Кошка на ковре и момент импульса

Для начала представьте себе поведение этой рулетки, если бы она не лежала на полу, а висела в вакууме в невесомости. В этом случае уж точно никакие внешние силы на систему не действуют, и поэтому полный момент импульса должен сохраниться. Попытайтесь представить, как бы в этом случае протекал процесс. Затем подумайте, на что влияет тот факт, что рулетка лежит на полу. Какие дополнительные силы действуют на нее? В каком именно месте они приложены и в каком направлении действуют?

Обратите также внимание, что, хотя линейка и кожух тянут друг друга к себе, относительно пола движется только линейка.

Рис. 1. Две части рулетки взаимодействуют через моменты сил. Для простоты визуализации на рисунке показаны не моменты сил, а сами силы, действующие между кожухом (вместе со всеми внутренностями) и измерительной лентой. Красным показана сила, действующая на ленту, черным — сила, действующая на кожух.

Начнем с рулетки в вакууме (рис. 1). В процессе втягивания у нас есть две взаимодействующих части рулетки: ее кожух и измерительная лента. Лента втягивается по касательной, а не в направлении центра масс. Это значит, что она приобретает момент импульса относительно центра масс. Разгоняет ленту кожух рулетки; именно он за счет сил упругости, приложенных не к центру масс, создает момент сил и передает ленте момент импульса. А значит, по третьему закону Ньютона, точно такой же по модулю, но противоположный по направлению момент сил приложен и к самому кожуху со стороны ленты. В общем, две части рулетки создают друг у друга строго противоположные моменты импульса. Полный момент импульса всей рулетки, разумеется, всегда остается равным нулю. В момент окончания втягивания две части рулетки ударят друг по другу, и всякое вращение остановится.

Впрочем, реальная лента (по-прежнему в вакууме) будет двигаться более сложно. Металлическая лента изогнется и, возможно, будет махать концом туда-сюда. Даже если она не будет махать, она всё равно в какой-то момент изогнется так, чтобы дальнейшее ее движение происходило в направлении центра масс. На видео ничего подобного нет: лента втягивается по касательной, а не изгибается, да и кожух лежит неподвижно, не проворачивается. Мы приходим к выводу, что какую-то существенную роль здесь играет пол. Получается, кстати, забавная ситуация, когда пренебрежение посторонними силами усложняет, а не упрощает движение тела.

Рис. 2. Силы, действующие на кожух, лежащий на полу. Черным показана сила со стороны ленты, синим — распределенные силы трения покоя со стороны пола. Силы трения покоя подстраиваются таким образом, чтобы их момент сил полностью компенсировал момент силы со стороны ленты, из-за чего кожух и остается неподвижным.

Взглянем на проблему снова. В процессе втягивания лента приобретает момент импульса, но кожух остается неподвижным. Даже та часть ленты, которая уже намоталась, продолжает крутиться внутри кожуха и держит в себе этот момент импульса. И только в последнее мгновение происходит «угловой удар» внутри рулетки и этот момент импульса, запасенный лентой, передается всей рулетке целиком. Вот из-за этого она резко закручивается (на видео — против часовой стрелки). Это последнее мгновение как раз понятно. Непонятным оказывается, почему сам кожух в процессе втягивания остается неподвижным.

Кожух неподвижен, потому что он плашмя лежит на полу, и от движения его удерживают силы трения. Лента создает момент сил и пытается кожух повернуть, но силы трения покоя со стороны пола создают компенсирующий момент импульса и не дают ему сдвинуться с места (рис. 2). И если теперь рассмотреть всю систему целиком, то именно эти силы трения покоя создают тот вращающий момент, который — через кожух! — придает вращательный момент линейке и, в конечном счете, закручивает рулетку.

Эта задача — пример неожиданного на первый взгляд, но широко распространенного механического явления: трение покоя может способствовать движению. Обычно трение покоя воспринимается как нечто препятствующее движению, но в данном случае оно играет конструктивную, движущую роль — помогает рулетке упереться в пол, и в результате единой механической системой становится не рулетка сама по себе, а рулетка вместе со всей Землей. Общий момент импульса системы не меняется, но это не препятствует передаче момента импульса от Земли к рулетке.

В повседневной жизни можно найти немало примеров этого эффекта. Простейший из них — обычная ходьба. Если бы трение отсутствовало, мы бы не смогли самостоятельно перемещаться по открытым поверхностям. По той же причине машина или поезд способны трогаться с места и двигаться в гору. Другой пример — подъем грузов на наклонной ленте транспортера. При нулевом трении груз соскальзывал бы вниз, и нам пришлось бы прибегать к ухищрениям типа винтового вала. Пример из современной жизни — ползающий по столу мобильник со включенной вибрацией.

Рис. 3. Простейший «капсубот» — робот-капсула, не имеющая никаких внешних движущихся частей, но способная перемещаться по поверхности за счет внутренних сил и трения покоя. Изображение из статьи H. Li et al., 2006. Motion Generation of the Capsubot Using Internal Force and Static Friction

Этот эффект используется и в технологических разработках. Один из впечатляющих своей простотой примеров приведен в технической публикации Motion Generation of the Capsubot Using Internal Force and Static Friction. Там описан простейший самодвижущийся робот-капсула, «капсубот», у которого нет ни ног, ни колес, ни вообще каких-либо внешних движущихся частей (рис. 3). Однако он способен перемещаться, и делает он это исключительно за счет внутренних сил и, как читатель догадывается, статического трения о поверхность. Подавая на обмотку импульсы тока, можно заставлять внутренний магнитный сердечник сдвигаться рывком или постепенно. При постепенном смещении сила трения покоя удерживает корпус капсубота от движения, а при рывке происходит его сдвиг, и в результате капсубот способен ползать со скоростью 2 см в секунду.