«Бог создал целые числа». Глава из книги

Исаак Ньютон

(1642–1727)

Жизнь и труды

Галилео Галилей умер 8 января 1642 г., ровно за 300 лет до моего [Хокинга] рождения. Исаак Ньютон родился на Рождество того же года в английском промышленном городке Вулсторп, графство Линкольншир. Позже он стал профессором математики в Кембриджском университете, кафедру которого я [Хокинг] сейчас занимаю¹.

Мать Ньютона не ожидала, что тот проживет долго, так как родился сильно преждевременно; позже он говорил, что был таким маленьким при рождении, что мог поместиться в кружке чуть больше литра. Отец Ньютона, мелкий землевладелец также по имени Исаак, умер тремя месяцами раньше, и когда Ньютону исполнилось два года, его мать Ханна Эйскоу вторично вышла замуж за Барнабаса Смита, богатого священника из Северного Уитема. Очевидно, в новой семье Смитов не нашлось места для молодого Ньютона, и он был отдан на попечение своей бабушки Марджери Эйскоу. Призрак этого одиночества вкупе с трагедией того, что он никогда не знал отца, преследовал Ньютона всю оставшуюся жизнь. Отчима он презирал; в дневниковых записях за 1662 г. Ньютон вспоминал: «Смит угрожал моему отцу и матери сжечь их и дом над ними».

Как и его зрелость, детство Ньютона было наполнено эпизодами жестоких, мстительных нападок, не только на предполагаемых врагов, но и на друзей и семью. Ньютон рано проявил любознательность, которая определила его будущие достижения. Его интересовали механические модели и архитектурный рисунок. Ньютон проводил дни напролет, конструируя часы (в том числе солнечные), огненных змеев и миниатюрные мельницы (приводимые в действие мышами), а также рисуя сложные эскизы животных и кораблей. В возрасте пяти лет он посещал школы в Скиллингтоне и Стоке, но считался одним из самых бедных учеников, а его учителя утверждали, что он был «невнимательным» и «праздным». Несмотря на свое любопытство и очевидную страсть к науке, он не мог полностью посвятить себя учебе в школе.

К тому времени, когда Ньютону исполнилось 10 лет, Барнабас Смит скончался и Ханна получила значительную сумму из его наследства. Исаак и его бабушка стали жить с Ханной, сводным братом и двумя сводными сестрами. Поскольку учеба в школе его не вдохновляла, в том числе изучение математики, Ханна решила, что Исааку будет лучше управлять фермой и недвижимостью, и она забрала его из бесплатной средней школы в Грэнтеме. К несчастью для нее, у Ньютона было еще меньше навыков и интереса в управлении семейным поместьем, чем в школьных делах. Брат Ханны Уильям, священник, решил, что для семьи будет лучше, если рассеянный Исаак вернется в школу, чтобы закончить образование.

На этот раз Ньютон жил с директором Свободной гимназии Джоном Стоксом, и в его образовании наступил резкий поворот. В одной из историй говорится, что удар по голове, нанесенный школьным хулиганом, каким-то образом просветил его, позволив молодому Ньютону пойти по пути науки. Теперь, демонстрируя интеллектуальные способности и любознательность, Ньютон начал готовиться к дальнейшему обучению в университете. Он решил поступить в Тринити-колледж, альма-матер своего дяди Уильяма, в Кембриджском университете.

В Тринити Ньютон стал субсидированным студентом: начал получать небольшое пособие на оплату своего образования в обмен на выполнение различных домашних обязанностей, таких как обслуживание столов и уборка комнат для преподавателей. Но к 1664 г. он был избран стипендиатом, что гарантировало ему материальную поддержку и освобождало от черновой работы. Когда в 1665 г. университет закрылся из-за бубонной чумы, Ньютон перебрался в Линкольншир. За те полтора года, что он провел дома во время эпидемии, он посвятил себя механике и математике и начал сосредотачиваться на оптике и гравитации. Этот annus mirabilis («чудесный год»), как назвал его Ньютон, был одним из самых продуктивных и плодотворных периодов его жизни. Примерно в это же время, согласно легенде, яблоко упало на голову Ньютона, пробудив его от дремоты под деревом и побудив определить законы гравитации. Как бы ни была неправдоподобна эта история, сам он писал, что падающее яблоко заставило его серьезно задуматься о феномене гравитации. Считается, что именно тогда он провел свои эксперименты с маятником. «Я был в расцвете своих изобретательских способностей, — вспоминал позднее Ньютон, — и больше, чем когда-либо, увлекался математикой и философией».

Вернувшись в Кембридж, Ньютон изучал философию Аристотеля и Декарта, а также науку Томаса Гоббса и Роберта Бойля. Он был увлечен механикой Коперника и астрономией Галилея, а также оптикой Кеплера. У нас мало прямых сведений о математическом образовании Ньютона до его поступления в Кембридж. Первым преподавателем Ньютона в Кембридже был Бенджамин Пуллейн, который позже стал королевским профессором греческого языка. Вскоре Ньютон перешел под опеку Исаака Барроу, выдающегося математика и одного из основателей Королевского общества, который обучал Ньютона, когда тот быстро изучал «Элементы» Евклида. Вслед за этим Ньютон вскоре освоил работы по алгебре Уильяма Оутреда (1574–1660) и Франсуа Виета (1540–1603) и, самое главное, «Геометрию» Декарта.

Примерно в это же время Ньютон начал свои эксперименты с призмами по преломлению и рассеянию света, возможно в своей комнате в Тринити или дома в Вулсторпе. Одним из событий в университете, которое, несомненно, оказало глубокое влияние на будущее Ньютона, был приезд Исаака Барроу, который был назван лукасовским профессором² математики. Барроу признавал выдающиеся математические таланты Ньютона, и когда в 1669 г. он оставил свою профессорскую должность, чтобы заняться теологией, он рекомендовал 27-летнего Ньютона в качестве его замены.

Первые исследования Ньютона на престижнейшей должности лукасовского профессора были сосредоточены в области оптики. Он задался целью доказать, что белый свет состоит из смеси различных типов света, каждый из которых производит различный цвет спектра при преломлении призмой. Серия сложных и точных экспериментов Ньютона, которые доказывали, что свет состоит из мельчайших частиц, вызвала гнев таких ученых, как Гук, утверждавших, что свет распространяется волнами. Гук призвал Ньютона представить дальнейшие доказательства его эксцентричных оптических теорий. Реакция Ньютона ярко отразила черту его характера, которую он так и не изжил по мере взросления. Ньютон просто отступил, но намеревался при каждом удобном случае унижать Гука. Так, Ньютон отказывался издавать книгу Гука «Оптика» до самой смерти Гука в 1703 г.

В начале своего пребывания на посту лукасовского профессора Ньютон активно изучал абстрактную математику, но делился своей работой с немногими из коллег. Уже к 1666 г. Ньютон открыл общие методы решения задач кривизны — то, что он назвал «теориями флюксий³ и обратных флюксий». Это открытие вызвало непримиримую вражду со сторонниками немецкого математика и философа Готфрида Вильгельма Лейбница, который более 10 лет спустя опубликовал свои открытия по дифференциальному и интегральному исчислению. И Ньютон, и Лейбниц пришли к примерно одинаковым математическим принципам, но Лейбниц опубликовал свою работу раньше Ньютона. Сторонники Ньютона утверждали, что Лейбниц видел работы лукасовского профессора много лет назад, и жаркий спор между двумя лагерями, известный как спор о приоритете исчисления, не прекращался до смерти Лейбница в 1716 г. Злобные нападки Ньютона, которые часто касались взглядов на Бога и Вселенную в целом, а также его обвинения в плагиате оставили Лейбница обнищавшим и опозоренным.

Большинство историков науки считают, что эти два человека на самом деле пришли к своим идеям независимо друг от друга и что спор был бессмысленным. Язвительная агрессия Ньютона по отношению к Лейбницу отразилась и на физическом, и на эмоциональном состоянии Ньютона. Вскоре он оказался втянутым в другую битву, на этот раз с английскими иезуитами за свою теорию цвета, и в 1678 г. он перенес тяжелый психический срыв. На следующий год умерла его мать, и Ньютон начал отдаляться от других. Втайне он углубился в алхимию — область, которая уже во времена Ньютона считалась бесплодной. Этот эпизод в жизни ученого был источником смущения для многих студентов Ньютона. Лишь спустя много лет после смерти Ньютона стало ясно, что его интерес к химическим экспериментам был связан с более поздними исследованиями в области небесной механики и гравитации.

К 1666 г. Ньютон уже начал работу над теориями о движении, но он был еще не в состоянии адекватно объяснить механику кругового движения. Около 50 лет назад немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер предложил три закона движения планет, которые точно описывали, как планеты движутся по отношению к Солнцу, но он не мог объяснить, почему планеты движутся именно таким образом. Ближе всего к пониманию этих сил Кеплер подошел, когда сказал, что Солнце и планеты «магнитно» связаны.

Ньютон задался целью выяснить причину эллиптичности планетных орбит. Применив свой собственный закон центростремительной силы к третьему закону движения планет Кеплера (гармонический закон), он вывел закон обратных квадратов. Этот закон утверждает, что сила тяжести между любыми двумя объектами обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами этих объектов. Таким образом, Ньютон пришел к пониманию того, что гравитация универсальна. Другими словами, одна и та же сила заставляет и яблоко падать на землю, и Луну мчаться вокруг Земли. Затем он решил проверить соотношение обратных квадратов на известных данных. Он согласился с оценкой Галилея, что расстояние Луны от Земли составляет 60 земных радиусов, но неточность его собственной оценки диаметра Земли не позволяла завершить решение этой задачи к его удовлетворению. По иронии судьбы, именно обмен письмами в 1679 г. со своим старым противником Гуком вновь пробудил интерес Ньютона к этой проблеме. На этот раз Ньютон обратил внимание на второй закон Кеплера, закон равных площадей, правильность которого он смог доказать, использовав центростремительную силу. Гук тоже пытался объяснить орбиты планет, и некоторые из его писем по этому поводу представляли особый интерес для Ньютона.

На печально известном собрании в 1684 г. три члена Королевского общества — Роберт Гук, Эдмонд Галлей и Кристофер Рен, знаменитый архитектор собора Святого Павла, — вступили в жаркую дискуссию о соотношении обратных квадратов, определяющем движение планет. В начале 1670-х гг. в кофейнях Лондона и других интеллектуальных центрах ходили разговоры о том, что гравитация исходит от Солнца во всех направлениях и падает со скоростью, обратной квадрату расстояния, таким образом становясь все более и более «разбавленной» на поверхности сферы по мере ее расширения. Встреча 1684 г. была, по сути, рождением Principia («Математические начала натуральной философии»). Гук заявил, что он вывел из закона эллипсов Кеплера доказательство того, что гравитация — это исходящая сила, но будет скрывать это от Галлея и Рена до тех пор, пока не будет готов обнародовать его. Разъяренный Галлей отправился в Кембридж, рассказал Ньютону о притязаниях Гука и предложил следующую задачу: «Какова была бы форма орбиты планеты вокруг Солнца, если бы она была притянута к Солнцу силой, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния?» Ответ Ньютона был ошеломляющим. «Это будет эллипс», — немедленно ответил он, а затем сказал Галлею, что он решил эту проблему четыре года назад, но потерял доказательство в своем кабинете.

По просьбе Галлея Ньютон потратил три месяца на восстановление и усовершенствование доказательства. Затем, в порыве энергии, продолжавшемся в течение полутора лет, в течение которых он был так поглощен своей работой, что часто забывал поесть, Ньютон развивал эти идеи до тех пор, пока их изложение не заполнило три тома. Он выбрал название Philosophiae naturalis principia mathematica («Математические начала натуральной философии»), намеренно противопоставляя его декартовским Principia philosophiae. Три книги «Начал» Ньютона обеспечивали связь между законами Кеплера и физическим миром. Галлей отнесся к открытиям Ньютона с «радостью и изумлением». Галлею казалось, что лукасовский профессор преуспел там, где все остальные потерпели неудачу, и он лично финансировал публикацию этого огромного труда как шедевра и подарка человечеству.

Галилей показал, что объекты «притягиваются» к центру Земли, Ньютон же пошел дальше и смог доказать, что та же самая сила — гравитация — влияет на орбиты планет. Ньютон также был знаком с работами Галилея о движении снарядов и утверждал, что орбита Луны вокруг Земли подчиняется тем же принципам. Ньютон доказал, что гравитация объясняет и предсказывает движение Луны, а также подъем и спад приливов и отливов на Земле. Первая книга «Начал» охватывает три закона движения Ньютона:

1. Всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерно движется по прямой линии, если только оно не вынуждено изменить это состояние силами, приложенными к нему.
2. Изменение движения пропорционально приложенной движущей силе и совершается в направлении прямой линии, в которой эта сила приложена.
3. Всякому действию всегда противостоит равное противодействие; или взаимные действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные стороны.

Вторая книга начиналась для Ньютона как нечто запоздалое по отношению к первой книге; она не была включена в первоначальный план работы. Это, по существу, трактат по механике жидкости, и он позволил Ньютону проявить свою математическую изобретательность. Ближе к концу книги Ньютон приходит к выводу, что вихри, описанные в свое время Декартом для объяснения движения планет, не выдерживают тщательной критики, поскольку движение может быть выполнено в свободном пространстве без вихрей. Как это происходит, писал Ньютон, «может быть понято из первой книги; и теперь я более полно рассмотрю это в следующей книге».

В третьей своей книге, озаглавленной «Система мира», Ньютон применил законы движения из первой книги к физическому миру и пришел к заключению, что «существует сила тяготения, действующая на все тела, пропорциональная нескольким количествам вещества, которые они содержат». Таким образом, Ньютон доказал, что его закон всемирного тяготения может объяснить движение шести известных планет, а также лун, комет, равноденствий и приливов. Этот закон гласит, что все вещества взаимно притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Ньютон с помощью единого свода законов объединил Землю со всем, что можно увидеть в небе. В первых двух «Правилах здравого смысла» из третьей книги Ньютон писал:

«Мы должны признавать не больше причин естественных вещей, чем те, которые одновременно истинны и достаточны для объяснения их явлений. Поэтому мы должны, насколько это возможно, приписывать одни и те же естественные следствия одним и тем же причинам».

Это второе правило, которое действительно объединяет небо и землю. Аристотель утверждал бы, что небесные и земные движения — это явно не одно и то же естественное явление, и что второе правило Ньютона, следовательно, не может быть применено. Ньютон видел вещи иначе. «Начала» получили умеренную похвалу при ее издании в 1687 г., но было напечатано всего примерно 500 экземпляров первого издания. Однако заклятый враг Ньютона Роберт Гук угрожал испортить любое чествование Ньютона. После выхода второй книги Гук публично заявил, что письма, написанные им в 1679 г., содержали научные идеи, жизненно важные для открытий Ньютона. Претензии Гука, хотя и не лишенные оснований, были отвратительны Ньютону, который поклялся отложить или даже отказаться от публикации третьей книги. Ньютон в конце концов смягчился и опубликовал последнюю книгу «Начал», но не раньше, чем тщательно удалил из нее все упоминания имени Гука.

Работы Ньютона по интегральному и дифференциальному исчислению можно найти в его записных книжках с середины 1660-х гг. Однако сам Ньютон никогда не публиковал чисто математического текста. Только во второй половине XX в. была опубликована значительная часть его математических работ. Ньютон дал современникам представление о своих открытиях в области исчисления в первом разделе первой книги «Начал». Он назвал этот раздел «Метод первого и последнего отношения величин, с помощью которого мы демонстрируем нижеследующие положения». В этом разделе (включенном в эту книгу) Ньютон представляет 11 лемм о первом и последнем соотношениях, которые позволят ему взаимозаменяемо использовать фигуры, построенные с кривыми, и соответствующие фигуры, построенные из прямых линий.

В первой лемме Ньютон доказывает, что

«Величины и соотношения величин, которые в любое конечное время непрерывно сходятся к равенству и к концу этого времени приближаются друг к другу ближе, чем на какую-либо данную разницу, становятся в конечном счете равными».

Он доказывает это в очень простой манере, которая на два столетия предвосхищает метод Вейерштрасса «эпсилон-дельта». Если величины и соотношения в конечном счете не станут равными, то окончательно они будут иметь некоторую конечную разность D и они не могут в конечном счете приблизиться друг к другу ближе, чем эта разность D! Заметьте, что Ньютон формулирует это утверждение в терминах изменения во времени. Учитывая стиль изложения «Начал», работы по физической науке, это вряд ли должно удивить.

За два тысячелетия до Ньютона Архимед доказал теоремы о площади конкретных геометрических объектов, таких как окружность, вписывая и описывая многоугольники вокруг объекта. Во второй лемме Ньютон берет пример с Архимеда и распространяет этот метод на произвольную кривую, вписывая и описывая прямоугольники вокруг участков кривой и демонстрируя, что вписанные и описанные фигуры, составленные из этих вписанных и описанных прямоугольников, имеют области, которые имеют конечное отношение равенства.

Ньютон предлагает читателю рассмотреть произвольную кривую относительно прямой линии, представленной здесь как AE, которую он делит на равные части AB, BC, CD и т. п., которые будут уменьшены до бесконечности. Затем он строит прямоугольники, такие как AKbB, вписанные в сегмент кривой, и AalB, описанный примерно вокруг сегмента кривой. Он отмечает, что разность площадей этих прямоугольников равна площади прямоугольника aKbl и что сумма площадей этих «разностных» прямоугольников есть просто площадь первого описанного прямоугольника AalB! И тогда Ньютон завершает доказательство, отмечая, что длина основания AB прямоугольника AalB уменьшается до бесконечно малой (инфинитизимальной) величины, так что площадь прямоугольника AalB «становится меньше, чем любая заданная область пространства». Следовательно, площади вписанных и описанных фигур «становятся в конечном счете равными друг другу», а также области, описываемой криволинейной фигурой!

Ньютон немедленно использовал свои леммы в первом предложении, которое он демонстрирует в «Началах»: кеплеровский закон площадей!

В комментариях к первому разделу Ньютон приводит некоторые опасения, которые вскоре будут высказаны и критиками. Он пишет, что величины, которые сами исчезают до нуля, не могут иметь конечной пропорции, поскольку они же исчезают до нуля. Ньютон дает ответ, сравнивая конечные соотношения со скоростью тела в определенной точке пространства. В своих рассуждениях, восходящих к древним грекам, Ньютон указывает, что тело, безусловно, не находится в покое в тот момент, когда оно находится в определенном месте. Напротив, оно имеет определенную конечную скорость в тот момент, когда оно находится в определенном месте, точно так же, как величины, которые исчезают до нуля, могут иметь конечное отношение друг к другу, сами исчезая при этом до нуля:

«Ибо те предельные соотношения, с которыми исчезают величины, на самом деле не являются отношениями предельных величин, а ограничениями, к которым они приближаются ближе, чем к какой-либо данной разнице, но никогда не выходят за пределы и фактически не достигают, пока величины не уменьшатся в бесконечной малости».

Ньютон встретил XVIII в. на правительственной должности смотрителя Королевского монетного двора, где он использовал свои работы в области алхимии для определения методов восстановления веса английской национальной валюты. Как президент Королевского общества, он продолжал сражаться с предполагаемыми врагами с неумолимой решимостью, в частности продолжая свою давнюю вражду с Лейбницем, — из-за их конкурирующих претензий на изобретение исчисления. Ньютон был посвящен в рыцари королевой Анной в 1705 г. и дожил до публикации второго и третьего изданий «Начал».

Ньютон иногда утверждал, что он вывел многие из основных положений «Начал», используя свои открытия в области исчисления. Он сделал одно такое заявление в неопубликованном предисловии к «Началам», которое составил около 1715 г. В конце концов этот вариант вышел в печать в анонимно опубликованной в 1722 г. рецензии на книгу, оценивающую его и Лейбница претензии на изобретение исчисления. Он написал:

«С помощью нового анализа господин Ньютон объяснил большую часть положений своих "Начал" ; но поскольку древние с целью представить вещи определенными ничего не допускали в геометрию до того, как она была бы искусственно продемонстрирована, то и он продемонстрировал положения искусственно, показав, что система небес может быть основана на правильной геометрии. И теперь для неискушенных людей это затрудняет понимание анализа, посредством которого были обнаружены эти предложения».

Недавний научный анализ записных книжек Ньютона показал, что нет ни малейшего подтверждения его экстравагантным заявлениям о приоритете открытия исчисления для себя, а не для своего главного соперника Лейбница.

Исаак Ньютон умер в марте 1727 г., после приступов воспаления легких и подагры. Как он и хотел, у Ньютона не было соперников в области науки. Человека, который, по-видимому, имел очень мало романтических связей с женщинами, нельзя, однако, обвинить в отсутствии страсти к своей работе. Поэт Александр Поуп, современник Ньютона, наиболее изящно описал дар великого мыслителя человечеству:

«Nature and Nature’s laws lay hid in night:
"God said, Let Newton be!" and all was light» ⁴

Несмотря на мелочные споры и неоспоримое высокомерие, которые сопровождали его жизнь до самой смерти, Исаак Ньютон оказался удивительно проницательным в оценке своих достижений: «Я не знаю, каким я могу показаться миру, но самому себе я кажусь всего лишь мальчиком, играющим на морском берегу и развлекающимся тем, что время от времени нахожу более гладкий камешек или особенно красивую раковину, в то время как лежащий передо мной великий океан истины таит в глубинах неизведанное».

О движении тел

Книга I. Отдел I

О методе первых и последних отношений, при помощи которого последующее доказывается

Лемма I. Количества, а также отношения количеств, которые в продолжение любого конечного времени постоянно стремятся к равенству и ранее конца этого времени приблизятся друг к другу ближе, нежели на любую заданную разность, будут в пределе равны.

Если это отрицаешь, то пусть они в пределе будут неравны и их предельная разность пусть будет D, следовательно, они не могут ближе подойти к равенству, как до этой заданной разности D, в противность предположению.

Лемма II. Если в какую-либо фигуру АасЕ, ограниченную прямыми Аа и AE и кривою асЕ, вписывать любое число параллелограммов Аb, Вс, Cd и т. п., имеющих равные основания АB, BС, СB и т. п. и стороны Bb, Сс, Dd и т. п., параллельные стороне Аа фигуры, и дополнить параллелограммы аKbl, Blcm, cMdm и т. п., затем, уменьшая ширину этих параллелограммов, увеличивать их число до бесконечности, то я утверждаю, что в пределе отношения вписанной фигуры AKbLcMdD, описанной AalbmcndoE и криволинейной AdbcdE, друг к другу равны единице.

Фигура 6

Разность вписанной и описанной фигуры есть сумма параллелограммов Kl, Lm, Mn, ...(фигура 6), которая (вследствие равенства всех оснований) равна прямоугольнику, построенному на одном из оснований Kb, и сумме высот Aа, т. е. прямоугольнику ΑΒla. Но этот прямоугольник, так как его ширина AB уменьшается бесконечно, может быть сделан менее любой заданной величины. Следовательно (по лемме I), в пределе фигура вписанная, фигура описанная и тем более заключающаяся между ними криволинейная будут между собою равны.

Лемма III. Предельные отношения тех же сумм параллелограммов равны единице и в том случае, когда ширины их AB, BС, CD,... не равны между собою, но все уменьшаются бесконечно.

Пусть AF равно наибольшей из ширин l и на ней построен параллелограмм AFaf. Этот параллелограмм будет больше разности фигуры вписанной и фигуры описанной; при бесконечном же уменьшении ширины его площадь может быть сделана менее площади любого заданного прямоугольника.

Следствие 1. Таким образом в пределе сумма этих исчезающих параллелограммов вполне совпадает с площадью криволинейной фигуры.

Следствие 2. В еще большей мере прямолинейная фигура, ограниченная хордами дуг ab, bс, cd и т. п., совпадает с криволинейною фигурою.

Следствие 3. То же самое относится и к описанной прямолинейной фигуре, ограниченной касательными к сказанным дугам.

Следствие 4. Поэтому эти две последние фигуры (по отношению к периметру асЕ) в пределе не суть прямолинейные, но составляют криволинейный предел прямолинейных фигур.

Лемма IV. Если в каждую из двух фигур AасЕ и РрrТ вписать (как указано выше) ряд параллелограммов так, что число их то же самое, и если при бесконечном уменьшении ширин пределы отношений площадей параллелограммов фигуры одной к параллелограммам другой, каждого к ему соответствующему, между собою равны, то я утверждаю, что и самые фигуры AacΕ и РрrТ находятся в том же отношении.

В самом деле, в каком отношении находится каждый из параллелограммов одной фигуры (фигура 7) к ему соответствующему другой, в том же отношении друг к другу находятся и суммы всех их, т. е. площадь одной фигуры к площади другой, ибо по лемме III пределы отношений площади первой фигуры к первой сумме и площади второй ко второй сумме равны единице.

Фигура 7

Следствие. Совершенно так же докажется, что если вообще две какого угодно рода величины будут разделены на одинаковое число частей и, при бесконечном возрастании числа их и уменьшении каждой из них, отношение их соответственно друг к другу, т. е. первой к первой, второй ко второй и т. п., остается постоянным, то и самые величины будут находиться в этом же отношении. Ибо если в относящихся к этой лемме фигурах взять параллелограммы так, чтобы они были пропорциональны сказанным частям, то суммы частей будут относиться между собою как суммы параллелограммов, и следовательно, когда число частей и число параллелограммов будет бесконечно возрастать, а самые части уменьшаться, то предельное отношение сумм частей будет оставаться равным предельному отношению сумм параллелограммов, это же отношение равно отношению каждого параллелограмма к ему соответствующему, т. е. (по предположению) пределу отношения части к части.

Лемма V. У подобных фигур длины соответствующих сторон, как прямолинейные, так и криволинейные, между собою пропорциональны, площади же фигур пропорциональны квадратам сторон.

Лемма VI. Если какая угодно заданная по положению дуга ACB стягивается хордою AB и в какой-либо ее точке A, лежащей в области непрерывной кривизны, проведена касательная AD, продолженная в обе стороны и если точки A и B приближаются друг к другу и совпадают, то я утверждаю, что угол ΒΑD, заключенный между хордою и касательной, уменьшается бесконечно и в пределе исчезает.

Фигура 8

Ибо если бы этот угол не исчезал, то между дугою ACB и касательной AD заключался бы угол, равный некоторому данному прямолинейному углу (т. е. конечной величины), и следовательно, кривизна в точке A не была бы непрерывною, в противность предположению (фигура 8).

Лемма VII. При тех же предположениях я утверждаю, что предельное отношение дуги, хорды и касательной друг к другу равно единице.

Когда точка B приближается к A (фигура 8), то AB и AD следует рассматривать продолженными до постоянной прямой bd, параллельно которой и проводится секущая BD.

Пусть дуга Acb подобна дуге ACB при всяком положении точки B. При совмещении точек A и B угол dAb, по предыдущей лемме, исчезает, следовательно, остающиеся постоянно конечными прямые Ab и Ad и промежуточная дуга Aсb совпадают и поэтому равны между собою, значит, и постоянно им пропорциональные прямые AB, AD и промежуточная дуга ACB, исчезающие в пределе, будут иметь своим предельным отношением единицу.

Следствие 1. Если через точку B провести прямую BF (фигура 9) параллельно касательной, пересекающую какую-либо прямую AF, проведенную через A в точке F, то предельное отношение длины BF к исчезающей дуге ACB равно единице, ибо дополнив параллелограммы AFBB, видим, что BF постоянно равно AB.

Фигура 9

Следствие 2. Если через точки A и B проводить различные прямые ΒE, BD, AF, AG, пересекающие касательную AB и параллельную ей BF, то предельное отношение всех отрезков AD, AE, BF, BG, хорды AB и дуги AB друг к другу равно единице.

Следствие 3. Ввиду этого все эти длины, при всяком рассуждении о пределах отношений, могут быть взяты одна вместо другой.

Лемма VIII. Если задана прямая AR и направление прямой BR, то хорда AB, дуга АCB и касательная AB образуют с прямыми AR и BR три треугольника, RAB, RACB, RAD, если затем точка B будет приближаться к A и совпадет с нею, то я утверждаю, что в пределе эти три исчезающие треугольника между собою равны и предельное отношение их площадей равно единице.

Ибо когда точка B приближается к A (фигура 8), то надо рассматривать, что прямые AB, AD и АR продолжены до встречи с постоянной прямой rbd, параллельно которой и проводится RD, дуге же ACB строится подобная дута Aсb. Когда точки A и B совпадают, то угол bAd исчезает, и следовательно, три остающихся постоянно конечными треугольника rAb, rAсb, rAd совпадают, ввиду чего они подобны и равны. Поэтому и постоянно им подобные треугольники RAB, RACB, RAD будут в пределе между собою равны и подобны.

Следствие. Следовательно, во всех рассуждениях о пределе отношений эти треугольники могут быть взяты один на место другого.

Лемма IX. Если заданные по положению прямая AE и кривая ABC пересекаются под данным углом А, и от прямой AE проводятся внутри этого угла ординаты BB, CE, пересекающие кривую в точках D и C, и точки B и C совместно приближаются к A, то я утверждаю, что площади треугольников ABD и ACE будут в пределе относиться друг к другу как квадраты сторон.

Фигура 10

Как и в предыдущем, надо подразумевать, что когда точки B и C (фигура 10) приближаются к A, то AB продолжается до заданных прямых db и ес, параллельных ординатам DB и EC и проведенных так, чтобы постоянно было

AD : AE = Ad : Ae.

До встречи с этими же прямыми в точках b и с продолжаются и хорды AB и AC. Проводим кривую Abc, подобную ABC и касательную Ag к обеим кривым в точке A. Пусть эта касательная пересекает ординаты в точках F, G, f, g. Сохраняя затем длину Aе неизменной, приближаем точки B и C к точке A до совмещения с нею. Так как в пределе угол сAg исчезает, то криволинейные площади Abd, Aсе совпадут с прямолинейными Afd, Agе, следовательно (по лемме V), они будут относиться как квадраты сторон Ad и Aе. Но этим площадям постоянно пропорциональны площади ABD, ACE, и стороны их AB и AE пропорциональны сторонам Ad и Aе, следовательно, и площади ABD и ACE будут в пределе относиться между собой как квадраты сторон AD и AE.

Лемма X. Пространства, описываемые телом, находящимся под действием какой-либо конечной силы, будет ли эта сила постоянная или же она будет непрерывно увеличиваться или уменьшаться, при самом начале движения пропорциональны квадратам времен их описания.

Пусть времена представляются длинами AD, AE (фигура 10), скорости, производимые силой, — ординатами BD, ЕC, тогда пространства будут пропорциональны площадям ABD, ACE, описанным этими ординатами, т. е. при самом начале движения, по лемме IX, они пропорциональны квадратам AD и AE.

Следствие 1. Отсюда легко заключить, что когда тела описывают подобные части подобных фигур, то отклонения, производимые действием каких бы то ни было равных сил, вновь подобным образом приложенных к телам, приблизительно пропорциональны квадратам времени; при этом эти отклонения надо измерять от тех мест, в которые сказанные тела пришли бы в течение рассматриваемых промежутков времени без действия этих новых сил.

Следствие 2. Отклонения, производимые при вышесказанных условиях различными силами, пропорциональны этим силам и квадратам времени.

Следствие 3. То же самое относится и к пространствам, описываемым телами под действием различных сил: в самом начале движения эти пространства также пропорциональны силам и квадратам времени.

Следствие 4. Следовательно, силы прямо пропорциональны пространствам при самом начале движения и обратно пропорциональны квадратам времени их описания.

Следствие 5. Квадраты времени прямо пропорциональны пройденным пространствам и обратно пропорциональны силам.

Поучение

Если разного рода переменные величины сравниваются между собою и про какую-нибудь из них говорят, что она прямо или обратно пропорциональна другой, то смысл этого выражения тот, что первая величина увеличивается или уменьшается в том же самом отношении, как вторая или как величина, ей обратная.

Если же про какую-нибудь из этих величин сказано, что она прямо или обратно пропорциональна двум или нескольким другим, то смысл этого выражения тот, что первая или увеличивается, или уменьшается в отношении, равном произведению отношений, в которых прочие или им обратные увеличиваются или уменьшаются.

Так, если сказано, что A прямо пропорционально B и C и обратно пропорционально D, то смысл этого тот, что A увеличивается или уменьшается в том же отношении, как \(B⋅C⋅\dfrac{1}{D},\) т. е. что величины A и \(\dfrac{BC}{D},\) находятся друг к другу в постоянном отношении.

Лемма XI. Расстояние от конца дуги до касательной, проведенной в ее начале, при бесконечном уменьшение дуги для всех кривых, коих кривизна в точке касания конечная, пропорционально в пределе квадрату ее хорды.

Фигура 11

Случай 1. Пусть AB (фигура 11) — рассматриваемая дуга, AD — ее касательная вначале, BD — расстояние от точки B до касательной. Проведем к касательной AD и к хорде AB перпендикуляры AG и BG, пересекающиеся в G, пусть затем точки B, D, G перешли в b, d, g; и пусть, наконец, J есть предельное положение точки G — пересечения прямых AG и BG, когда точки B и D сольются с A.

Очевидно, что расстояние GJ может быть сделано меньше всякой наперед назначенной величины.

По свойству кругов, проходящих через точки A, B, G и A, b, g, будет \[AB^2=AG\cdot BD \text{ и } Ab^2=Ag\cdot bd,\] следовательно, \(\dfrac{AB^2}{Ab^2}=\dfrac{AG}{Ag}\cdot \dfrac{BD}{bd}.\)

Но так как GJ может быть сделано меньше всякой наперед заданной величины, то можно сделать так, что отношение \(\dfrac{AG}{Ag}\) будет отличаться от единицы менее чем на любую заданную величину, следовательно, и отношение \(\dfrac{AB^2}{Ab^2}\) будет отличаться от \(\dfrac{BD}{bd}\) менее чем на любую заданную величину, и значит, по лемме I, пределы отношений \(\dfrac{AB^2}{ab^2}\) и \(\dfrac{BD}{bd}\) равны.

Случай 2. Положим теперь, что BD наклонено к AB под каким-либо постоянным углом, отношение BD к bd будет в пределе то же самое, т. е. равно пределу отношения \(AB^2\) к \(Ab^2\).

Случай 3. Наконец, в том случае, когда угол D — переменный, но прямая BD или проходит через постоянную точку, или строится по какому-либо определенному закону, то углы D и d, строимые также по одному и тому же закону, при приближении точек B и D к точке A стремятся к равенству, и так как разность их может быть сделана меньше любой наперед назначенной величины, то эти углы в пределе равны; и следовательно, длины BD и bd будут находиться по-прежнему в том же отношении, как квадраты хорд.

Следствие 1. Так как тангенсы AD и Ad дуги AB и Ab и их синусы BC и bс в пределе равны хордам AB и Ab, то предельное отношение их квадратов равно отношению затяжек BD и bd.

Следствие 2. Предельное отношение квадратов хорд и прочих упомянутых выше длин равно отношению стрелок, разделяющих хорды дуг пополам и проходящих по продолжению через постоянную точку, ибо эти стрелки пропорциональны затяжкам BD и bd.

Следствие 3. Поэтому стрелки пропорциональны квадратам времен описания их дуг телами, движущимися с постоянною скоростью.

Следствие 4. Площади прямолинейных треугольников Adb, ADB в пределе находятся в отношении кубов сторон AD и Ad или в отношении \(\left(\dfrac{DB}{db}\right)^\frac{3}{2},\) ибо отношение этих площадей равно произведению отношений \(\dfrac{AB}{Ab}\cdot \dfrac{BD}{bd}\). Точно так же и треугольники ABC и Abс в пределе относятся как кубы сторон BC и bс.

Следствие 5. Так как в пределе DB и db параллельны и длины их пропорциональны квадратам абсцисс Ad и AD, то в пределе криволинейные площади ADB и AdB (по свойству параболы) составляют по две трети площадей треугольников ADB и Adb, сегмент же AB и Ab — по одной трети тех же площадей; следовательно, эти сегменты пропорциональны кубам касательных, хорд и дуг AB и Ab.

Поучение

Во всех предыдущих выводах предполагалось, что «угол касания или соприкосновения» не бесконечно велик и не бесконечно мал по сравнению с углом касания круга со своими касательными, т. е. что кривизна кривой в точке A не бесконечно малая и не бесконечно большая, иначе — что длина AJ конечная. Действительно, можно взять кривую, у которой DB пропорционально \(AD^3\); в таком случае через точку A нельзя провести круга между кривою и касательной, ибо угол касания для этой кривой в этой точке бесконечно мал по сравнению с углом касания для круга. По подобной же причине, если DB будет пропорционально \(AD^4\),\(AD^5\),\(AD^6\),\(AD^7\) и т. п., то получится беспредельный ряд таких углов касания, из которых каждый последующий бесконечно мал по отношению к предыдущим. Точно так же, если DB будет пропорционально \(AD^2\), \(AD^\frac{3}{2}\), \(AD^\frac{4}{3}\), \(AD^\frac{5}{4}\) и т. п., то получится другой беспредельный ряд углов касания, из которых первый такого же рода, как у круга, второй бесконечно больше и вообще всякий последующий бесконечно больше предыдущих. Но и между любыми двумя из этих углов соприкосновения можно включить беспредельный ряд других, из коих каждый последующий будет или бесконечно больше, или бесконечно меньше предыдущего. Так, между \(AD^2\) и \(AD^3\) можно включить ряд \(AD^\frac{13}{6}\), \(AD^\frac{11}{5}\), \(AD^\frac{9}{4}\), \(AD^\frac{7}{3}\), \(AD^\frac{5}{2}\), \(AD^\frac{8}{3}\), \(AD^\frac{14}{5}\), \(AD^\frac{14}{5}\), \(AD^\frac{17}{6}\), и т. п. Далее между любыми двумя членами этого ряда можно включить новый ряд промежуточных углов, бесконечно различных между собою. Природа не терпит ограничений.

Доказанное относительно кривых линий и ограниченных ими площадей легко прилагается к кривым поверхностям и объемам.

Предыдущие леммы приведены, чтобы избежать утомительности длинных доказательств, основываясь по образцу древних на приведении к нелепости.

Доказательства делаются более краткими и при помощи способа неделимых, но так как самое представление неделимых грубовато (durior), то этот способ представляется менее геометричным, почему я и предпочел сводить доказательства всего последующего к пределам сумм исчезающих количеств и к пределам их отношений; поэтому я и предпослал сколь можно краткие доказательства свойств этих пределов. Способом пределов достигается то же, что и способом неделимых, и после того как его основания доказаны, мы можем им пользоваться с еще большей уверенностью. Поэтому если во всем последующем изложении я и рассматриваю какие-либо величины как бы состоящими из постоянных частиц, или если я принимаю за прямые линии весьма малые части кривых, то следует понимать, что это не неделимые, а исчезающие делимые величины, что это не суммы и не отношения определенных конечных частей, а пределы сумм и пределы отношений исчезающих величин, и сущность этих доказательств в том и состоит, чтобы все приводить к предыдущим леммам.

Делают возражение, что для исчезающих количеств не существует «предельного отношения», ибо то отношение, которое они имеют ранее исчезания, не есть предельное, после же исчезания нет никакого отношения. Но при таком и столь же натянутом рассуждении окажется, что у тела, достигающего какого-либо места, где движение прекращается, не может быть «предельной» скорости, ибо та скорость, которую тело имеет ранее, нежели оно достигло этого места, не есть «предельная», когда же достигло, то нет скорости. Ответ простой: под «предельною» скоростью надо разуметь ту, с которой тело движется не перед тем, как достигнуть крайнего места, где движение прекращается, и не после того, а когда достигает, т. е. именно ту скорость, обладая которой тело достигает крайнего места и при которой движение прекращается. Подобно этому под предельным отношением исчезающих количеств должно подразумеваться отношение количеств не перед тем, как они исчезают, и не после того, но при котором исчезают. Точно так же и предельное отношение зарождающихся количеств есть именно то, с которым они зарождаются. Предельная сумма зарождающихся или исчезающих количеств есть та составленная из них сумма, когда они, увеличиваясь или уменьшаясь, только начинают или прекращают быть. Существует такой предел, которого скорость в конце движения может достигнуть, но не может превзойти, это и есть предельная скорость. Такова же причта существования предела отношения зарождающихся или исчезающих количеств и пропорций. Когда такой предел существует и величина его вполне определенная, то его нахождение есть задача истинно геометрическая.

Все же геометрическое может быть законным образом применяемо при геометрических изысканиях и доказательствах.

Можно возразить, что если существуют предельные отношения исчезающих количеств, то существуют и предельные величины их самих, и следовательно, всякое количество должно состоять из неделимых, что опровергнуто Евклидом в книге X «Элементов», в учении о несоизмеримых величинах. На самом же деле это возражение основано на неверном допущении.

Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пределов этих количеств, а суть те пределы, к которым при бесконечном убывании количеств приближаются отношения их и к которым эти отношения могут подойти ближе, нежели на любую наперед заданную разность, но которых превзойти или достигнуть на самом деле не могут, ранее чем эти количества уменьшатся бесконечно. Дело объясняется проще на бесконечно больших величинах. Если две величины, разность которых задана, будут обе увеличиваться до бесконечности, то между ними существует предельное отношение, которое равно единице, однако нет предельных значений для самих величин, т. е. таких наибольших их значений, отношение которых как раз было бы равно единице. Поэтому если в последующем для простоты речи я буду говорить о величинах весьма малых, или исчезающих, или зарождающихся, то не следует под этими словами разуметь количества определенной величины, но надо их рассматривать как уменьшающиеся бесконечно.

¹ С. Хокинг скончался 14 марта 2018 г. — Прим. изд.

² Именная профессура в Кембриджском университете. Одна из самых престижных академических должностей в мире. Учреждена в 1663 г. Генри Лукасом (1610–1663), английским священником и политиком. — Прим. изд.

³ Устаревшее название производной функции.

⁴ Был этот мир извечной тьмой окутан / «Да будет свет!» — И вот явился Ньютон (перевод-парафраз С. Я. Маршака).