Физическая математика
Большинству людей математика дается не очень легко. А ведь это одна из важнейших естественных наук, развитие которой идет бок о бок с научно-техническим прогрессом и во многом его обеспечивает. Одним из основных математических принципов, который и делает ее настолько мощным инструментом в совершенно разных областях, является абстракция (проявляющаяся, например, в том, что правила обращения с числами и выражениями не зависят от того, что именно мы считаем). Абстрактные рассуждения и построения, однако, при всей своей силе частенько противоречат интуиции, которая развивается на основе нашего каждодневного опыта и наблюдений (тут достаточно вспомнить многочисленные парадоксы, связанные с теорией вероятностей; см., например, статью Задача Монти Холла).
Из-за этого многие гораздо лучше разбираются в физике (по крайней мере на бытовом уровне), чем в математике. Физика сильнее опирается на наш каждодневный опыт. Попробуйте, например, подкинуть мячик и хлопнуть дважды в ладони, прежде чем его поймать. С этим заданием может справиться даже ребенок, причем ему не нужно будет ничего вычислять. А вот если попросить посчитать время, которое мячик проведет в воздухе, то далеко не каждый взрослый сможет это сделать. Любой водитель знает, что при резком повороте нужно сбросить скорость, чтобы не вылететь с дороги. Но далеко не каждый водитель сможет сказать заранее, какой коэффициент трения у дороги с шинами, и какова оптимальная скорость при повороте.
Классически, именно математика является аппаратной основой физических законов. Физические законы обычно записываются в виде математических формул и доказываются с использованием стандартных методов математической аргументации. Но не нужно забывать, что в основе любой математической абстракции все равно лежат интуиция и опыт!
В этой задаче предлагается поставить классическое положение дел с ног на голову и доказать три известных математических утверждения, опираясь на физический опыт.
Задача
1) Полая емкость имеет форму прямой треугольной призмы, основание которой \(PQR\) — прямоугольный треугольник (\(\angle P=90^\circ\)). Емкость крепится одним из своих углов к вертикальной оси на свободном шарнире (рис. 1). Из емкости откачан весь воздух до полного вакуума. Естественно, в такой ситуации она не может самопроизвольно начать крутиться вокруг оси. Пользуясь этим (очевидным) физическим наблюдением, докажите теорему Пифагора для треугольника \(PQR\): \(RQ^2 = PQ^2 + RP^2\).
2) Имеется некоторое количество кубиков с одинаковой удельной теплоёмкостью \(c\). Массы кубиков равны \(m_1\), \(m_2\), ..., а их температуры — \(T_1\), \(T_2\), ... Кубики приводят в контакт друг с другом (так, что каждый кубик касается хотя бы еще одного). Основываясь на Втором начале термодинамики (гласящем, что энтропия замкнутой системы не уменьшается), докажите неравенство
\[\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2+\ldots}{w_1+w_2+\ldots} \geq \left(a_1^{w_1}\cdot a_2^{w_2}\cdot \ldots\right)^{1 / (w_1 + w_2 + \ldots)}\]для произвольных неотрицательных \(a_i\) и \(w_i\). В частном случае, когда \(w_1=w_2=\ldots=1\), оно превращается в известное утверждение о том, что среднее арифметическое набора чисел не меньше их среднего геометрического. Подумайте, опираясь на физическую интуицию, в каком случае выполняется строгое равенство?
3) Рассмотрим бесконечную плоскость с квадратной сеткой. Пусть в каждом узле сетки стоит стакан с водой (все стаканы одинаковые, заполнены полностью). Все стаканы одновременно переворачиваются и вода из них выливается на плоскость (рис. 2). Через некоторое время вода полностью растечется и установится некоторый постоянный уровень.
Рис. 2.
Пользуясь описанным мысленным экспериментом, докажите формулу Пика (рис. 3), согласно которой площадь \(S\) произвольного многоугольника с вершинами в узлах сетки на 1 меньше, чем сумма числа узлов, целиком лежащих внутри многоугольника, и половины числа узлов на его границе.
Рис. 3.
Подсказка 1
Изменение энтропии можно записать в следующем виде: \(\Delta S = C \Delta \left(\log{T}\right)\), где \(C\) — теплоёмкость системы, а \(\Delta \left(\log{T}\right)\) — изменение логарифма температуры. Это можно увидеть, если вспомнить, что изменение энтропии равно \(\Delta S = \Delta Q / T\). Тогда \(\Delta Q = C\Delta T\) и при малом изменении \(\Delta T / T = \Delta (\log{T})\).
Подсказка 2
В третьем пункте, по сути, нужно найти установившийся объем воды над данным многоугольником. Для этого оцените средний поток воды через каждую из его сторон и вершин. Какие симметрии есть в этой задаче?
Решение
1) На все стенки емкости давит внешняя атмосфера, и это давление не скомпенсировано изнутри (так как там вакуум). Если рассмотреть емкость как целое, то силы давления на основания призмы, очевидно, компенсируют друг друга, ведь основания у призмы одинаковые.
Теперь разберемся с боковыми гранями. На каждую из них также действует ненулевая сила давления, пропорциональная площади грани (эти силы показаны на рис. 4 красными стрелками). Например, \(F_{RQ} = P_{\mathrm атм} \cdot h \cdot{RQ}\) (\(P_{\mathrm атм}\) — атмосферное давление). Поскольку высота \(h\) у всех трех боковых граней одинаковая, то можно считать, что силы пропорциональны длинам граней. И если их векторно сложить, то получится нулевой вектор — суммарная сила, естественно, равна нулю. Однако каждая из этих сил также имеет момент относительно оси (проходящей через точку \(R\)) с соответствующими плечами (розовые на рис. 4). Сила давления \(\mathbf{F}_{RQ}\) стремится повернуть емкость по часовой стрелке, тогда как силы \(\mathbf{F}_{PQ}\) и \(\mathbf{F}_{RP}\) — наоборот. Мы знаем, что сумма всех моментов сил равна нулю, — противное означало бы, что из-за одного лишь давления воздуха емкость может вращаться вокруг оси, да еще и с ускорением.
Рис. 4.
Для сил \(\mathbf{F}_{RQ}\) и \(\mathbf{F}_{RP}\) плечо посчитать совсем просто: точка \(R\) лежит на соответствующих сторонах, поэтому плечо равно половине каждой из этих сторон. Для \(\mathbf{F}_{PQ}\) воспользуемся (в первый и последний раз) тем, что треугольник \(RPQ\) прямоугольный. Из этого следует, что плечо, соответствующее силе \(\mathbf{F}_{PQ}\) относительно оси \(R\) равно половине стороны \(PQ\).
Запишем равенство моментов по и против часовой стрелки относительно оси \(R\):
\[(RQ/2)\cdot F_{RQ} = (PQ/2)\cdot F_{PQ} + (RP/2)\cdot F_{RP}.\]Теперь, воспользовавшись тем, что каждая из сил пропорциональна длине соответствующей грани, после сокращений имеем:
\[RQ^2 = PQ^2+RP^2,\]что и требовалось доказать.
2) Для краткости обозначим за \(M\) суммарную массу всех кубиков: \(M=m_1 + m_2 + \ldots = \sum m_i\). При соприкосновении кубиков между ними будет происходить теплообмен, поскольку температуры отличаются. В результате установится некоторая общая температура для всех кубиков, которую обозначим \(T\). Чтобы найти эту температуру, достаточно написать закон сохранения полной энергии (если просуммировать изменения энергий для каждого из кубиков по-отдельности, в сумме должен получиться ноль):
\[cm_1(T-T_1) + cm_2(T-T_2)+\ldots= \sum c m_i(T-T_i)=0,\]где произведение \(c m_i\) — полная теплоемкость \(i\)-го кубика, а \(T-T_i\) — разность температур до и после соприкосновения. Отсюда легко увидеть, что
\[T = \frac{1}{M}\sum m_i T_i.\]Несмотря на то, что полная энергия сохраняется, второй закон термодинамики гласит, что энтропия системы не должна понижаться: \(\Delta S \geq 0\). Как было указано в подсказке, изменение энтропии для каждого кубика можно записать следующим образом:
\[\Delta S_i = cm_i\left(\log{T}-\log{T_i}\right).\]Сумма всех \(\Delta S_i\) должна быть неотрицательна, поэтому:
\[\sum cm_i\left(\log{T}-\log{T_i}\right)\geq 0.\]Так как \(c>0\), можно сократить неравенство на этот множитель. После этого вытащим \(\log{T}\) за знак суммы (так как он не зависит от \(i\)) и получим:
\[\log{T}\sum m_i\geq \sum m_i \log{T_i}.\]Воспользуемся теперь арифметическими свойствами логарифма (напомним, что \(a\log{b} = \log{b^a}\) и \(\log{a} + \log{b} = \log{a b}\) для положительных \(a\) и \(b\)):
\[\log{T^M}\geq\log{\left(T_1^{m_1}\cdot T_2^{m_2}\cdot\ldots\right)} \equiv \log{\left(\prod T_i^{m_i} \right)}.\](Символом \(\prod\) обозначается произведение некоторого набора чисел: \(a_1\cdot a_2\cdot \ldots = \prod a_i\).)
Так как логарифм — возрастающая функция, из этого неравенства следует, что и аргументы логарифма тоже удовлетворяют аналогичному неравенству:
\[T^M\geq \prod T_i^{m_i}.\]Осталось возвести обе части этого неравенства в степень \(1/M\) (то есть извлечь из них корень степени \(M\)) и переобозначить \(T_i\to a_i\), \(m_i\to w_i\). Получится:
\[\frac{\sum w_i a_i}{\sum w_i}\equiv\frac{1}{M}\sum m_i T_i=T \geq \prod T_i^{m_i/M}\equiv \left(\prod a_i^{w_i}\right)^{1/\sum w_i},\]что и требовалось доказать.
В этом контексте легко понять, в каком случае выполняется точное равенство: энтропия не меняется, только если температуры всех кубиков были изначально равны: \(T_1 = T_2 = \ldots = a_1 = a_2 = \ldots\) (тогда никакого теплообмена просто не происходит).
3) Здесь нам, по сути, нужно найти объем воды непосредственно над данным многоугольником. Так как уровень воды в конце концов установится одинаковый, его можно принять за 1 м (этот выбор не так важен). Тогда объем воды будет равен площади многоугольника, помноженной на глубину: \(V= S\cdot 1~\textrm{м} = S\).
До того, как стаканы перевернули, воды на плоскости, очевидно, нет. Перевернем стаканы и рассмотрим поток через одну из сторон многоугольника (рис. 5). Так как плоскость бесконечна и выделенного направления не существует, то в среднем поток воды в одну сторону от этой стороны будет равен потоку в другую сторону.
Рис. 5.
Иными словами, сколько воды (в среднем) втекает через стороны многоугольника, столько и вытекает. Поэтому, без ограничения общности, можем предположить, что стенки многоугольника непроницаемы (то есть вода не может сквозь них проникать вообще). Тогда вся вода, которая окажется внутри многоугольника, берется либо из стаканов, которые стояли внутри него (зеленые точки на рис. 6), либо из тех стаканов, что стояли на границе (синие точки на рис. 6). Так как стенки непроницаемы, вся вода из внутренних (зеленых) стаканов останется внутри многоугольника. А вот у пограничных стаканов лишь некоторая доля пролитой воды попадет в многоугольник. Эта доля, опять же, из симметрии задачи, пропорциональна углу \(\alpha\) (внутреннему углу многоугольника, соответствующему данному стакану, см. рис. 6).
Рис. 6.
Таким образом, если в каждом стакане был, скажем, 1 литр воды (опять же, этот выбор не важен), то из-за каждого внутреннего стакана (зеленые точки) в многоугольник попадет по 1 литру воды, а из-за каждой граничной точки (синие точки) попадет лишь \(\alpha / 360^\circ\) литров. Таким образом, полный объем воды в многоугольнике (равный, как мы помним, площади многоугольника) равен:
\[V = 1~\textrm{м}\cdot S = (\textrm{кол-во внутренних точек})~\textrm{л} + (\textrm{сумма внутренних углов}/ 360^\circ) ~\textrm{л}.\]Как известно, сумма внутренних углов \(n\)-угольника равна \((n-2)\cdot 180^\circ\). Если обозначить количество узлов сетки внутри данного многоугольника за \(B\), а количество его вершин за \(\Gamma\), получим:
\[S=B+\Gamma/2-1,\]что и требовалось доказать.
Послесловие
Вопрос о том, что первичнее — математическое утверждение или физический закон — во многом схож с вопросом о курице и яйце. С одной стороны, мы описываем окружающий мир, пытаясь найти закономерности и абстрагируясь от несущественной конкретики. Когда мы говорим, что яблоко падает вниз из-за притяжения Земли, мы не имеем в виду конкретное яблоко. Язык, на котором формулируется такая абстракция, — это и есть математика.
С другой стороны, яблоко не «знает» об абстрактных закономерностях. Природа не зависит от абстрактных законов, которые мы ей приписываем. Грубо говоря, даже до появления специальной теории относительности свет не двигался бесконечно быстро (на самом деле, ученые об этом знали еще в XVII веке, см. задачу Затмения Ио и скорость света). Или, например, энергия сохраняется вовсе не потому что мы ее так определили. Можно опытным путем показать, что если увеличить скорость подбрасываемого вверх камня в два раза, то максимальная высота, на которую он улетит, увеличится в четыре раза. Или, например, у планеты, которая в 1,5 раза дальше от Солнца, чем Земля, период обращения равен 680 дням. Эти факты верны не потому, что мы математически определили \(E=mv^2/2\) или \(a^3 / P^2 = const\), а потому, что мы можем об этом «договориться».
И это касается не только физики. В 1930-х годах американский математик Джордж Биркгоф разработал интуитивную систему аксиом для евклидовой геометрии, которые, в отличие от постулатов Евклида или Гильберта, можно «проверить» с помощью линейки и транспортира. Эта система аксиом эквивалентна аксиомам Евклида, и ведет к абсолютно тем же результатам и утверждениям. Здесь важно отметить, что «интуитивный» не обязательно значит «более простой». Скорее, Биркгоф пытался свести аксиоматику геометрии к некоторым фактам, о которых люди могут «бесспорно договориться», чтобы на основе этого построить огромный пласт науки под названием «геометрия» (в которой, вообще говоря, можно найти и очень контринтуитивные теоремы).
Задачи, которые мы рассмотрели выше, демонстрируют, что зачастую одно не следует из другого. Энергия не сохраняется, потому что выполняется теорема Пифагора, а теорема Пифагора не выполняется из-за того, что сохраняется энергия. Эти два факта неразрывно связаны вместе, но один не может являться причиной другого. В бесконечном споре о первичности легко пропустить гораздо более важную деталь, которая стоит в центре этой связи. Деталь, которая, пожалуй, является самым важным компонентом науки — человеческий опыт и интуиция. Наука — это не абстрактное нечто, что существует вне зависимости от нас; это наш способ познавать мир. Не каждого отдельного индивидуума, а человечества в целом.
Рис. 1.