Как сделать игру «Доббль»

Евгений Смирнов
«Квантик» №6, 2025

Художник Алексей Вайнер

Многие знают настольную игру «Доббль» (или «Spot-It»). В неё играют колодой из специальных круглых карт, на каждой из которых нарисовано по восемь забавных фигурок. Правила игры бывают разными, но один из вариантов такой: игроки берут себе по одной карте, а остальную колоду кладут в центр стола лицевой стороной кверху (так что верхняя карта в колоде видна всем). Первый, кто найдёт общую фигурку у своей карточки и карточки в центре стола, называет её, забирает себе карточку и кладёт сверху на свою, получая одно очко. Дальше все пытаются найти общую фигурку у следующей карты в колоде и своей верхней карточки и так далее.

Как должны быть устроены карточки для «Доббля»?

У карточек есть чудесное свойство, на котором и основана вся игра:

На фото (рис. 1) у двух левых карточек общая фигурка — щенок, у двух нижних — ведро, у правой верхней и центральной — мяч, и так далее (найдите общую картинку для каждой из пар!).

Рис. 1

Возникает вопрос: а как сделать такую колоду? Ведь фигурки нельзя разбросать по карточкам в произвольном порядке, чтобы это свойство выполнялось.

На этот вопрос можно дать «дурацкий» ответ: нарисуем на всех карточках одну и ту же фигурку, а все остальные фигурки сделаем разными. Таких карточек можно сделать сколько угодно, и условие (1), очевидно, будет выполнено — но такой колодой неинтересно играть: общая фигурка всегда одна и та же. Кроме того, разные фигурки в колоде тогда бы встречались с неравномерной частотой: одна фигурка — столько раз, сколько у нас карточек, а все остальные — лишь однажды. Давайте наложим ещё два условия:

Кроме того, потребуем, чтобы выполнялось ещё одно естественное условие:

Рис. 2

Теперь попробуем сделать колоду для «Доббля». Только давайте начнём с варианта игры, где на каждой карточке не восемь фигурок, а меньшее их число — естественно, одинаковое на всех карточках.

Легко сделать колоду, где на каждой карточке будет две фигурки. В такой колоде три карточки с фигурками АВ, АС, ВС (рис. 2).

Рис. 3

Другие карточки в неё добавить нельзя. Ведь на новой карточке должна быть фигурка, которая нам ещё не встречалась; назовём её D. Но вторая фигурка на новой карточке должна быть уже встречавшейся, и какой бы она ни была, получаем противоречие с условием (1) (рис. 3).

«Доббль» с тремя фигурками

Итак, получилась колода «“Доббля” для самых маленьких». Попробуем пойти дальше и сделать колоду с тремя фигурками на каждой карточке. Чтобы разобраться, как она должна быть устроена, представьте, что эта колода лежит перед нами на столе, и выполните упражнения (ответы идут сразу за ними).

Упражнение 1. Докажите, что любая фигурка нарисована ровно на трёх карточках.

Действительно, выложим на стол все карточки, которые содержат, например, фигурку А. Теперь возьмём какую-нибудь карточку без фигурки А (такая карточка есть по условию (3)). По условию (1) эта карточка имеет с каждой из карточек на столе ровно одну общую фигурку.

И все эти фигурки разные (рис. 4): в противном случае две из карточек, лежащих на столе, содержали бы как эту фигурку, так и фигурку А, что запрещено условием (2). Итого карточек, содержащих фигурку А, ровно столько же, сколько фигурок на одной карточке, то есть три.

Рис. 4

Упражнение 4. Как устроены все эти карточки?

Возьмём одну из карточек; назовём фигурки на ней А, B и C. Каждая из этих фигурок изображена на двух из оставшихся шести карточек (рис. 5). Оставшиеся 4 фигурки назовём D, E, F, G. Из них можно составить шесть различных пар: DE, DF, DG, EF, EG, FG — как раз столько же, сколько у нас осталось карточек. Как эти пары должны быть распределены по карточкам?

Рис. 5

Как мы уже обсуждали, на карточках с фигуркой A должны встречаться все остальные фигурки; то же верно и для карточек с фигурками B и C. Фигурки D, E, F, G можно разбить на пары как раз тремя способами: DE–FG, DF–EG и DG–EF — каждое из разбиений будет встречаться вместе с одной из фигурок A, B, C.

Получается колода для «Доббля» из семи карточек с тремя фигурками на каждой из них (рис. 6). Мы соединили каждую тройку карточек, содержащих одну и ту же фигурку, линией. Кстати, буквы на карточках можно было и не писать: для каждой карточки набор линий, которые через неё проходят, соответствует нарисованным на карточке фигуркам.

Рис. 6

Точки и прямые

Про эту картинку (рис. 6) можно думать в геометрических терминах — как про «плоскость», состоящую из «точек» (карточек). При этом через каждую точку проходят «прямые», отвечающие фигуркам: прямая — это набор всех карточек, содержащих данную фигурку (изображённую на рисунке 6 «окружность» мы тоже называем прямой). Условие (1) в этих терминах становится аксиомой планиметрии: через любые две точки можно провести прямую, причём только одну.

А что же с условием (2)? Оно утверждает, что любые две прямые пересекаются ровно в одной точке. Это уже не похоже на привычную нам геометрию, где прямые могут быть параллельными — а в «геометрии “Доббля“» параллельных прямых нет и любые две прямые будут пересекаться! Ну и, конечно, ещё одно существенное отличие состоит в том, что и точек, и прямых в этой геометрии будет конечное число. Полученную структуру называют проективной плоскостью Фано в честь итальянского математика Джи́но Фа́но (1871–1952).

А сколько будет карточек в колоде для «Доббля», если фигурок на каждой карточке будет не три, а больше — скажем, 8, как в стандартной колоде? Похожим рассуждением можно доказать, что всего карточек с данной фигуркой («точек на прямой») будет тоже 8. Помимо общей фигурки, на каждой из них будет ещё 7 уникальных. То есть всего фигурок будет 8 • 7 + 1 = 57. Столько же будет и карточек в колоде.

Интересно, что хотя в стандартной колоде для «Доббля» 57 фигурок, на практике карточек всего 55. Но причиной этому не какие-то глубокие математические соображения, а более приземлённые: оказывается, 57 круглых карточек нужного диаметра не получилось разместить на стандартном листе картона, из которого они вырезаются, а для 55 нашлось более экономное размещение, при котором оставалось мало обрезков. Поэтому двумя карточками производители решили пожертвовать. Если у вас есть такая колода, попробуйте понять, каких двух карточек не хватает.

А для какого количества фигурок на карточке можно построить набор для игры в «Доббль»? Полный ответ неизвестен! Если число q простое или степень простого числа, можно построить комплект с q + 1 фигурками на карточке (и в нём обязательно будет q² + q + 1 карточек). Например, при q = 7 получится обычная колода из 57 карточек, а при q = 5 — из 31 карточки, с шестью фигурками на каждой. Такие колоды тоже продаются, хотя и встречаются реже, чем стандартные.

А вот если q = 6 или 10, то можно доказать, что такого комплекта не существует (но это совсем не просто!). Что же касается остальных чисел q, не являющихся степенью простого числa, — предположительно для них «проективной плоскости порядка q» (колоды карточек с q + 1 фигурками на карточке) не существует. Однако пока это не доказано даже для q = 12.