Математическое моделирование в экологии:
Историко-методологический анализ

3.3.2. «Опыт элементарного анализа теории вероятностей»

Сама по себе идея случайного выбора, в том числе жеребьевки, азартной игры (т. е. игры, связанной с результатами каких-то случайных экспериментов), гадания, т. е. узнавания воли богов опять-таки с помощью случайных экспериментов и т. д. вовсе не является математической: это что-то вроде древнего психологического архетипа. Но подсчеты шансов осуществления тех или иных случайных событий в самых (казалось бы) простых случаях очень часто могут быть трудными, и тут уже требуется математика. Поэтому исторически получилось так, что не только о чисто математических задачах, но и о прикладных и философских вопросах теории вероятностей обычно рассуждают математики или физики (напомним, что в данной книге под «философией» понимается минимальная философия в смысле той пользы и удовольствия, которых в конкретных случаях можно ожидать от применения тех или иных научных методов).

В 1844 году октября 17 дня кандидат Чебышев отнес в типографию Августа Семена, что была на Кузнецком Мосту в доме Суровщикова, сочинение «Опыт элементарного анализа теории вероятностей». По-современному говоря, П. Л. Чебышев по окончании университета был рекомендован в аспирантуру, и сочинение это было его диссертацией (она тогда называлась магистерской). Эта диссертация имеет введение, с нашей точки зрения, в высшей степени философское. Из этого введения извлекается некоторая важная информация, которую удобнее изложить не прямо цитируя Чебышева, а переизлагая текст введения в другом порядке.

В те времена попечителем Московского учебного округа был граф С. Г. Строганов. Известно, что он был очень хорошим попечителем, и Чебышев, в частности, пишет, что сама задача его диссертации была поставлена Строгановым. Что же это за задача?

Тогда считалось, что теория вероятностей является (или призвана быть) опорой всем знаниям, основанным на наблюдениях и свидетельствах. Дело в том, что в конце 18-го — начале 19-го веков теория вероятностей сделала огромный скачок в своем развитии, причем основными деятелями этого скачка были такие первоклассные и авторитетные ученые, как Лаплас и Гаусс. Правда, в отношении знаний, основанных на свидетельствах (т. е. когда и каким свидетельствам можно доверять) сделано было не очень много. Речь шла о расчетах вероятностей того, что некое свидетельство верно, исходя из простых и довольно произвольных моделей для вероятности ошибки в отдельном акте сообщения информации. Например, если склонность отдельного свидетеля к правде (т. е. вероятность того, что он не лжет) равна 0,9, но, однако, утверждение доходит к нам по цепочке из 10 свидетелей, то вполне вероятно, что из 10 человек хотя бы один соврет, и цена свидетельства в конечном счете невысока. У Лапласа подобные расчеты имеют (не выраженную явно) импликацию, что евангельским чудесам доверять нельзя. Мы, собственно, уже обсуждали то обстоятельство, что религиозные тексты не следует понимать как фактографию реальных событий, а только как тексты для медитации. Если угодно, Лаплас внес вклад в установление этого понимания.

Но, что касается научных наблюдений и их обработки с помощью теории вероятностей, то тут речь шла о полном перевороте. Предлагался способ установить точность, с которой найдена из опыта та или иная физическая величина, не зная толком, что именно измерялось, ни каким методом, а оперируя лишь результатами отдельных измерений. (Ниже мы рассмотрим детально, что именно предлагалось: технология сводится к простой арифметике.) Таким образом, теория вероятностей, опираясь на научный авторитет Лапласа и Гаусса, бралась совершить настоящее чудо (в применении, конечно, к науке, т. е. к обработке экспериментальных результатов). Правда, забегая вперед, скажем, что в отношении фактографическом дело с этим чудом обстоит ровно так же, как с чудесами священного писания. В самом деле, если мы установили, с какой точностью мы определили ту или иную физическую константу, то ясно, что результаты последующих, более точных определений той же константы, не должны выходить за установленные пределы (разве лишь с некоторой малой вероятностью). Именно так думали и Лаплас, и Гаусс, и Чебышев. Но на самом деле обнаружилось, что такой выход за заранее установленные пределы происходит гораздо чаще, чем позволяет упомянутая малая вероятность. Мы в конце концов пришли к тому, что метод наименьших квадратов для обработки наблюдений (метод Лапласа и Гаусса) тоже дает не некоторую фактическую истину, а лишь исходный пункт для медитации на тему — всё ли хорошо с измерениями. Но это было отчетливо установлено лишь во второй половине нашего 20-го века, а полтораста лет назад, во времена С. Г. Строганова и П. Л. Чебышева обещание чуда принималось вполне всерьез.

Ясно, что граф Строганов знал об этом чуде и стремился импортировать его в Россию. Надо сказать, что вероятностные работы Гаусса имеют чисто научный характер и формально касаются частных вопросов, а широко популяризировал новые достижения теории вероятностей исключительно Лаплас. Его «Аналитическая теория вероятностей» предваряется обширным введением «Философский очерк», которое написано блестящим и общепонятным стилем. Совершенно логично, что Строганов предложил аспиранту задачу — прочесть и понять Лапласа, включая его математику, и переизложить основные вещи попроще: чтобы и русский Иван, который окончил лишь только гимназию, мог все это понять. Приведем, наконец, точную цитату из диссертации Чебышева: «дать возможность поверить все эти заключения анализом строгим и простым, доступным для большей части учащихся, есть большой шаг в способе элементарного изложения теории вероятностей». Иными словами, русский Иван должен еще получить гарантию, что Лаплас его не надул.

Однако во всем этом правильном и разумном замысле темы диссертации, которую предложил С. Г. Строганов, есть одна глубокая трещина (о которой он знать не мог). Дело в том, что математику «Аналитической теории вероятностей» Лапласа понять невозможно.¹⁵ Лаплас очень странным (для нас) образом пользуется математическим анализом. Молодой аспирант Чебышев (ему примерно 23 года) попал в трудное положение: ничего понять у Лапласа нельзя, и ему остается лишь вывести основные результаты самостоятельно. В предисловии к диссертации он, конечно, лицемерит, скрываясь за интересами малообразованного Ивана. Но речь идет, однако, о доказательстве центральной предельной теоремы: что сумма независимых случайных величин имеет примерно нормальное распределение. Ничего не стоит вывести на чистую воду автора магистерской диссертации, если знать, что было потом. В дальнейшем П. Л. Чебышев неоднократно ставил вопрос о математическом доказательстве центральной предельной теоремы (стало уже общепризнанным, что у Лапласа такого доказательства нет). Его собственные результаты в этом направлении не вполне удачны; считается, что эту задачу решили ученики Чебышева А. М. Ляпунов и А. А. Марков (старший). Задача импорта в Россию результатов Лапласа, которую ставил С. Г. Строганов, обернулась совершенно неожиданно: после Лапласа (и Пуассона) к математической проблематике теории вероятностей на Западе был временно потерян интерес. Она разрабатывалась в России и таким образом пережила трудные времена.

В самой же магистерской диссертации Чебышева, в противоречие с приведенной выше цитатой, нет ничего «строгого» (в отношении центральной предельной теоремы). До какой степени там нет ничего и «простого», нетрудно понять, лишь стоит взглянуть на многие страницы этой диссертации: идет сплошной формульный текст. В свете «России в 1839 году» А. де Кюстина закономерно возникает вопрос — сколько именно раз водил почтенный Август Семен своих наборщиков пороть в полицию, пока они набрали все это формульное великолепие? И был ли полицейский участок тем самым, в котором сидел печальный соотечественник Кюстина, предаваясь медитациям на текст «Язык мой — враг мой»? Дело в том, что во время пребывания Кюстина в Москве некий француз был посажен в участок неизвестно за что, вероятно за допущенную языковую небрежность, неуместную в стране просвещенного абсолютизма. Рядом с комнатой, в которой сидел несчастный, с раннего утра до позднего вечера производились экзекуции. Кюстин помог, сколько было возможно, вызволить беднягу; тот был выслан из России и явился к Кюстину с благодарностью и рассказом, который тоже вошел в книгу.

В общем, когда Чебышев, щадя чувства малообразованного Ивана, выписывает вместо интеграла сумму, содержащую 10¹⁵ слагаемых, это мало помогает: гораздо легче узнать, что такое интеграл, чем разбираться в мерзкого вида формулах. Какую же математическую задачу на самом деле решил Чебышев?

Такая очень важная задача имеется. Чебышев получил центральную предельную теорему методом хотя и не вполне строгим, но совершенно отличным от метода Лапласа. Это означало, что практически несомненно то, что Лаплас по существу результата прав. Конечно, нелепо утверждать, что теперь Иван может проверить Лапласа: ни Лапласа, ни Чебышева он проверить не может. Но сам Чебышев Лапласа проверил, а лучше сказать — освоил эту математическую проблематику настолько, что был в состоянии инициировать то ее развитие на российской почве, о котором говорилось выше. Несколько легкомысленным был А. де Кюстин, когда утверждал, что русские способны лишь заимствовать: заимствование хоть в России, хоть в Японии, Индии или Китае непременно привносит какие-то оригинальные черты.

И тем не менее, Лаплас (вместе с Гауссом и другими менее знаменитыми авторами) надул-таки Ивана, а также Жана, Джона и Иоганна (дело тут не в национальности) в части создания опоры для знаний, основанных на наблюдениях. Это не было надувательством в математике, но скорее в области здравого смысла. Посмотрим, как это случилось.

¹⁵ В недавнее время больших успехов в прочтении «Аналитической теории вероятностей» добился известный специалист в теории вероятностей А. Д. Соловьев. По-видимому, его следует считать исторически первым читателем Лапласа. (Вернуться)