Самые справедливые выборы

Легче всего это сделать для выборов с тремя кандидатами, хотя результаты применимы и для большего их числа.

Допустим, сначала все избиратели в своих личных рейтингах ставят Линкольна на первое место, а Франклина — на последнее. Как будет выглядеть итоговый результат выборов с такими рейтингами? Как будет меняться результат выборов, если избиратеои один за другим станут менять Линкольна и Франклина местами?

Пусть у нас всего шесть избирателей. Сначала разберемся, что происходит, когда кандидатов всего двое: пусть Вашингтон (W) соревнуется с Джефферсоном (J), а про Франклина (F) ненадолго забудем.

Заметим, что если все избиратели предпочитают Вашингтона Джефферсону (то есть в их рейтингах W ≥ J), то и в итоговом протоколе справедливых выборов по правилу единогласности будет W ≥ J. Эта банальная ситуация показана на рис. 1. Если же все избиратели, наоборот, предпочитают Джефферсона Вашингтону (у всех J ≥ W), то, очевидно, и в итоге Джефферсон должен победить Вашингтона.

Рис. 1.

А теперь давайте посмотрим, что будет происходить в динамике: начав с ситуации, когда все за Вашингтона, проследим, что будет происходить, если избиратели начнут по очереди менять свои личные рейтинги. Как будет при этом меняться итоговый результат? Ясно, что сначала Вашингтон будет по-прежнему побеждать, а в конце, когда все избиратели поменяют свои предпочтения, должен победить Джефферсон. Это значит, что есть некоторый голосующий i (в нашем случае 1 ≤ i ≤ 6), которого мы назовем ключевым для пары W и J, после изменения голоса которого Вашингтон и Джефферсон меняются местами в итоговом протоколе выборов. У нас i = 4 (рис. 2).

Рис. 2.

Теперь вспомним про Франклина и рассмотрим левый случай на рис. 2 (когда в рейтинге ключевого кандидата W ≥ J). Пусть Франклин находится в середине рейтинга для избирателей с номером i < 4 и на последнем месте для избирателей с номером i ≥ 4 (рис. 3). Каким будет результат выборов? Вспомним, что до появления Франклина Вашингтон побеждал Джефферсона. Выборы у нас справедливые, поэтому этот исход не должен измениться из-за свойства бинарной независимости. Также мы видим, что для всех избирателей J ≥ F. Из свойства единогласности следует, что и в итоговом результате должно быть J ≥ F. Таким образом, итоговый протокол будет выглядеть так: W ≥ J ≥ F.

Рис. 3.

Если четвертый избиратель решит поменять местами W и J, то итоговый результат поменяется на J ≥ W ≥ F (рис. 4), так как этот избиратель является ключевым для пары (W, J), а относительное положение в парах (J, F) и (W, F) в индивидуальных рейтингах не меняется. Обратите внимание, что личный рейтинг ключевого избирателя снова совпадает с итоговым.

Рис. 4.

Чтобы понять, насколько властен этот ключевой избиратель, давайте попробуем повлиять на итоги выборов, варьируя голоса остальных избирателей. Например, поменяем местами в их личных рейтингах Франклина и Джефферсона (рис. 5). Изменился ли результат?

Рис. 5.

Относительные положения W и F в индивидуальных рейтингах не изменились, поэтому в итоговом протоколе по-прежнему останется W ≥ F (из-за независимости от нерелевантных альтернатив). Также не изменились и относительные положения J и W, значит, в итоговом протоколе будет J ≥ W. Получается, что результат никак не меняется и всегда побеждает Джефферсон. И это при том, что избиратель под номером 4 единственный, кто ставит его на первое место в своем личном рейтинге. Получается, что до тех пор, пока в личном рейтинге ключевого голосующего J ≥ F, мнения остальных избирателей по этому поводу никак не учитываются в итоговых результатах голосования.

Итак, что же мы только что доказали? Мы показали, что для любой пары кандидатов (в нашем случае ими были Вашингтон и Джефферсон) существует ключевой избиратель, который однозначно диктует положение третьего кандидата в итогах голосования вне зависимости от мнения остальных.

Но из существования ключевого избирателя для любой пары кандидатов наличие диктатора само по себе не следует, ведь, теоретически для разных пар кандидатов этот ключевой избиратель может быть разным. Тем не менее, оказывается, что ключевым всегда оказывается один и тот же избиратель (как раз потому, что он фактически диктует положение F в рейтинге). Это легко показать, проведя рассуждения аналогичные тем, что были изложены выше. Получается, что личный рейтинг этого ключевого избирателя полностью определяет итоговый результат выборов.

Разобранная выше задача давно уже стала классическим результатом. Впервые она была сформулирована и доказана американским математиком и экономистом Кеннетом Эрроу в его диссертации в 1951 году. Сейчас ее называют теоремой Эрроу о невозможности демократии или парадоксом Эрроу. Полное доказательство (даже три разных) для общего случая можно прочитать в статье J. Geanakoplos, 2005. Three Brief Proofs of Arrow's Impossibility Theorem.

Теорема фактически утверждает следующее. Если предпочтения людей независимы и транзитивны (представляют собой рейтинг), а выборы уважают принципы единогласия и независимости от нерелевантных альтернатив, то автоматически будет всегда существовать диктатор, личный рейтинг которого полностью определяет результат вне зависимости от рейтингов остальных. Даже если ослабить немного эти условия, можно показать, к примеру, что будет всегда существовать если не диктатор, то человек с правом на «вето», который всегда определяет относительное положение каких-либо двух кандидатов в итоговом результате выборов.

Требования к предпочтениям избирателей, которые необходимы для того, чтобы теоремы выполнялась, называются ординалистским подходом. В рамках этого подхода предпочтения индивидуумов рассматриваются качественно, а не количественно. То есть одни альтернативы могут быть лучше, хуже или равными другим, но при этом нет меры, позволяющей определить, на сколько одна альтернатива лучше другой.

Все эти условия, пусть они и достаточно логичные, далеко не всегда выполняются в реальности. Например, принцип бинарной независимости (независимости от нерелевантных альтернатив), который по сути является требованием к некой объективности выборов (кандидаты сравниваются только между собой, а не в контексте остальных), очень легко нарушить. Представьте ситуацию, когда имеется 100 избирателей, а их личные рейтинги распределены следующим образом: у 25 избирателей рейтинг W > J > F, у 40 избирателей — J > F > W, а у оставшихся 35 избирателей — F > W > J. Тогда при любом исходе выборы будут нарушать принцип бинарной независимости (попробуйте это показать, рассмотрев отдельно случаи, когда побеждает W, J или F).

Этот пример также показывает, что в общем случае «мнения» большинства могут быть в конфликте друг с другом, если кандидатов три или больше. Это явление в теории общественного выбора называется парадоксом Кондорсе или цикличностью общественного выбора, так как с точки зрения всего общества (то есть после подведения итогов «выборов») имеет место следующая парадоксальная ситуация: W > J > F > W > ..., несмотря на то, что отдельно предпочтения каждого избирателя транзитивны.

Этот парадокс имеет значение в системах с двухэтапным голосованием. Самый очевидный пример — выборы президента США. Там кандидаты от каждой из партий (республиканской и демократической) сперва проходят так называемые праймериз, на которых из кандидатов от каждой партии выбирается один, который будет представлять партию на основных выборах в президенты.

В этом году в праймериз демократической партии главная схватка была между Берни Сандерсом и Джо Байденом. В праймериз победил Джо Байден, который и будет кандидатом от демократической партии на выборах. Ему предстоит соревноваться с действующим президентом от республиканской партии Дональдом Трампом. Вполне может статься, что в предпочтениях американского общества имеет место парадокс Кондорсе: Трамп > Байден > Сандерс > Трамп > ... Тогда получается, что от исхода первого этапа выборов (праймериз) зависит и исход всех выборов, так как Байден в общественном сознании менее предпочтителен, чем Трамп (хотя и более предпочтителен, чем Сандерс), а Сандерс более предпочтителен, чем Трамп (хотя и менее предпочтителен, чем Байден). И в этой ситуации Байден, выходя в президентскую гонку (так как в праймериз он предпочтительнее Сандерса), проиграет Трампу. Таким образом, демократической партии, в некотором смысле, «выгоднее» выставить менее предпочтительного кандидата среди демократов, который, тем не менее, имеет шанс победить на выборах. Впрочем, вопрос оценки общественного мнения в подобных случаях относится уже к области социологии.