Математическое моделирование в экологии:
Историко-методологический анализ

8.2. Математическая мистика в теоретической физике

Всякое рассуждение о математике и физике полагается начинать если не с древних египтян и халдеев, о которых мало что известно, то уж во всяком случае с древних греков, о которых известно побольше, но в общем примерно столько, что им можно приписывать (при желании) что угодно. Как, например, Пифагор узнал, что музыкальные интервалы связаны с числовыми отношениями?

В прежние времена об этом писали возвышенно. Например, у Т. Гомперца [22] читаем:

«... расстояния звуков (кварта, квинта, октава и т. д.), с точностью различаемые до сих пор лишь тонким и развитым ухом музыканта, который, однако, не мог передать знания их другим людям или свести их к ясным, доступным разуму причинам, были приурочены теперь к точным и четким числовым отношениям... изумленному взору Пифагора и его учеников открылись многообещающие дали всеобщей закономерности природы...»

Какие, действительно, числовые отношения могут быть связаны с музыкальными интервалами? Описание звука, издаваемого струной, с помощью уравнения струны является грубо приближенным, но и из этого описания ясно, что высота звука зависит от длины струны, силы ее натяжения, упругих свойств и плотности ее материала. Пользовался ли Пифагор бараньими кишками в качестве материала для струн и каким образом он стабилизировал натяжение и свойства этого материала, чтобы высота звука в самом деле определялась лишь длиной струны? А насчет того, что музыкальные интервалы различаются лишь развитым ухом музыканта — позвольте заметить, что одному из авторов данной книги явно медведь на ухо наступил, и тем не менее кварту от квинты он легко мог отличить, обучаясь в детстве в музыкальной школе. Патологическое безобразие слуха выявлялось лишь при попытке что-нибудь пропеть. И знание разницы между квартой и октавой ничего не стоит передать другим людям. Другое дело — абсолютная высота звука. Тут нужен прибор — от камертона до частотного анализатора, и никакие числовые отношения не помогают. Но мистическое чудо математики состоит в том, что если мы себе в самом деле представим Пифагора натягивающим бараньи кишки и подумаем о соответствующем уравнении струны, то должны будем признать, что дали, действительно, открылись многообещающие. Например, они содержат спектр излучения атома водорода (он ведь связан с собственными значениями соответствующего дифференциального оператора ровно так же, как и струна).

И вот, эта возможность понимания явлений микромира (а также и макромира), которые не доступны непосредственно нашим органам чувств, с помощью такой математики, которая в конечном счете построена на интуиции, в основе которой лежат вполне доступные нашим чувствам вещи, зачаровывает. Она лежит в центре внимания и математики, и физики, и философии науки. Правда, вновь и вновь мы обнаруживаем, что это понимание не является вполне удовлетворительным — настолько, что в школьных учебниках могут быть написаны явные глупости. Например, мы склонны возносить великие хвалы геометрической оптике, но остроумный Пол Фейерабенд заметил, что эта модель иногда говорит вздор. Изображение предмета, который помещен близко к фокусу линзы, действительно, делается большим, но расстояние до него, которое мы оцениваем глазом, отнюдь не кажется бесконечным, как это полагается согласно геометрооптической модели линзы. Но тем не менее, существует убеждение в том, что необходимые физические теории на самом деле уже содержатся в каких-то известных математических теориях, как в зародыше, и физику нужно только разгадать загадку — какой именно математикой нужно в каждом случае воспользоваться. Это убеждение обосновывается многими неоспоримыми примерами.

Чем «объяснить» данное убеждение и поддерживающие его факты? Основные мыслительные ходы, которые вообще доступны человеку, несомненно, были все испробованы и исследованы еще в античную эпоху. В данном случае принципиально возможных ходов, собственно, всего два. Первый из них — это представление о некоем Высшем Разуме, который вообще-то непостижим, но может нам немножко открываться, причем особенно охотно делает это на языке математики.

Второй ход — вульгарно материалистический. Как известно, некоего грека друзья пытались убедить в том, что боги реально существуют. «Пойди в храм, -сказали они, — и прочитай там надписи на дарах тех людей, которые, будучи застигнуты бурей на море, молились богам, обещали принести им дары и в результате были спасены». Но скептик ответил: «А где я найду надписи тех людей, которые во время бури молились богам, но тем не менее утонули?» Исходя из этого второго варианта, саму область физики можно было бы определить как совокупность таких явлений, для которых математические методы исследования оказались весьма успешными (те явления, к которым люди пытались применить эти методы, но не преуспели, просто в ходе исторического развития были исключены из области интересов физики, а то и вообще из области интересов науки). В отличие от надписей утонувших людей, примеров такого рода из истории науки тоже можно привести немало. Скажем, в трудах классиков теории вероятностей, начиная с Я. Бернулли, говорится о многих таких применениях теории вероятностей в социальных (и вообще — гуманитарных) вопросах, которые впоследствии не состоялись. Или можно упомянуть о надеждах, возлагавшихся на гидродинамические расчеты с целью, например, прогноза погоды, которые так и не оправдались.

Впрочем, оба мыслительных хода не приводят к отрицанию законности и полезности математических попыток в физике. Однако, если сказать в пифагорейских терминах, резко меняется музыкальный лад: в одном случае это величественный мажор непосредственного соприсутствия с богами на Пире Разума, а в другом — скромный минор: пир неизвестно чей (поскольку богов нет) и приходится ползать где-то под столом и довольствоваться иногда падающими объедками. К какому же варианту самовосприятия склоняется современная философия физики?

Как прекрасно обстояло дело в эпоху становления электродинамики. В 1828 году Дж. Грин опубликовал работу «Опыт применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма», которой впоследствии воспользовался Максвелл. Г. Герц не поверил было Максвеллу и пытался опровергнуть его теорию в эксперименте, но вместо того получил ее блестящее подтверждение. Тогда он (как апостол Фома) поверил и сказал: «Невозможно избавиться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было заложено» (см. [25], стр. 112). Правда, скоро стало ясно, что Максвелл слишком увлекался механическими и гидродинамическими аналогиями. Объясняя, что ни в каких подобных аналогиях нет нужды, П. Л. Капица предъявлял фотографию довольно нелепого шестеренчатого прибора, с помощью которого великий Больцман объяснял студентам электродинамику великого Максвелла. Тем незыблемее оказывалась математика в виде уравнений электродинамики.

Но с развитием науки высказывания становились осторожнее. Уже Пуанкаре с некоторым опасением писал о потенциальной опасности математического языка для физики «... не следует ли опасаться, что этот искусственный язык будет завесой, опущенной между реальностью и глазом физика» (см. [56], стр. 157). Но впрочем (замечает Пуанкаре), без этого языка «... большая часть внутренних аналогий вещей осталась бы навсегда неизвестной для нас, и мы никогда не знали бы о той внутренней гармонии мира, которая ... есть единственная подлинная объективная реальность». (Вспомните аналогию между бараньими кишками, которые мог бы натягивать Пифагор, и спектром излучения атома водорода.)

И вот, через век после Дж. Грина пришла квантовая механика. Возникли споры — а что, собственно, означает волновая функция или хотя бы квадрат ее модуля: то ли плотность вещества, то ли плотность вероятности? Стало ясно, что интерпретация математических символов неоднозначна, да и сами математические теории чего-либо вполне могут существовать как совершенно различные, и среди них, скорее всего, нет какой-то одной вполне адекватной. Рассмотрим в некоторых деталях историю квантовой теории поля (20-е — 70-е годы).

Квантовая теория поля зародилась в двадцатые годы нашего столетия с целью синтеза квантово-механических представлений и специальной теории относительности. (Так, пространство-время, в котором строятся аксиоматические теории квантованных полей, отождествляется с пространством Минковского). Основным понятием новой теории стало понятие квантованного поля, возникшее на пути квантового обобщения классических моделей электромагнитных явлений, с использованием которого предполагалось сформулировать законы динамики элементарных частиц и их взаимодействий.

Первое описание взаимодействия квантованного электромагнитного поля с атомами принадлежит П. Дираку (1927). Эта теория, достигшая определенных успехов в объяснении различных экспериментальных явлений, столкнулась с двумя существенными трудностями.

Наиболее неясным местом теории было наличие дираковского релятивистского уравнения электрона, указывающего на существование состояний с отрицательной энергией. Так, В. Паули писал по этому поводу: «Попытка спасти теорию в ее настоящей форме кажется в свете этих следствий» (переходов в состояние с отрицательной энергией) «уже заранее безнадежной» (см. [33], стр. 11). Эта трудность, однако, была блестяще преодолена Дираком в рамках предложенной им гипотезы дырок, содержащей предсказание позитронов. Другая трудность, существенно иной природы, была связана с применением теории возмущений.

Применение теории возмущений при исследовании проблем взаимодействия электронного поля с атомами, состоящее в разложении некоторых величин в ряды по константе взаимодействия, приводило к следующим результатам. Первый член разложения давал значение, удивительно точно соответствующее опытным данным, в то время как какой-либо разумной интерпретации остальных членов разложения не существовало, что, в общем, неудивительно, так как соответствующие ряды, как правило, были расходящимися. Таким образом, теория не имела физического смысла за пределами первого порядка теории возмущений (см. [33], стр. 10). При этом математически некорректная процедура рассматривалась как вычислительный прием для получения интересующих исследователей численных значений параметров и не более того. Однако, согласие первого члена разложения с экспериментальными данными являлось все же косвенным (а по степени точности — единственным в своем роде) свидетельством адекватности уравнений (а значит и определенных физических представлений, интерпретирующих физически математический формализм), к которым были применены методы теории возмущений. Поэтому строгое математическое обоснование эвристических вычислительных приемов рано или поздно становится настоятельной потребностью.

Первым крупным шагом в борьбе с «бесконечностями» членов выше первого порядка, была идея перенормировок. Физические основы теории перенормировок заключаются в представлении о «свободном» движении, тем или иным способом возмущаемом взаимодействием. Для того, чтобы последовательно реализовать это представление при описании квантовых систем с переменным числом частиц, необходимо уметь отделять эффекты самодействия от эффектов действия частиц друг на друга. Но эффект взаимодействия так или иначе влечет за собой изменение некоторых параметров свободного движения частицы, другими словами, перенормировку. Поэтому изучение структуры перенормировок, как ожидалось, могло обеспечить значительный прогресс при изучении элементарных взаимодействий в системе с бесконечным числом степеней свободы. Однако, несмотря на то, что «физическая идея перенормировок вряд ли выглядит слишком отталкивающей, ... реальное воплощение этой общей программы в конкретных ситуациях... целиком основывалось на вычислительных схемах, связанных с разложением интересующих теорию величин в, вообще говоря, расходящиеся ряды по степеням константы взаимодействия, и в случае локальных релятивистских систем сопровождалось появлением расходящихся интегралов в каждом нетривиальном порядке теории возмущений» (см. [78], стр. 4). Следует подчеркнуть, что теория перенормировок, тем не менее, знаменовала собой существенный прогресс в квантовой теории поля. Уже несколько первых членов в разложении по степеням константы взаимодействия согласовывались с опытом в большинстве проверявшихся случаев с удивительной, до сих пор не встречавшейся точностью. На основе теории перенормировок в рамках квантовой электродинамики в конце сороковых — начале пятидесятых годов с высокой степенью точности были получены значения лэмбовского сдвига и аномального момента электрона (см. [21], стр. 99). Однако, такое успешное применение методов теории возмущений, хотя и в достаточно модернизированном виде, под деморализующим влиянием которого «потребность физика-теоретика в математическом аппарате свелась к рудиментарному владению латинским и греческим алфавитами» (см. [9], стр. 50 — высказывание Йоста), еще более способствовало созданию очень странной познавательной ситуации.

Резко, даже несколько гипертрофированно, отражали данную ситуацию следующие слова Р. Йоста: «Мы исходим из уравнений, которые не имеют смысла, мы применяем к их решениям определенные предписания и приходим наконец к степенному ряду, про который мы не знаем, имеет ли он смысл. Несколько первых членов этого ряда приводят, однако, к наилучшим известным предсказаниям. Положение вещей не становится более понятным в свете того факта, что успех квантовой электродинамики совершенно единственен» (см. [33], стр. 12). Дело, по-видимому заключалось в том, что адекватные в целом физические представления теории перенормировок и «вычислительное» (в данном случае некорректное) применение математических средств не составляло того синтетического образования, которое необходимо для построения полноправной физической теории. Эту ситуацию как нельзя лучше характеризуют слова В. И. Кузнецова о том, что «выражение основных физических идей теории на математическом языке, не отвечающем их сущности, ведет к противоречиям, которые могут быть устранены лишь при переходе к новым математическим методам» (см. [38], стр. 25). И хотя существовала точка зрения, оценивающая вычислительные методы теории возмущений как неизбежное зло, анализ описанной познавательной ситуации приводил к осознанию необходимости попыток построения теории, основанной на концептуальном применении имевшихся в наличии и оказавшихся ранее плодотворными в физике мощных математических средств (теория обобщенных функций, топологические линейные пространства, спектральная теория операторов и др.). Создание корректных и эффективных вычислительных методов было поставлено в зависимость от адекватного концептуального применения математических средств, которые структурируют и уточняют имеющиеся и генерируют посредством интерпретационного акта новые физические представления. (Заметим, что в современных курсах математической физики также делается особый акцент на концептуальном аспекте применения математики. Так, автор одного из таких курсов Р. Рихтмайер пишет: «Для наших целей математические концепции и принципы более важны, чем методы (вычислений — авторы), поскольку основным назначением курсов математической физики, по моему мнению, является такое объяснение этих концепций и принципов, чтобы была видна их применимость для физики» (см. [59], стр. 10–11).

Вообще говоря, избавиться от вычислительных схем теории возмущений можно с помощью одного из двух противоположных подходов — феноменологического или аксиоматического. Феноменологический подход основывается на приближенных моделях, допускающих численное решение. Можно сказать, что эти модели скорее извлекаются из удачной параметризации экспериментальных данных, чем выводятся из общих теорий. Вследствие этого, любая из построенных в рамках феноменологического подхода схем имеет очень ограниченную сферу применимости. Неудовлетворенность феноменологическими построениями приводит к аксиоматическому подходу в квантовой теории поля «как последнему прибежищу» (см. [33], стр. 14).

Целью аксиоматического подхода, приводящего к общей теории квантованных полей, является построение базиса для конкретных моделей существующих частиц и соответствующих им полей. «Аксиоматический метод, — пишет К. Хепп, — исходит из построений математических и почти священных, где общие свойства, такие как лоренц-инвариантность, причинность и унитарность, выражаются в виде отношений между бесконечным числом амплитуд. Если к ним добавляют еще дополнительные сведения о наблюдаемых частицах, такие как спектр масс и правила отбора, то в результате приходят к нетривиальным и очень общим соотношениям между измеряемыми величинами» (см. [78], стр. 9).

Может создаться впечатление, что с точки зрения особенностей применения математических средств аксиоматические теории поля не дали ничего нового по сравнению с таким теориями как теория относительности или квантовая механика в ее неймановском варианте. Действительно, набор используемых математических теорий не претерпел значительных изменений. Однако, в теориях первой трети ХХ века «аксиоматизация завершала уже вполне построенное здание, здесь же (т. е. в аксиоматических теориях поля — авторы) мы имеем дело с несуществующим фундаментом здания, которое, может быть, никогда не будет построено» (см. [33], стр. 13). (Говоря об уже вполне построенном здании, Йост, по-видимому, имеет в виду факты, подобные тому, что, например, выбор аксиом квантовой механики фон Нейманом был в значительной мере обусловлен уже сложившимися физическими представлениями, выраженными в правилах квантования Бора и Гейзенберга). Это отличие обусловливает серьезные трудности на пути построения аксиоматических теорий поля, например, проблему выбора из двух достаточно близких, но тем не менее отличающихся друг от друга математических концепций для формулировки исходных постулатов теории. Путь от аксиом теории к выводу и интерпретации доступных экспериментальной проверке следствий очень долог и связан, кроме всего прочего, с преодолением значительных математических трудностей. Поэтому выработка некоторых «априорных» критериев адекватности, основанных на теоретико-познавательном анализе успешного применения математики в физике приобретает огромное значение (но существуют ли вообще такие критерии?). Так, при построении своей аксиоматики общей теории квантованных полей Вайтману и Стриттеру пришлось решать проблему выбора для определения пространства состояний между концепциями сепарабельного и несепарабельного гильбертова пространства (гильбертово пространство сепарабельно, если оно содержит счетное всюду плотное множество). В нерелятивистской квантовой механике было естественным рассматривать только сепарабельные гильбертовы пространства, отвечающие системам с конечным числом частиц. Существовала, однако, точка зрения, что для описания систем с бесконечным числом степеней свободы, изучаемых в квантовой теории поля, нужно пользоваться несепарабельным пространством. В данном случае Вайтман и Стриттер высказываются против расширения арсенала математических понятий, используемых в теории, считая, что не существует доводов в «пользу того, что сепарабельные гильбертовы пространства не являются пространствами состояний для квантовой теории поля» (см. [9], стр. 122). Однако в другом случае они высказывались за расширение математического аппарата, настаивая на важности использовании неограниченных операторов, несмотря на то, что, как они отмечали, «большинство физиков считают в глубине души, что ничто существенно зависящее от таких вещей (неограниченных операторов — авторы) не может иметь отношение к физике» (см. [9], стр. 123). Чрезвычайно любопытна позиция авторов, призванная аргументировать их решение выразить аксиомы в терминах неограниченных операторов: «Во-первых, — подчеркивают исследователи, — именно эти величины прямо соответствуют классическим полям — а это источник вдохновения квантовой теории поля. Во-вторых, уравнения, описывающие локальные взаимодействия между полями в пространстве-времени записываются через такие неограниченные операторы. Могут сказать, что эти аргументы и выражают как раз то, что в квантовой теории поля не в порядке, и это взгляд, который можно защищать. Но главный пункт предприятия, представленного главами 3 и 4, — исследование всеми средствами современной математики тех физических идей, которые развились в течении последних пяти-десяти лет» (см. [9], стр. 127).

Вплоть до конца семидесятых годов ХХ века было построено несколько вариантов аксиоматики теории квантованных полей. На этом пути было получено несколько интересных результатов, однако они не могли полностью удовлетворить исследователей. Дело в том, что существенной чертой каждого варианта был отказ не только от вычислительных схем теории возмущений, но и от самой физической идеи перенормировок. Вследствие этого, построенные теории плохо описывали динамику систем частиц и полей. «В лучшем случае оказалось возможным вводить только очень общие условия динамического типа, позволяющие отличать свободную теорию от теории с взаимодействием» (см. [54], стр. 5). При этом настоятельно ощущалась потребность в синтезе физических идей и динамических принципов теории перенормировок с глубиной математических представлений аксиоматического подхода. Разумеется, при применении динамических принципов теории перенормировок, необходимо было избегать использования некорректных и физически неинтерпретируемых разложений по степеням константы взаимодействия. (Другими словами, теорию возмущений также необходимо было строить аксиоматически.). Положительный опыт аксиоматических теорий квантованных полей в концептуальном применении математических средств, обеспечивал, по мнению ряда исследователей, возможность построения теории, осуществляющей требуемый синтез.

Программные идеи построения новой теории, получившей название конструктивной квантовой теории поля (ККТП) были выдвинуты Вайтманом, именем которого названы аксиомы, которым удовлетворяют операторные обобщенные функции, являющиеся математическими образами релятивистских квантованных полей. «Задача ККТП, в отличие от аксиоматической теории поля, изучающей общие свойства релятивистских квантовых систем, состоит в том, чтобы для той или иной конкретной модели 1) доказать существование квантованного поля как ясно определенного математического объекта, удовлетворяющего ряду физических требований, 2) провести реальное построение такого поля, или величин, тесно с ним связанных, 3) исследовать математические свойства построенных величин и, наконец 4) выявить физическое содержание изучаемой конкретной модели» (см. [66], стр. 5). Заметим, что собственно работа физика-теоретика при построении физической теории начинается на заключительном этапе этого процесса и состоит, в сущности, в том, чтобы втиснуть природу в определенные ей математические рамки. Кроме того, при построении этой теории возникла проблема, о существовании которой для физики ранее вряд ли можно было предположить. Речь идет о проблеме непротиворечивости аксиом Вайтмана. Сама ее постановка (а также осознание научным сообществом) свидетельствует о том, что произошло чудовищное усложнение процессов математизации физики. Причем эта проблема далеко не тривиальна, если учесть количество и концептуальную сложность задействованных для формулирования этих аксиом разнообразных математических структур. Непосредственное, чисто математическое решение проблемы непротиворечивости аксиом Вайтмана вряд ли возможно из-за существенных чисто технических математических трудностей. С другой стороны, доказательство непротиворечивости аксиом Вайтмана может быть совмещено с решением другой проблемы ККТП — построением нетривиальных теоретико-полевых моделей, описывающих поведение наблюдаемых в опыте систем элементарных частиц и удовлетворяющих аксиомам Вайтмана. Разумеется, эта задача не менее трудна, но уже к середине 70 годов здесь появились первые достижения. И хотя не было доказано существование модели (которая бы учитывала динамику), соответствующей аксиомам Вайтмана в четырехмерном пространстве-времени, доводом в пользу непротиворечивости этих аксиом считается тот факт, что теория свободного поля является для них содержательной моделью. Правда, теория свободного поля описывает лишь невзаимодействующие между собой частицы, однако оказалось, что построение моделей для систем с взаимодействием является очень трудным предприятием. (см. [58], стр. 80, 131). Одним из крупных успехов на этом пути явилось построение желанной модели, удовлетворяющей аналогу аксиом Вайтмана в двухмерном пространстве-времени. (см. [60]).

Из этого очерка истории развития квантовой теории поля ясно, что современная физика столкнулась с очень большими трудностями. Эпоха ее поразительно быстрых успехов в первые десятилетия нашего века очень скоро закончилась. Продолжаются мистические поиски решения в уже существующих математических теориях: каким — сепарабельным или несепарабельным — должно быть гильбертово пространство, имеющее физическое значение; как доказывать непротиворечивость аксиоматики. Понятно, что сами физики не претендуют на то, что их наука является «мудрой» и серьезно сомневаются и в том, что она может быть названа хотя бы «продвигающейся». Возник чрезвычайно сложный физико-математико-мистический конгломерат, в котором предстоит разбираться будущим поколениям.