.