Куб из конверта

Ясно, что нельзя покрыть куб, площадь поверхности которого больше площади двухстороннего конверта. Это дает ограничение на длину стороны куба и может подсказать, как должны проходить линии разрезов.

Площадь поверхности запечатанного конверта 2×3 равна 12. Пусть ребро куба максимального размера равно \(a\), тогда площадь его поверхности равна \(6a^2\). Приравнивая площади поверхностей куба и конверта, получим уравнение \(6a^2=12\), решая которое находим, что ребро куба равно \(\sqrt2\).

С помощью разрезаний конверт можно превратить в развертку куба. На рис. 2 слева сплошной линией показаны разрезы на передней стороне конверта, пунктиром — на тыльной стороне конверта. Развертка, получающаяся после разгибаний, показана на рисунке справа. Для наглядности одна из сторон конверта закрашена желтым.

Рис. 2.

Таким образом, после нескольких разрезов с последующим разворачиванием на плоскость мы получили искомую развертку куба, состоящую из шести квадратов \(\sqrt2\times\sqrt2\). Легко видеть, что в ней одна часть — меньше быть не может.

Как известно, существует 11 стандартных разверток единичного куба (рис. 3), которые составлены из единичных квадратиков (а если резать грани исходного куба на части, то можно получить сколько угодно разных разверток). Развертка из решения здесь на почетном 11-м месте.

Рис. 3.

Возникает естественный вопрос: какие из них складываются в конверт? Оказывается, таких, кроме полученной в решении, еще только пять. Они изображены на рис. 4 с указанием обеих сторон конверта и линий сгибов.

Рис. 4.

А можно ли конверт разрезать таким образом, чтобы получилась новая, не относящаяся к стандартным, развертка? Можно. Для этого надо всего лишь видоизменить стандартную развертку, приведенную в решении, вырезая и добавляя к ней маленькие равнобедренные треугольники так, как показано на рис. 5. Полученная фигура, естественно, по-прежнему, складывается и в куб, и в конверт.

Рис. 5.

Аналогично можно строить и другие развертки, заменяя стороны квадратиков на одинаковые центрально-симметричные линии. На рис. 6 показаны два примера: с ломаной и с криволинейной границей.

Рис. 6.

Эта задача была придумана после знакомства автора с разрезанием конверта и последующим превращением его в тетраэдр, описанным Мартином Гарднером в его книге Математические головоломки и развлечения (на с. 153–154).

Для этого конверт нужно разрезать по одному из его краев, например, по стороне CD. Получатся два отрезка с концами C и D, на каждом из них отметим середины M₁ и M₂ (рис. 7). Затем одну сторону конверта надо поочередно перегнуть по отрезкам AM₁ и BM₁, другую сторону конверта — по отрезкам AM₂ и BM₂. Наконец, остается соединить вместе точки C и D, при этом точки M₁ и M₂ разойдутся и станут концами нового ребра тетраэдра с вершиной B и основанием AM₁M₂. Полученный тетраэдр — неправильный, но все его грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Рис. 7.

Именно по такому образцу шведский изобретатель Эрик Валленберг в 1944 году придумал бумажные пакеты Tetra Pak, имеющие форму тетраэдра. А в 1952 году была сконструирована первая упаковочная линия для производства таких пакетов, которые и сейчас используется для фасовки молока, сливок и детских соков (рис. 8). «Еще ни разу в истории человечества математическая идея не находила столь удачного практического воплощения» — так оценил разработку упаковочных пакетов Tetra Pak знаменитый физик, лауреат Нобелевской премии Нильс Бор.

Рис. 8. Слева: тетраэдрический пакет молока. Справа: схема работы аппарата для упаковки продуктов в такие тетраэдрические пакеты. Работают оба аппарата по одному принципу, но один из них упаковывает продукт в пакет конвертного типа, а другой — в тетраэдрический пакет. Разница лишь в том, что соседние швы термосварки и последующей обрезки в первом случае параллельны, во втором — перпендикулярны. Рисунки с сайта kursiv.ru

А можно ли разрезанием конверта получить правильный тетраэдр? Можно, если используемый запечатанный конверт имеет размеры \(2\times\sqrt3\). На рис. 9 слева показана развертка тетраэдра в форме параллелограмма, полученная разрезанием такого конверта. Здесь разрезы производятся по обеим длинным сторонам только с одной стороны конверта.

Рис. 9.

Октаэдр с ребром 1 тоже складывается в конверт — размером \(1\times\sqrt3\). Соответствующая развертка показана на рис. 9 в середине. Но самое интересное, на мой взгляд, заключается в том, что «гармошкообразная» развертка икосаэдра тоже сворачивается в конверт размером \(2{,}5\times\sqrt3\). Это значит, что такой конверт можно разрезать так, что получится стандартная развертка икосаэдра с ребром 1 (рис. 9, справа), из которой легко сложить бумажную модель правильного икосаэдра.

Как известно, существует пять правильных многогранников. Мы выяснили, что поверхность четырех из них разрезаниями преобразовываются в прямоугольные конверты подходящих размеров. Аналогичный вопрос для пятого многогранника — додекаэдра — мне не удалось решить. Возможно, кому-то из читателей удастся продвинуться в этом направлении.