Квадраты в квадрате
Задача
Пусть n — натуральное число, большее 1. Существует ли квадрат, длина стороны которого выражается натуральным числом и который можно разбить на меньшие квадраты так, чтобы получилось: n квадратов со стороной 1, (n − 1) квадрат со стороной 2, ..., два квадрата со стороной (n − 1), один квадрат со стороной n?
Подсказка
Такой квадрат существует. Можно, например, выразить его площадь двумя способами, получить уравнение и, решив его, найти размеры всех квадратов. После этого останется лишь сложить геометрическую мозаику.
Решение
Пусть сторона разбиваемого квадрата равна \(N\), тогда его площадь \(S =N^2\). Если этот квадрат можно разбить на меньшие так, как требуется в условии, то его площадь равна сумме площадей всех квадратов:
\[S=1^2\cdot n + 2^2\cdot(n-1)+\ldots+(n-1)^2\cdot2+n^2\cdot1.\]Эта сумма кажется неприятной, но ее можно сильно упростить. Для этого заметим, что каждое слагаемое в ней имеет вид \(i^2\cdot(n+1-i)=(n+1)i^2-i^3\), где \(i\) меняется от 1 до \(n\). Значит, сумму можно переписать следующим образом:
\[(n+1)(1^2+2^2+\ldots+n^2)-(1^3+2^3+\ldots+n^3).\]Теперь можно воспользоваться формулами для суммы квадратов и суммы кубов натуральных чисел:
\[1^2+2^2+\ldots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\\ 1^3+2^3+\ldots+n^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2.\]В итоге получим:
\[S=(n+1)\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2=\dfrac{n(n+1)^2(n+2)}{12}.\]Таким образом, задача сводится к решению в натуральных числах уравнения
\[N^2=\dfrac{n(n+1)^2(n+2)}{12}.\]Очевидно, что дробь \(\frac{n(n+2)}{3}\) должна быть квадратом натурального числа. Отсюда следует, что решение нужно искать среди чисел вида \(n=3l\) и \(n=3l+1\) (потому что если \(n\) дает при делении на 3 остаток 2, то числитель этой дроби не делится на 3). Наименьшее подходящее значение \(n\) равно 6, а соответствующее \(N=14\). На рис. 1 показано нужное разбиение квадрата со стороной 14.
Для поиска других значений \(n\) и \(N\) нужно решить на множестве натуральных чисел уравнение
\[\dfrac{n(n+2)}{3}=m^2.\]Это уравнение можно переписать в виде так называемого уравнения Пелля \((n+1)^2-3m^2=1\), про которое все известно: оно имеет бесконечно много решений, которые выражаются по формуле
\[n_k=\dfrac12\left((2+\sqrt3)^k+(2-\sqrt3)^k\right)-1,\ k\in\mathbb{N}.\]В этой формуле присутствуют знаки корня, но легко убедиться, что после раскрытия скобок они взаимно уничтожатся и результат будет натуральным числом.
Теперь легко получить сколько угодно соответствующих пар \(n\) и \(N\). Например, первые пять значений числа \(n\) такие: 6, 25, 96, 361, 1350. Соответствующие \(N\): 14, 195, 2716, 36381, 526890.
Вопрос о построении разбиений найденных квадратов, начиная с пары \((n,\,N)=(25,\,195)\), пока остается открытым. То есть, например, разбиение квадрата со стороной 195 на набор из одного квадрата 25×25, двух квадратов 24×24, ..., 24 квадратов 2×2, 25 квадратов 1×1, возможно, существует, но, насколько известно, его еще никто не построил.
Послесловие
Разбиение квадрата, полученное в решении, можно считать решением и следующей, похожей, задачи: разбейте квадрат на шесть групп меньших квадратов так, чтобы k-я группа (k = 1, 2, ..., 6) состояла из k равных квадратов, а любые два квадрата из разных групп были не равны.
Поскольку о размерах квадратов разбиения в этом случае ничего не говорится, то исходный квадрат можно разбивать не только на шесть групп. Например, слева на рис. 2, приведено разбиение квадрата на четыре группы меньших квадратов, а справа на этом рисунке приведено решение для пяти групп.
Рис. 2.
Можно сформулировать задачу в общем виде: разбейте квадрат на n групп меньших квадратов так, чтобы k-я (k = 1, 2, ..., n) группа состояла из k равных квадратов, а любые два квадрата из разных групп были не равны.
Выше уже были построены примеры решений этой задачи при n = 4, 5, 6. Обычный квадрат можно считать решением при n = 1. Очевидно, что при n = 2 задача не имеет решения. Нетрудно так же доказать, что при n = 3 нужного разбиения квадрата не существует.
Расскажу небольшую предысторию этой задачи и как она появилась, ведь разбиений квадрата на меньшие можно придумать много. Начиналось все с общеизвестной геометрической интерпретации равенства \(1+3+5+ ... +(2n-1) =n^2 \): квадрат со стороной \(n\) разбивается на \(n^2\) единичных квадратиков, а дальше надо заметить, что «уголки» (слева на рис. 3 они покрашены по очереди в белый и синий) состоят из 1, 3, 5, ..., \((2n-1)\) квадратиков.
Если изменить размеры и порядок «уголков», расположив их так, чтобы сначала шел «уголок» из одного квадрата, потом — «уголок» из пяти квадратов, а потом — уголок из трех квадратов, то получится разбиение на неравные квадраты, приведенное справа на рис. 3. Это разбиение является решением такой задачи: можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить их так: 1 белый, 3 серых, 5 черных, чтобы при этом все одноцветные квадраты были равны, а разноцветные квадраты — не равны? Эта задача предлагалась для учеников 8–9 классов на осеннем туре XXXI Турнира городов в базовом варианте. Ясно, что это частный случай общей задачи, которая имеет решение для всех нечетных чисел, то есть разбиение можно выполнить для n = 1, 3, 5, 7, ... Способ, примененный в этом разбиении, назовем «уголковым».
Рис. 3.
Следующим естественным вариантом разбиения квадрата является общая задача, сформулированная выше. Кроме уже приведенных разбиений, удалось найти конкретные примеры для всех n от 7 до 20. На рис. 4 показано разбиение для n = 20, (числами отмечены группы, содержащие указанное число квадратов). Всего в этом разбиении 210 квадратов.
Рис. 4.
Рис. 1.