«Эта странная математика». Отрывок из книги

Глава 4. Порядок на грани хаоса (отрывок)

Поищите в словаре синонимы к слову «хаос» — и найдете «неразбериху», «беззаконие» и «анархию». Но тот хаос, который изучают математики и другие ученые в рамках относительно нового научного направления, называемого теорией хаоса, — совсем другое дело. В нем нет места бесчинствам и вседозволенности. Напротив, он подчиняется строгим законам, его наступление предсказуемо, а поведение проявляется в виде изысканных геометрических узоров. Цифровая передача данных, моделирование электрохимических процессов в нервных клетках, гидроаэродинамика — это лишь немногие области, в которых находит практическое применение теория хаоса.

Но мы подойдем к теме главы окольным, более живописным путем и для этого зададим обезоруживающе простой вопрос: какова длина побережья Великобритании? Именно его вынес в заголовок своей статьи, опубликованной в 1967 году в журнале Science, французско-американский математик польского происхождения Бенуа Мандельброт, теоретик в исследовательском центре IBM имени Томаса Джона Уотсона. Казалось бы, ничего сложного — нужно просто точно измерить длину береговой линии, вот и все. На деле же результат будет зависеть от масштаба измерения, причем измеренная длина может увеличиваться неограниченно (то есть она не сходится к какому-то постоянному значению) — или, по крайней мере, до тех пор, пока масштаб не достигнет атомного. Впервые странный вывод о том, что береговая линия острова, страны или континента не имеет строго определенной длины, озадачил английского математика и физика Льюиса Фрая Ричардсона за несколько лет до того, как над ним всерьез задумался Мандельброт.

Будучи пацифистом, которого интересовали теоретические корни международных конфликтов, Ричардсон пытался понять, зависит ли вероятность войны между двумя странами от протяженности их общей границы. Изучая эту проблему, он обратил внимание на существенные расхождения в длине пограничной линии, указываемой в разных источниках. Например, по данным испанских властей, длина испанско-португальской границы составляла 987 километров, а португальцы оценивали ее в 1214 километров. Ричардсон понял, что такое расхождение в измерениях — не обязательно ошибка, а может объясняться тем, что в расчетах использовались разные «мерки», то есть минимальные единицы длины. Попробуйте измерить расстояние между двумя точками на изрезанном бухтами берегу или вдоль извилистой пограничной линии воображаемой гигантской линейкой длиной в 100 километров, и оно получится меньше, чем если бы линейка была половинной длины. Чем короче линейка, тем более мелкие извилины она может учитывать при измерении, включая их длину в конечный ответ. Ричардсон продемонстрировал, что при последовательном укорачивании «линейки» (то есть единицы измерения) длина извилистой береговой или пограничной линии увеличивается неограниченно. Очевидно, измеряя протяженность испанско-португальской границы, португальцы использовали более короткую меру длины.

В 1961 году, когда Ричардсон опубликовал результаты своих исследований, мало кто обратил внимание на его удивительное открытие, сейчас называемое эффектом Ричардсона или парадоксом береговой линии. Но теперь оно видится нам важным вкладом в развитие удивительной новой области математики, которую Мандельброт, человек, прославивший ее, в итоге назвал «прекрасной, чертовски трудной и с каждым днем все более ценной». В 1975 году Мандельброт придумал название для странных штуковин, ставших объектом изучения этой новой дисциплины: фракталы. Фрактал — это нечто (например, кривая или пространство), имеющее дробную размерность.

Чтобы заслужить звание фрактала, фигуре нужно всего лишь иметь сложную структуру в любом масштабе, сколь бы крупным он ни был. Подавляющее большинство кривых и геометрических фигур в математике — не фракталы. Окружность, например, нельзя считать фракталом потому, что, если постепенно увеличивать часть составляющей ее кривой, она будет все больше и больше походить на прямую линию, после чего, сколько ее ни приближай, ничего нового уже не увидишь. Квадрат — тоже не фрактал. При увеличении его углы не меняют свою структуру, а все остальное выглядит как прямые линии. Чтобы быть фракталом, мало иметь сложную структуру в одной точке или даже во множестве (конечном множестве) точек; структура должна быть сложной во всех точках. То же касается и трехмерных фигур, и фигур более высоких размерностей. Сферы и кубы, например, — не фракталы. Но существует множество фигур различных размерностей, которые являются фракталами.

Вернемся к береговой линии Великобритании. На карте малого масштаба показаны только самые крупные заливы, лагуны и полуострова. Но выйдите на пляж — и вы увидите более мелкие объекты: бухты, косы и так далее. Всмотритесь пристальнее, возьмите лупу или микроскоп, и вы различите совсем неприметные элементы — неровности каждого валуна на берегу. И так все дальше и дальше. В реальном мире приближать объект бесконечно невозможно. На уровне атомов и молекул (а возможно, и раньше) уже нет смысла говорить о более мелких деталях, влияющих на длину побережья, тем более что эта длина меняется каждую минуту из-за эрозии, отливов и приливов. И все же побережье Великобритании и очертания других островов и стран — достаточно близкий аналог фракталов, что объясняет, почему могут так различаться данные разных источников о длине пограничной линии. Глядя на карту Великобритании, не увидишь всей изрезанности побережья, которая становится очевидной, когда идешь по берегу пешком. Вот почему измеренная по карте береговая линия получается короче. А простая прогулка по пляжу не даст столь же точных результатов, как измерение линейкой или еще более прецизионным инструментом всех изгибов и неровностей каменистого берега, обводов валунов и прочих мелких деталей. При этом с увеличением точности измерений длина береговой линии возрастает экспоненциально, вместо того чтобы приближаться к некоему конечному «истинному» значению. Другими словами, при наличии измерительного оборудования с достаточно высокой разрешающей способностью вы можете получить любую, сколь угодно большую, длину береговой линии (разумеется, в тех пределах, что устанавливает атомная природа вещества).

Великобритания и Ирландия на фотографии, сделанной 26 марта 2012 года спутником НАСА Terra

Помимо естественных фракталов, таких как контуры побережья, существует и множество фракталов чисто математических. Простой способ изобразить фрактал — разделить отрезок прямой на три равных части, затем, используя среднюю часть как основание, построить на ней равносторонний треугольник, а потом его основание стереть. После этого процесс повторить на каждом из получившихся четырех отрезков, затем на каждом из новых коротеньких отрезков — и так далее, пока не надоест или до бесконечности. Окончательный результат носит название кривой Коха, в честь шведского математика Хельге фон Коха, посвятившего ей опубликованную в 1904 году научную статью. Три кривых Коха можно объединить в фигуру, известную как снежинка Коха^*. Кривая Коха стала одной из первых построенных человеком фрактальных фигур. Еще два хорошо известных сегодня фрактала были математически описаны в первой четверти XX века польским математиком Вацлавом Серпинским и носят его имя: треугольник (или салфетка) и ковер Серпинского. Чтобы получить салфетку, Серпинский разделил равносторонний треугольник на четыре новых, с длиной стороны в два раза меньшей, чем у исходного. Затем он удалил центральный и повторил процедуру с каждым из оставшихся трех равносторонних треугольников, потом с получившимися новыми и так далее. Хотя всерьез математики начали изучать такие объекты около столетия назад, художники знали о них еще с античных времен. Салфетку Серпинского, например, можно увидеть на произведениях итальянских мастеров (например, на мозаике собора в городе Ананьи), датируемых еще XIII веком.

Первый, второй и четвертый этапы построения кривой Коха

Одна из наиболее интересных и парадоксальных черт фракталов — их размерность. Слово «размерность» обычно вызывает две ассоциации: первая — это размеры какого-либо объекта, вторая — некое направление в пространстве, одно из измерений, о которых мы говорили во второй главе. Мы говорим о кубе, что он имеет размерность 3, поскольку его грани лежат в плоскостях, простирающихся в трех разных направлениях под прямыми углами друг к другу. Это второе, интуитивное, понимание размерности — количество перпендикулярных направлений, в которых можно передвигаться, — приблизительно соответствует тому, что в математике называется топологической размерностью. Сфера имеет топологическую размерность 2, потому что мы можем передвигаться по ней в направлениях, обозначаемых как север и юг или восток и запад. А вот шар имеет топологическую размерность 3, поскольку у него также есть направления «вверх» и «вниз», где «вниз» — это к центру шара, а «вверх» — от центра, как у нас на Земле. Топологическая размерность может быть даже 4 и больше, как мы видели во второй главе (например, тессеракт имеет топологическую размерность 4), но она всегда выражается целым числом. С фракталами, однако, дело обстоит по-другому. Фрактальная размерность показывает, грубо говоря, насколько хорошо кривая заполняет плоскость или насколько хорошо поверхность заполняет пространство.

Есть много разных видов фрактальной размерности. Одна из наиболее легких для понимания — размерность Минковского, еще ее можно назвать «клеточной» (boxcounting) размерностью. Чтобы высчитать ее для побережья Великобритании, накроем карту прозрачной пленкой, расчерченной на квадратные клетки, и сосчитаем количество квадратиков, перекрывающих береговую линию. Затем разделим каждую из клеток нашей сетки пополам по горизонтали и вертикали и посчитаем снова. Если проделать это для прямой линии, количество клеток просто удвоится, то есть вырастет в 2¹ раза, где степень (1) — это клеточная размерность. Если то же проделать с квадратом, то количество клеток увеличится в четыре раза, то есть вырастет в 2² раза, и даст размерность 2. А в случае с кубом (для этого понадобится трехмерная сетка) количество клеток увеличится в восемь раз, то есть вырастет в 2³ раза, поскольку куб имеет три измерения.

Большинство привычных нам фигур имеет размерность, выражаемую целым числом — 1, 2 или 3. С фракталами все по-другому. Возьмем, к примеру, снежинку Коха. Чтобы было проще, воспользуемся тем, что каждый составляющий ее элемент — кривая Коха — состоит, в свою очередь, из четырех кривых Коха меньшего размера. Если мы в три раза уменьшим сторону клетки в нашей измерительной сетке, то сможем разделить кривую Коха на четыре ее уменьшенных копии, каждая из которых будет в три раза меньше исходной. Каждая из уменьшенных копий перекрывается таким же количеством маленьких клеток, как было вначале с исходной кривой и большими клетками, — то есть общее число клеток увеличилось в четыре раза. Это позволяет нам рассчитать размерность кривой Коха d (она же размерность снежинки Коха, поскольку снежинка построена из этих кривых) из соотношения 3^d=4. Решив это уравнение, мы получаем значение d, равное примерно 1,26, то есть снежинка Коха имеет размерность приблизительно 1,26. Это число как бы говорит нам о том, насколько снежинка Коха в любом масштабе, какой бы мы ни выбрали, более извилиста, чем прямая линия. Или же можно сказать, что оно указывает на то, насколько снежинка Коха заполняет (двумерную) плоскость, в которой лежит. Снежинка Коха слишком сложна, чтобы быть одномерной, но слишком проста, чтобы быть двумерной. Прямая линия совершенно никак не заполняет плоскость, поскольку не только бесконечно тонка, но и очень проста по форме. Фракталы вроде снежинки Коха тоже бесконечно тонки, но настолько замысловаты по своей структуре, что, какие бы две точки мы ни взяли, даже если при малом масштабе они сливаются, расстояние между ними, измеренное вдоль кривой, бесконечно.

Снежинка Коха

Если применить клеточный метод к салфетке Серпинского, мы получим значение d, равное 1,58. То, что объекты могут иметь размерность, выражаемую нецелым числом, кажется очень странным. И эта странность переходит из области чистой математики на объекты реального мира.

Фракталы, такие как снежинка Коха и салфетка Серпинского, самоподобны, то есть состоят из последовательно уменьшающихся копий самих себя. Большинство природных фракталов не являются самоподобными в строгом смысле слова. Но статистически они обладают самоподобием, поэтому их фрактальную размерность все равно можно вычислить описанным выше методом. Например, измеренная таким образом фрактальная размерность береговой линии Великобритании составляет 1,25, что очень близко к размерности снежинки Коха. Проще говоря, это означает, что британское побережье при рассмотрении в каком угодно масштабе в 1,25 раза более извилисто, или «неровно», чем прямая линия или любая другая простая кривая. Береговая линия Южной Африки представляет собой куда более гладкую кривую — ее фрактальная размерность всего 1,05. Побережье Норвегии с ее многочисленными глубокими фьордами затейливой формы имеет размерность 1,52. То же и со многими другими природными фракталами. Яркий пример — человеческое легкое. Поскольку само легкое очевидно трехмерно, его поверхность, по идее, должна быть двумерной. Однако в процессе эволюции легкое обрело огромную площадь поверхности — около 80–100 квадратных метров, в половину теннисного корта, — чтобы максимально ускорить газообмен. Поверхность легкого имеет настолько причудливую форму, со всеми его бесчисленными разветвлениями и крохотными воздушными пузырьками — альвеолами, — что она почти заполняет содержащееся внутри него пространство. Поверхность легкого имеет фрактальную размерность, если измерять ее клеточным методом, примерно 2,97 — она почти трехмерна.

В реальном мире существует только три пространственных измерения, но иногда «четвертым измерением» считают время. Неудивительно поэтому, что фракталы могут существовать не только в пространстве, но и во времени. Пример из экономики — рынок ценных бумаг. Цены на рынке периодически существенно повышаются и понижаются. Некоторые из этих колебаний занимают годы, другие (например, биржевые крахи) могут происходить крайне быстро. Кроме них есть и более умеренные колебания, когда цены поднимаются и снижаются вроде бы независимо от более долговременных трендов, и совсем уж скромные подъемы и падения, происходящие по много раз в день. Поскольку любое колебание на фондовом рынке фиксируется компьютерами, все эти тренды можно отследить вплоть до самых коротких промежутков времени — поминутно и даже посекундно.

Еще один пример временного фрактала нам уже встречался — это все то же побережье Великобритании. В любой отдельно взятый момент береговая линия представляет собой чисто пространственный фрактал, длина которого зависит от масштаба увеличения. Но со временем его форма и сложность непрерывно меняются из-за процессов эрозии и отложения осадков, приливов и отливов и даже под действием отдельных волн, а также едва уловимых колебаний земной коры, вызванных тектонической активностью.

Из всех известных математикам фракталов один стоит особняком из-за своей невероятной замысловатости. Эта удивительная фигура не только имеет сложную структуру в любом масштабе, но и при разном увеличении в различных точках может выглядеть как два абсолютно непохожих фрактала! Речь идет о знаменитом множестве Мандельброта, которое американский писатель Джеймс Глик в своей книге «Хаос» назвал (возможно, не совсем справедливо) «наиболее сложным объектом во всей математике»^**. Хотя фрактал и носит имя Бенуа Мандельброта, вопрос о том, кто на самом деле его открыл, остается спорным. Два математика утверждали, что независимо открыли его примерно в то же время. Еще один, Джон Хаббард, профессор Корнеллского университета, вспоминал, что во время поездки в IBM в самом начале 1979 года он показал Мандельброту, как запрограммировать компьютер для построения частичных изображений объекта, который в следующем году, после публикации Мандельбротом научной статьи, стал носить его имя. Хотя Мандельброт внес серьезный вклад в популяризацию фракталов и придумал хитроумные способы их визуального отображения, он, похоже, не слишком любил отдавать должное заслугам других математиков.

Фрагмент множества Мандельброта

Несмотря на свою фантастическую сложность, множество Мандельброта описывается очень простым правилом, которое применяется снова и снова до бесконечности. Суть правила такова: нужно взять число, возвести его в квадрат, а затем прибавить к некоему фиксированному числу. Результат надо подставить в ту же формулу и процесс повторять снова и снова, итерацию за итерацией. Числа эти комплексные, то есть каждое из них состоит из двух частей, одна из которых представляет собой действительное число, а вторая — так называемое «мнимое» (число, помноженное на квадратный корень из −1). Изображение фрактала получается, когда действительная и мнимая части каждого числа выводятся в виде графика.

Остановимся на этом подробнее. Предположим, что мы начинаем с комплексного числа z и постоянной с, также являющейся комплексным числом. Выбрав значение для z, мы применяем к нему правило «умножить z само на себя и прибавить c», то есть «z² + c». В результате получаем новое значение z, к которому снова применяем то же правило, чтобы получить следующее значение z. Некоторые из значений z не меняются совсем, другие через сколько-то повторений возвращаются к первоначальному значению. Любое из неменяющихся или повторяющихся циклически значений называется устойчивым в том случае, если при очень небольшом изменении z образующиеся новые значения лежат на траектории, очень близкой к исходной. Это примерно как с мячиком: на дне ямы он устойчив, качни его — и он откатится на прежнее место. А вот с вершины горы при малейшем толчке покатится вниз, поэтому его положение там неустойчиво.

Устойчивые точки — из тех, что не меняются или повторяются циклически, — называются аттракторами. Есть другие, которые могут вначале находиться далеко от аттрактора, но с каждой итерацией приближаются к нему все больше. Они образуют «область притяжения» комплексного числа c. Есть и такие, что постепенно удаляются, расходясь в бесконечность. Граница области притяжения называется множеством Жюлиа для числа c. Множества Жюлиа названы так в честь французского математика Гастона Жюлиа, который вместе со своим соотечественником Пьером Фату в 1900-х годах положил начало исследованиям голоморфной динамики. Если выполнять итерации для любой точки из множества Жюлиа, получившиеся новые точки также будут находиться во множестве Жюлиа, но могут передвигаться по нему, не встраиваясь в циклически повторяющийся рисунок^***.

Простейшее множество Жюлиа образуется при c = 0, поскольку в этом случае правило получения новых значений z упрощается до требования «умножить z само на себя». Что происходит с комплексным числом z, если выполнять для него итерации таким образом? Если сначала оно находится внутри единичной окружности (окружности с радиусом, равным 1) с центром в точке 0, то оно станет стремительно приближаться по спирали к 0. Если z находится вне этой окружности, то оно станет быстро удаляться по спирали же в бесконечность. Таким образом, множество Жюлиа — это граница единичного круга; область притяжения — все, что находится внутри нее; а аттрактор — это точка 0. Представьте, что множество Жюлиа для c = 0 — это стальной шарик, расположенный точно посередине между двумя магнитами. Шарик будет недвижим (оставаясь внутри множества Жюлиа, хотя на практике z может непредсказуемо перемещаться в границах множества), но если его хоть чуть-чуть сместить в сторону, он тут же притянется к одному из магнитов. В нашем случае один магнит — это точка 0, а второй — бесконечность.

Ничего особенно интересного в этом множестве Жюлиа нет, да и фракталом оно, конечно, не является. Но вот при значениях c, отличных от нуля, множества Жюлиа действительно образуют фракталы, причем самой различной формы. Иногда множество Жюлиа связно, иногда — нет. Когда оно несвязно, оно распадается в так называемую «пыль Фату», которая, как можно догадаться по названию, представляет собой облако из разобщенных точек. Пыль Фату — это тоже фрактал, с размерностью менее 1.

Множество Мандельброта — это набор всех значений c, при которых множество Жюлиа является связным. Это один из самых узнаваемых фракталов, притом что опознать в нем фрактал довольно сложно. Хотя множество Мандельброта связно, можно заметить маленькие крапинки, которые кажутся совершенно изолированными, но в действительности соединены с ним тончайшими «нитями». При увеличении эти крапинки оказываются уменьшенными изображениями полного множества Мандельброта, что может поначалу показаться удивительным, но на самом деле вполне соответствует тому, что мы знаем о природе фракталов. Однако эти ответвления — не точные копии множества, и среди них нет двух абсолютно идентичных. И это по праву считается одной из самых примечательных черт множества Мандельброта. Если увеличить любую точку на его границе, оно начинает все больше и больше походить на множество Жюлиа, соответствующее этой точке. Множество Мандельброта, являющееся единым фракталом, содержит в себе бесконечное число совершенно непохожих друг на друга фракталов в виде гигантского массива множеств Жюлиа, расположенных вдоль его границы. И действительно, множество Мандельброта иногда даже называют каталогом множеств Жюлиа. Его граница так невероятно сложна, что оказывается двумерной, хотя и предполагается, что ее площадь равна нулю.

Фракталы зачастую воплощают собой незамысловатый, но парадоксальный принцип: крайне простые правила позволяют получать фантастически сложные структуры и узоры. Снежинка Коха создается по правилу, понятному даже ребенку (всего-то нужно построить равносторонний треугольник на средней трети каждого из отрезков), и тем не менее имеет очень замысловатую, хоть и регулярную структуру. Множество Мандельброта во много крат сложнее, но его рецепт опять-таки обезоруживающе прост: начинаем с функции z² + c, а потом, изучая свойства получаемых значений и отфильтровывая те, что не отвечают заданным критериям, постепенно строим безумно сложный фрактал, в различных точках выглядящий совершенно по-разному. Используя компьютер в качестве микроскопа, можно увеличивать любую часть множества Мандельброта и обнаруживать нескончаемый ряд вложенных друг в друга узоров, ни разу в точности не повторяющихся.

<...>

^* Одно из крайне интересных свойств снежинки Коха состоит в том, что, подобно береговой линии Великобритании, образующая ее кривая имеет бесконечную длину, но при этом ограничивает точно вычисляемую конечную площадь (ведь снежинку Коха можно полностью поместить в круг, а значит, ее площадь заведомо ограничена). — Прим. науч. ред.

^** Глик Дж. Хаос. Создание новой науки. М.: Corpus, 2020

^*** О притяжении и отталкивании рядом с множеством Жюлиа, с более подробным введением в теорию комплексных чисел, см.: Долбилин Н. Множества Жюлиа. Квант. 2008. 1: 9–14. — Прим. науч. ред.