Черно-белые кубики

Каждая пара соседних кубиков однозначно определяется их общей гранью. Поэтому соседних пар кубиков столько же, сколько внутренних «перегородок», разбивающих большой куб на единичные кубики.

Сначала приведем общие рассуждения для куба \(n\times n\times n\). Заметим, что каждая пара соседних кубиков однозначно определяется их общей гранью. Всего соседних пар в кубе \(n\times n\times n\) столько же, сколько возникает внутренних «перегородок», если разбить этот куб на \(n^3\) единичных кубиков. Посчитаем их. Для этого рассмотрим одно из горизонтальных сечений, представляющее собой квадрат \(n\times n\), разбитый на \(n^2\) единичных квадратов значит, это сечение содержит \(n^2\) «перегородок». Учитывая, что всего горизонтальных слоев \(n-1\), то в нашем кубе имеется \(n^2(n-1)\) горизонтальных «перегородок». Но в кубе существуют еще вертикальные «перегородки», причем их два вида: «фронтальные» и «профильные». Очевидно, что «перегородок» каждого вида столько же, сколько горизонтальных. Значит, в кубе \(n\times n\times n\) всего \(3n^2(n-1)\) пар соседних кубиков.

а) В кубе \(3\times 3\times 3\) имеется \(3\cdot3^2(3-1)=54\) пары соседних кубиков. Поскольку число «бело-белых» и «черно-черных» пар известно, то легко найти и число черно-белых пар соседних кубиков: оно равно \(54-(13+15)=26\). На рис. 1 показана конкретная расстановка 13 белых и 14 черных кубиков, в которой реализуются условия пункта a) задачи.

Рис. 1.

б) На рис. 2 слева приведены две части куба \(3\times 3\times 3\). Одна из них содержит 13 кубиков, все они белые, вторая часть состоит из 14 кубиков, среди которых 13 черных и 1 белый. Справа на рис. 2 показано, как из этих частей сложить куб. Нетрудно убедиться, что пар соседних кубиков каждого вида поровну: 18 «бело-белых», 18 «бело-черных» и 18 «черно-черных».

Рис. 2.

в) В кубе \(4\times 4\times 4\) имеется \(3\cdot4^2(4-1)=144\) пары соседних кубиков. Поскольку число «бело-белых» пар соседних кубиков равно числу «бело-черных» пар соседних кубиков и равно числу «черно-черных» пар соседних кубиков, то число пар каждого вида равно \(144:3=48\). На рис. 3 показана послойная раскраска кубиков. Легко посчитать «бело-черные» пары соседних кубиков, их \(16\cdot3=48\), и это как третья часть от 144. А поскольку раскраска кубиков симметрична относительно центра куба, то «бело-белых» и «черно-черных» пар соседних кубиков тоже по 48.

Рис. 3.

г) На рис. 4 показаны две равные фигуры: белая и черная, каждая содержит по 32 кубика. Убедитесь, что белую фигуру можно сверху наложить на черную так, что получится куб \(4\times 4\times 4\). Посчитаем на одной из них число квадратов соприкосновения: «горизонтальных» — \(4^2=16\), «фронтальных» — \(4\cdot6=24\), «профильных» — \(2\cdot4=8\), а всего — 48, то есть ровно третья часть от общих «перегородок», то есть число «бело-черных» пар соседних кубиков равно 48. Но поскольку черные и белые фигуры равны, то «бело-белых» и «черно-черных» пар соседних кубиков будет поровну, тоже по 48.

Рис. 4.

А как обстоят дела для кубов больших размеров? Оказывается, что при любом \(n\) куб \(n\times n\times n\) можно сложить из черных и белых кубиков так, чтобы выполнялись условия задачи: ББ = БЧ = ЧЧ.

Для четных кубов это показать легко, опираясь на прием подсчета, примененный в пункте в) задачи. Его можно обобщить, и доказать, что если \(n\) — четное число, то куб \(n\times n\times n\) можно составить из белых и черных кубиков, так что в нем числа ББ, БЧ и ЧЧ будут равны. Для этого куб нужно складывать послойно, чередуя слои из белых кубиков со слоями из черных кубиков. В самом деле, как было показано в решении, в кубе \(n\times n\times n\) имеется \(3n^2(n-1)\) пар соседних кубиков. На рис. 5 показана послойная расстановка кубиков при \(n=6\). В такой расстановке белые и черные кубики соприкасаются гранями только на границах между слоями. Но на каждой такой границе \(n^2\) бело-черных пар кубиков, а границ между слоями \((n-1)\), поэтому при послойной расстановке кубиков число бело-черных пар соседних кубиков равно \(n^2(n-1)\), что составляет ровно треть от общего числа пар соседних кубиков. Оставшиеся \(2n^2(n-1)\) соседние пары делятся поровну между бело-белыми и черно-черными парами, потому что их, очевидно, поровну.

Рис. 5.

Способ расстановки черных и белых кубиков в кубе \(n\times n\times n\), где \(n\) — нечетное, придумал Максим Прасолов. В общих чертах суть этого способа заключается в следующем: если расставить кубики в шахматном порядке, то все пары соседних кубиков будут бело-черными. Рассмотрим вертикальные слои куба — естественно, все они шахматной раскраски. Средний слой менять не будем, а вот в слоях слева от него некоторые белые кубики заменим на черные так, чтобы число черно-черных пар соседних кубиков составляло ровно треть общего числа пар соседних кубиков, то есть \(n^2(n-1)\). В слоях же справа от среднего слоя некоторые черные кубики заменим на белые так, чтобы число бело-белых пар соседних кубиков тоже составляло ровно треть общего числа пар соседних кубиков. Понятно, что тогда во всем кубе число бело-черных пар соседних кубиков тоже будет равно \(n^2(n-1)\).

Продемонстрируем применение этого способа на примере куба \(5\times 5\times 5\). В этом кубе \(3\cdot5^2(5-1)=300\) пар соседних кубиков, а значит, должно быть по 100 пар каждого вида. В кубе с шахматной расстановкой кубиков все 300 пар соседних кубиков являются черно-белыми. На рис. 6 показаны пять вертикальных слоев этого кубика. На белых кубиках первых двух слоев написаны числа. Эти числа показывают, сколько черно-черных пар соседних кубиков добавится, если данный белый кубик заменить на черный. Нетрудно посчитать, что сумма всех этих чисел равна \(4\cdot12+5\cdot8+6\cdot5=118\), то есть на 18 больше, чем надо, поэтому заменим все белые кубики на черные в первых двух слоях, кроме трех с числами 6 (можно оставить четыре кубика с числами 4, 4, 5 и 5 в любой комбинации, — главное, чтобы сумма была равна 18). При этом получится ровно 100 черно-черных пар соседних кубиков.

На черных кубиках последних двух слоев написаны числа, которые показывают сколько бело-белых пар соседних кубиков добавится, если данный черный кубик заменить на белый. Найдем сумму всех этих чисел: \(3\cdot4+4\cdot4+5\cdot13+6\cdot4=117\), что на 17 больше чем надо, поэтому заменим все черные кубики на белые в этих слоях, кроме трех с числами 5, 6 и 6 (также можно оставить четыре кубика с числами 3, 4, 5 и 5 в любой комбинации). При этом получится ровно 100 бело-белых пар соседних кубиков.

Рис. 6.

После всех таких замен, естественно, останется 100 черно-белых пар соседних кубиков. Итоговая расстановка приведена на рис. 7.

Рис. 7.

Обратим внимание на решение пункта г), в котором куб \(4\times 4\times 4\) был разбит на две равные разноцветные фигуры из кубиков с условием ББ = БЧ = ЧЧ (см. рис. 4). Если посчитать площадь поверхности каждой части, то можно заметить, что они в точности равны площади поверхности исходного куба \(4\times 4\times 4\). В самом деле, площадь поверхности куба равна 96, а поскольку куб разбит на две равные части, то площадь поверхности одной фигуры равна половине площади поверхности куба 48, плюс площадь поверхности разбиения, то есть черно-белой части соприкосновения, которая тоже равна 48. Можно сказать иначе: отношение площади поверхности одной фигуры к площади поверхности исходного куба равно 1.

А что, если это отношение быть равно 2, 3, 4 и т. д.? Возможно ли такое?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно в кубе \(n\times n\times n\) найти площадь поверхности \(S_{\rm{куба}}=6n^2\) и площадь поверхности одной из фигур разбиения, которая равна сумме половины площади поверхности куба и площади черно-белой части соприкосновения: \(S_{\rm{фигуры}}=3n^2+n^2(n-1)\).

Пусть отношение указанных площадей равно \(k\), то есть \(\frac{3n^2+n^2(n-1)}{6n^2}=k\). Из этого уравнения следует, что \(n=6k-2\). Это значит, что разбиение куба на две черные и белые части возможно существует при \(n=4,\ 10,\ 16,\ 22,\ \ldots\).

Случай \(n=4\) мы разобрали в пункте г). На рис. 8 приведена расстановка кубиков при \(n=10\). Черную фигуру можно перевернуть и вставить ее в белую (и получить черно-белый куб \(10\times 10\times 10\)), потому что все «колодцы» и все «башни» одной глубины-высоты, равной 6. Конечно, здесь выполняются и основное условие задачи ББ = БЧ = ЧЧ, а площадь поверхности белой фигуры (как, впрочем, и черной) в два раза больше площади поверхности всего куба.

Рис. 8.

Можно показать, что построение таких кубов возможно и при других значениях \(n\), входящих в эту последовательность.

Кстати, последовательность 4, 10, 16, 22, 28, ... входит в Энциклопедию целочисленных последовательностей Нила Слоуна под номером A016957, но полученной нами геометрической интерпретации на странице последовательности нет.

Несколько слов о том, как появилась эта задача. Заканчивая школу, выпускники сдают Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике. Одна из типовых задач экзамена выглядит так:

Клетки таблицы 7×17 раскрашены в черный и белый цвета. Пар соседних клеток черного цвета всего 42, пар соседних клеток белого цвета всего 76. Сколько пар соседних клеток разного цвета?

Идею решения вы, вероятно, уже представляете. Конечно, здесь также любая пара соседних клеток прямоугольника определяется их общей перегородкой. Число всех перегородок равно \(7\cdot(17-1)+17\cdot(7-1)=214\), поэтому число пар разного цвета равно \(214-(42+76)=96\).

На рис. 9 показан пример раскраски клеток таблицы 7×17, удовлетворяющий условию задачи. Задача придумана специально под этот рисунок. См. также статью «Раскраска квадрата N×N» в журнале «Квантик» (№3 за 2022 год).

Рис. 9.

Интересно отметить, что в трехмерном варианте задача имеет решение для любого куба, в то время как в плоском варианте задача имеет решение для всех квадратов, кроме тех, которые имеют длину стороны, равную: 2, 5, 8, ..., \(3k-1\), ... Почему так? Ответ простой. В любом кубе число внутренних «перегородок» равно \(3n^2(n-1)\), что всегда кратно числу 3, а в квадрате \(n\times n\) число внутренних «перегородок» равно \(2n(n-1)\), а это число не делится на 3, если \(n=3k-1\).