Треугольники в треугольнике

Попытайтесь выяснить форму центральной фигуры. Заметьте, что она ограничена дугами трех кривых и, чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно найти формулы, которыми эти линии задаются. Подумайте, как удобнее всего задать систему координат, чтобы «вычислить» необходимые элементы треугольника. Используйте симметричность фигуры.

Если постепенно уменьшать длину отрезков деления, продолжая вписывать соответствующие правильные треугольники, то через некоторое время начнут проглядываться кривые (рис. 2, слева). Продолжая этот процесс до бесконечности, в итоге получим три кривые, которыми ограничивается желтая фигура (рис. 2, справа), — это огибающие семейств сторон вписанных треугольников.

Рис. 2.

Чтобы выяснить вид этих кривых, рассмотрим прямоугольную систему координат \(Oxy\). Треугольник расположим так, чтобы одна из вершин совпадала с началом координат \(O\), а противоположная ей сторона \(AB\) была параллельна оси \(Ox\) (рис. 3).

Рис. 3.

Пусть \(MN\) — это сторона одного из вписанных треугольников, касающихся кривой \(AKB\); пусть \(D\) и \(E\) — проекции точек \(M\) и \(N\) на ось абсцисс. Примем сторону исходного треугольника \(AOB\) за \(2a\). Пусть \(OD=t\), тогда \(OM=2t\), \(AM=2a-2t=ON\), поэтому \(OE=a-t\). Получаем, что абсциссы точек \(M\) и \(N\) равны соответственно \(t\) и \(a-t\). Ординату точки \(M\) найдем из треугольника \(OMD\) — она равна \(t\sqrt3\); аналогично, ордината точки \(N\) равна \((a-t)\sqrt3\).

По координатам точек \(M(t,\,t\sqrt3)\) и \(N(a-t,\,(a-t)\sqrt3)\) найдем уравнение прямой \(MN\): \(\frac{x-t}{(a-t)-t}=\frac{y-t\sqrt3}{(a-t)\sqrt3-t\sqrt3}\). После упрощения получим \(ay-2at\sqrt3=2xt\sqrt3-ax\sqrt3-2t^2\sqrt3\) — это параметрическое уравнение всех касательных к кривой \(AKB\). Можно это уравнение привести к стандартному уравнению прямой, но в этом нет необходимости, потому что в таком виде его легче дифференцировать.

Продифференцируем это уравнение по параметру \(t\): \(-2a\sqrt3=2x\sqrt3-4t\sqrt3\). Отсюда можно выразить параметр \(t\) через \(x\) и \(a\): \(t=\frac{x+a}{2}\). Подставим полученное выражение в параметрическое уравнение касательных:

После упрощения получим формулу кривой, частью которой является дуга \(AKB\):

Понятно, что линия — парабола.

Заметим, что вершина параболы проходит через середину высоты треугольника. Это легко обосновать, если в формулу этой параболы подставить \(x=0\): получим ординату \(\frac{a\sqrt3}{2}\) точки пересечения, а это как раз половина высоты исходного равностороннего треугольника.

Из соображений симметрии можно утверждать, что две другие дуги тоже являются параболами. Пересекаясь, эти три параболы ограничивают криволинейный треугольник \(TLP\) (рис. 4). Чтобы найти координаты точек пересечения, нужно знать формулы этих парабол. Нами найдено уравнение только одной параболы. Вывод уравнений других парабол можно осуществить, опираясь на общую теорию кривых второго порядка, но на этом пути нас ждут громоздкие вычисления.

Рис. 4.

Поступим иначе. Заметим, что точка \(P\) — не просто точка пересечения двух парабол: через нее также проходит одна из высот исходного треугольника. Обозначим ее \(BH\) (рис. 5). Уравнение параболы уже найдено, а уравнение высоты \(BH\) можно найти по координатам точек \(B(-a,\,a\sqrt3)\) и \(H\left(\frac a2,\,\frac{a\sqrt3}{2}\right)\). Уравнение прямой \(BH\) записывается так: \(\frac{x+a}{a/2+a}=\frac{y-a\sqrt3}{a\sqrt3/2-a\sqrt3}\). После упрощения его можно переписать в стандартном виде: \(y=-\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{2a\sqrt{3}}{3}\).

Рис. 5.

Теперь координаты точки \(P\) можно найти из системы уравнений, описывающих параболу \(APB\) и высоту \(BH\):

Приравнивая правые части уравнений системы, получим уравнение \(\frac{\sqrt3}{2a}x^2+\frac{a\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{2a\sqrt{3}}{3}\), сводящееся к квадратному. Его корнями являются числа \(x_1=\frac a3\) и \(x_2=-a\). Уточним, что \(x_2\) — это абсцисса точки \(B\), нас же интересует \(x_1\) — абсцисса точки \(P\). Нетрудно найти и ординату \(y_1=\frac{5a\sqrt3}{9}\) точки \(P\).

Теперь можно приступить к вычислению площади центральной фигуры \(TLP\), представляющей собой объединение равностороннего треугольника \(TLP\) и трех равных сегментов параболы: \(S=S_{TLP}+3S_{\text{сегмента}}\) (рис. 6).

Рис. 6.

Сторона \(TP\) равностороннего треугольника \(TLP\) равна \(\frac{2a}{3}\), поэтому его площадь равна \(S_{TLP}=\frac{a^2\sqrt3}{9}\). Площадь сегмента \(TPF\) вычислим с помощью определенного интеграла:

Поэтому площадь центральной фигуры равна

Площадь исходного треугольника со стороной \(2a\) равна \(S_{AOB}=\frac{(2a)^2\sqrt3}{4}=a^2\sqrt{3}\).

Теперь можно найти отношение площади центральной фигуры к площади исходного треугольника. Оно равно \(\frac{5}{27}\).

Вопросы, аналогичные поставленному в этой задаче, можно задавать и для других многоугольников. Например, вместо правильного треугольника можно взять квадрат (и вписывать в него тоже квадраты). Получается такая задача (№2400 с сайта diofant.ru): Квадрат имеет сторону длины \(n\), \(n\in\mathrm{N}\). Все стороны квадрата разделены точками на единичные отрезки. В этот квадрат вписаны \(n-1\) квадратов, все вершины которых находятся в точках деления. При этом исходный квадрат оказался разделен на части. Найдите соотношение площади полученной в центре части к площади исходного квадрата, когда \(n\) стремится к бесконечности.

Рис. 7.

Идея решения та же, что и случае треугольника — понять, что за кривые выступают в роли огибающих, а затем посчитать площадь центральной части. Ответ, правда, в этом случае не такой красивый — получается иррациональное число: \(\frac23(4\sqrt2-5)\). О. Сорокин нашел универсальную формулу отношения площади центральной фигуры (образованной огибающими) к площади правильного \(n\)-угольника в общем виде:

Красивый чертеж к задаче вдохновил Скотта Шеннона (S. R. Shannon) на создание новой последовательности. Он рассмотрел ряд правильных треугольников, в каждом из которых его стороны разделены точками на 1, 2, 3, ... равных отрезков. В каждый из этих треугольников вписаны 0, 1 ,2, ... правильных треугольников так, что все их вершины находятся в точках деления. Вписанные таким образом треугольники делят исходный треугольник на несколько частей. Если в каждом треугольнике посчитать количество частей, то получим начало последовательности: 1, 4, 13, 28, 49, ... (рис. 8)

Рис. 8.

При увеличении \(n\) количество частей увеличивается на 3·1, 3·3, 3·5, 3·7 и так далее. Например,

Казалось бы, нетрудно указать и формулу общего члена последовательности: \(a_n=3(n-1)^2+1\). Проблема в том, что она не работает для всех \(n\). Указанная закономерность выполняется до тех пор, пока не появятся кратные точки пересечения, то есть точки, в которых пересекаются три или более отрезков. И это происходит уже при \(n=6\) (рис. 9).

Рис. 9.

Здесь появилось аж 6 кратных точек (они выделены красным цветом на рисунке), отчего количество частей разбиения уменьшилось. Вместо ожидаемых 76 частей имеется лишь 70: каждая кратная точка уменьшает количество частей на 1. Поэтому приведенная выше формула для вычисления членов последовательности работает не всегда, а только в тех случаях, когда отсутствуют кратные точки пересечения сторон треугольников.

Этот сюжет мог быть отдельной математической задачей, но она, к сожалению, она имеет только компьютерное решение. Всю последовательность можно найти в Энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS) под номером A356984.

Красивые чертежи, подобные тем, что возникли в нашей задаче, служат основой для красивых рисунков. На рис. 10 показан один из примеров. Если присмотреться, можно заметить, что этот «шестиугольник» составлен из шести копий треугольника, изображенного на рис. 2.

Рис. 10.

На рис. 11 приведено еще несколько фигур, в основе каждой из которых лежит наша треугольная «сетка» и только она. Попытайтесь ее увидеть и понять принцип построения каждого рисунка.

Рис. 11.